Урок алгебры и начала анализа по теме "Методы решения уравнений высших степеней". 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

“Под методом же я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых всегда препятствует принятию ложного за истинное и без излишней траты умственных сил, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, это способствует тому, что ум достигает истинного познания всего, что доступно”.

Декарт

Цель урока: обеспечение условий для усвоения каждым учащимся знаний об уравнениях высших степеней, способах их решений.

Задачи урока:

Образовательные задачи: обобщить, углубить знания обучающихся по изучаемой теме, закрепить умение узнавать и применять изученные приемы решения уравнений высших степеней.

Развивающие задачи:

  • развивать умение слушать, анализировать, сравнивать, классифицировать уравнения по предложенным типам;
  • развивать логическое мышления, внимание и умение работать в проблемной ситуации;
  • развивать познавательную активность.

Воспитательные задачи:

  • Воспитывать интерес и любовь к предмету через содержание учебного материала, умение работать в коллективе, паре, взаимопомощи, культуры общения;
  • воспитывать в учащихся навыки самоорганизации, самооценки, самопроверки и взаимопроверки;
  • воспитывать настойчивость в достижении цели.

Форма урока – установочный практикум.

Обеспечение: 1) листы с заданиями (приложение 1); 2) типы уравнений высших степеней; 3) возможны презентации докладчиков; 4) презентация учителя (приложение 2).

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний (фронтальная работа с классом) (10 минут)

Учитель:

  1. Объявляется тема урока, обращается внимание обучающихся на эпиграф урока.
  2. Какие уравнения называются уравнениями высших степеней? Назовите виды таких уравнений.
  3. Назовите общие методы решения уравнений высших степеней.
    Какой из перечисленных методов вам наиболее близок и понятен?
    Перечислите аналитические приёмы, с помощью которых можно решить уравнения высших степеней названным методом.
  4. А теперь я предлагаю вам составить схему (кластер) методов решения уравнений высших степеней и провести классификацию уравнений по методам решений (обучающиеся работают с предложенными уравнениями на специальных листах).

1) х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0; (разложение на множители)
2) 9х4 – 9х3 + 10х2 – 3х + 1 = 0; (введение новой переменной, возвратное уравнение)
3) х5 + 3х3 = 11 – х; (функционально-графический)
4) (х2 + 3х + 2)(х2 + 9х + 20) = 4; (введение новой переменной)
5) х3 – 5х2 +3х +1 = 0; (разложение на множители)
6) 2х4 – 5х3 + 5х – 2 = 0; (разложение на множители)
7) х7 + 3х + 2 = 0; (функционально-графический)
8) 4х3 – 10х2 + 14х – 5 = 0; (введение новой переменной)
9) х4 – 8х + 63 =0; (разложение на множители, функционально-графический, применение производной функции)
10) х6 + х2 – 8х + 6 = 0. (функционально-графический с использованием уравнения касательной)

  1. К доске приглашается один ученик, который представляет свою схему и классификацию. Учитель показывает свою схему, проверяется умение обучающихся определять способы решения уравнений на первый взгляд.

Разложение многочлена на множители

Метод замены переменной

Функционально-графический метод
Способом группировки Биквадратные уравнения Теорема о монотонности функций
По формулам сокращенного умножения Возвратные уравнения Использование производной функции
По теореме Безу Уравнения, в которых выделяются одинаковые многочлены. Составление уравнения касательной
Схема Горнера Введение неопределенных коэффициентов  
Деление многочлена на многочлен    
  1. Взаимопроверка в парах. (“5” – 9-10 уравнений; “4” – 7-8 уравнений; “3” – 5-6 уравнений; “2” – меньше 5 уравнений”), отложили на край парты.
  2. Выявление проблемы: какие методы решения уравнений высших степеней вызывают затруднения (существуют ли другие методы решения ).
  3. Сформулируйте задачи нашего урока.

II. Включение в систему знаний (проверка домашнего задания, восприятие и осознание учебного материала) (15 минут):

Востребованные докладчики объясняют:

  • Идею метода.
  • Показывают решение конкретного примера.

Остальные учащиеся слушают объяснения, задают вопросы докладчику, записывают решение.

III. Закрепление знаний (17 минут):

  1. Решение предложенных уравнений различными методами по рядам:
    I ряд – решают введением новой переменной, II ряд –функционально-графическим, III ряд – разложением на множители.
  2. В последнее время уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а также являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Особое внимание уделяется уравнениям с параметром.

У доски ученик решает уравнение с параметром №3.4(г).

ах3– 3х2 – 5х – а2 = 0, р= -1 – корень уравнения.

а2 + а – 2 = 0, а = -2 или а = 1.

При а = -2 уравнение принимает вид: 2х3 + 3х2 + 5х + 4 = 0.

Схема Горнера.

  2 3 5 4
– 1 2 1 4 0

2х2 + х + 4 = 0.

При а=1 уравнение принимает вид: х3 – 3х2 – 5х – 1 = 0.

  1 -3 -5 -1
– 1 1 -4 -1 0

х2 – 4х – 1 = 0, х = 25.

Ответ: – 1; 25.

  1. На слайдах в презентации показывается историческая справка.

Из истории математики

Для уравнений третьей и четвертой степени есть формулы корней (формулы Кордано и Феррари), выведенные итальянскими математиками в 1545 году, но в силу своей громоздкости эти формулы не используют в школьной программе. После того, как были выведены формулы корней для уравнений третьей и четвёртой степени, на протяжении почти 300 лет, учёные-математики пытались вывести формулы для нахождения корней уравнений пятой степени и выше, но труды их оказались безуспешными.

Нильс Хенрик Абель (1802-1829)– норвежский математик. В 1826 году норвежский математик Абель доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше.

  1. Фронтальный опрос о приемах решения уравнений самостоятельно, ответы и решения сверяются с помощью презентации.
  2. Самооценка. Проанализируйте свою работу, сделайте выводы о своих навыках и умении решать уравнения высших степеней различными методами.

IV. Домашнее задание (1 минута):

П. 3. №№ 3.20(б); 3.26(а); 3.29(г); 3.33(б).

Задание творческого характера: найти в различных источниках приемы решения уравнений высших степеней, о которых не упоминалось на уроке, привести примеры.

V. Итог урока (2 минуты):

  1. Оценка работы отдельных учащихся на уроке.
  2. Рефлексия:
    – Какой метод для вас оказался самым легким?
    – Какой метод для вас оказался самым трудным?
    – Какие приемы помогают вам в решении уравнений высших степеней?
    – Чей доклад вам больше понравился? Почему?
    – Как вы оцениваете работу класса? Как вы оцениваете собственную работу?

Литература:

  1. А.Г. Мордкович, П. В. Семенов “Алгебра и начала анализа 11 (профильный уровень)”, Москва “Мнемозина”, 2012.
  2. А.Г. Мордкович и др. “Алгебра и начала анализа 11 класс (профильный уровень)”, задачник. Москва “Мнемозина” 2012.
  3. А.П. Карп “Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10-11” (М: Просвещение, 1999).
  4. Ф.М. Мурзабаева. Презентация “Методы решения уравнений высших степеней” 11 класс (профильный уровень), г. Баймака, 2013.