Открытая школа юных математиков в г. Ухта

Занятие №1

Задачи на отыскание чисел по их сумме, разности или кратному отношению

Вступительное слово

Дорогие ребята!

Сегодня у нас знаменательный день – начинает работу открытая математическая школа для учащихся 3-4 классов школ города Ухты.

Ну а раз это школа, то мы, конечно же, будем учиться. Мы будем учиться решать множество довольно трудных задач, но хотим показать, что математика – это не сложно.

И главная наша мысль – математика в ваших руках!

Многие школьники думают, что математика – это таблица умножения и сотни однотипных примеров и задач. Наша цель показать, что это не так.

Мы можем этого не замечать, но математикой пронизан весь окружающий мир: снежинки и ананасы, радуга и музыка, - красота нашего мира во многом описывается математикой. И этот мир не должен вызывать уныние и неприязнь. Математика – это красиво! Давайте увидим эту красоту!

Математика – это не только умение пересчитывать предметы и сравнивать числа, это, прежде всего умение мыслить логически. Это умение нужно повсюду: в биологии и языкознании, в магазине и в горах, на уроке и на необитаемом острове, и именно математика фундаментальна.

Во многих учебниках встречаются задачи повышенной сложности, так называемые задачи со звездочкой. Сложность этих задач, как правило не вычислительная , - их невозможно решить, применяя стандартные, заранее известные шаблоны. “Звездочка” означает необходимость озарения, необходимость догадаться до чего-то нового. Но как научиться этому? Есть много способов, и мы на наших занятиях будем их подробно рассматривать.

А сейчас давайте знакомиться...

(Знакомство..., у детей бейджики с именем)

Презентация к уроку №1

Веселая разминка

На кухне площадью 6 м² дедушка рассыпал мелочь. С каждого квадратного метра бабушка собрала по 65 копеек. Каков общий урожай? – Как понимаете вопрос?

Решение: 65 коп. * 6 = 390 коп. = 3 руб. 90 коп.

Папа, мама и старшие сёстры ужинают, а младший брат Васенька сидит под столом и пилит ножку стола со скоростью 3 см/мин. Через сколько минут закончится ужин, если толщина ножки стола 9 см?

Решение: 9 : 3 = 3 (мин.)

В кухне находится 39 мух. 6 мух пьют чай из лужи на столе, 12 летают вокруг лампочки, остальные идут пешком по потолку. Сколько мух идет пешком по потолку?

Решение: 39 – 6 – 12 = 21 (муха)

2. В комнате есть свеча и керосиновая лампа. Что вы зажжете первым, когда вечером войдете в эту комнату?

3. На складе всего 330кг яблок и груш, 320кг апельсинов и груш, а апельсинов и яблок 410кг Сколько по отдельности килограммов яблок, груш и апельсинов на складе?

4. Назовите результат, получаемый при умножении? (Произведение)

1. Сколько центнеров в одной тонне? (10)
2. Сколько всего десятков в числе 856? (85)
3. Назови число, следующее за числом 999? (1000)
4. Назовите седьмой месяц от начала года. (июль)
5. Чему равно число, если его половина 70? (140)
6. Наименьшее пятизначное число. (10000)
7. Увеличь 12 в 3 раза? (36)
8. Сколько дней в неделе? (7)
9. Сколько вершин у ромба? (4)
10. Уменьшаемое 96, вычитаемое 17, назовите разность. (79)
11. Сколько ног у паука? (8)

 Задачи на отыскание чисел по их сумме, разности или кратному отношению

У Серёжи на 2 конфеты больше, чем у Вити. Вместе у них 16 конфет. Сколько конфет у каждого мальчика?

Школьная футбольная команда выиграла в 3 раза больше, чем проиграла. 4 игры закончились вничью. Всего проведено 28 игр. В скольких играх команда одержала победу?

Лариса на 5 лет младше Стасика. А вместе им 17 лет. Сколько лет каждому?

Бабушка заготовила на зиму вишневого варенья в 4 раза больше, чем клубничного. Сколько банок вишневого варенья заготовила бабушка, если их на 6 банок больше, чем клубничного?

В коробке орехов в 5 раз больше, чем шоколадок. Всего в коробке 30 орехов и шоколадок. Сколько орехов? Сколько шоколадок?

Масса капусты в бочке 48кг, а бочка без капусты в 6 раз легче. Какова масса двух таких бочек вместе с капустой?

Три брата накопили вместе 90 рублей, младший накопил на 10 рублей меньше, а старший накопил на 10 рублей больше, чем средний. Сколько денег накопил каждый брат?

У Коли и Вани вместе 11 марок. У Коли и Саши вместе 12 марок, а у Вани и Саши – 13 марок. Сколько марок у Вани, у Саши и у Коли вместе? У каждого?

Стол в 2 раза дороже стула. Вместе они стоят 390 рублей. Сколько стоит стул? На сколько рублей стол дороже стула?

Мать старше дочери в 3 раза, а вместе им 48 лет. Сколько лет матери и сколько дочери?

В коробке орехов в 5 раз больше, чем шоколадок. Сколько орехов в коробке, если их на 16 больше, чем шоколадок?

В кафе стульев в 6 раз больше, чем столов. Сколько стульев в кафе, если их на 15 больше, чем столов?

Золушка перебирает крупу, который сейчас час, если с начала суток прошло вдвое больше, чем осталось, а ей еще надо посадить 7 розовых кустов?

Бабушка старше дочери в 2 раза и в 8 раз старше внучки. Вместе им 91 год. Сколько лет бабушке? Ее дочери и внучке?

В магазине было 45 глубоких и мелких тарелок. Глубоких тарелок в 4 раза больше, чем мелких. Сколько глубоких тарелок и сколько мелких тарелок было в магазине?

На лужайке возле дома бегают цыплята. Белых – несколько, а пестрых в 2 раза больше, чем белых. Всего цыплят 18. Сколько цыплят белых и сколько пестрых?

Масса арбуза и половины такого же арбуза равна 9 кг. Найди массу целого арбуза.

В кувшине втрое больше воды, чем в чайнике, а в чайнике – на 12 стаканов меньше, чем в кувшине. Сколько воды в кувшине?

Валера съел леденцов вдвое меньше Игоря и на два больше Тани. Вместе они съели 14 леденцов. Сколько леденцов съел каждый?

Корзинка с фруктами весит 11 кг. Фрукты тяжелее корзинки на 10 кг. Сколько весит корзинка, и сколько весят фрукты?

Периметр прямоугольника 24см, длина – в 2 раза больше ширины. Найди площадь.

Расстояние от Солнечного до Цветочного города равно 60 км. Часть этого пути идет в гору, часть — горизонтально и часть — под гору. Путь под гору в 3 раза меньше горизонтального участка пути и на 10 км меньше, чем в гору.Найди длину каждого участка пути.

За день летучие обезьяны злой волшебницы Бастинды съедают 165 бананов, ананасов и кокосов, причем бананов — в 2 раза больше, чем ананасов, и в 3 раза больше, чем кокосов. Сколько фруктов каждого вида съедают за день летучие обезьяны?

Доктор Айболит вылечил за 3 дня 49 больных зверей. В первый день он вылечил на 3 зверей больше, чем во второй день, и в 2 раза меньше, чем в третий. Сколько зверей вылечил Айболит в третий день?

Периметр треугольника равен 16 см. Длина первой стороны на 2 см меньше второй и на 1 см больше третьей стороны. Найди длины сторон треугольника.

Однажды птички-невелички решили устроить концерт. На него прилетели 33 птицы: 6 синичек, ворона, ласточек на 3 больше, чем соловьев, и на 5 меньше, чем галок. Сколько ласточек участвовало в концерте?

Трем братьям вместе 18 лет. Ивану в 3 раза больше лет, чем Матвею, а Тимофей на 3 года старше Матвея. Сколько лет может быть их сестре Марусе, если известно, что она младше Ивана, но старше Тимофея?

Занятие №2 Задачи на предположение

Подготовительная работа

Цели подготовительной работы:

• уточнение представлений учащихся об отдельных объектах действительности;
• осознание характера зависимости одной величины от другой, так как от количества объектов каждого вида зависит суммарное значение их отличительных характеристик.

Примеры подготовительных упражнений

1. Ответь на вопросы: “Сколько лап у четырех собак?

Сколько ножек у двух сороконожек? На сколько лап у пяти собак больше, чем ног у пяти кур? Где больше пассажиров и на сколько: в трех четырехместных лодках или в пяти двух местных?”

2. Реши задачу: “На лодочной станции 9 двухместных и трехместных лодок. Сколько могло быть лодок каждого вида? Сколько туристов можно разместить в этих лодках в каждом случае?”

Для ответа на вопросы ученики заполняют таблицу.

Вывод: общее число пассажиров зависит от количества лодок каждого типа.

Веселая разминка

Конкурс “Задачки-незадачки”.

. На берёзе сидели две вороны. Одна смотрела на север, другая на юг.

– У тебя, – говорит одна ворона, – лапки в грязи.

– А у тебя, – отвечает другая, – клюв в земле.

Как же так, смотрят в разные стороны, а друг друга видят?

Доску длинной 4 метра распилили на части по метру. Чтобы сделать один распил доски, нужно 5 минут. За сколько минут распилили доску? (За 15 минут 3 распила.)

Бублик разрезали на три части. Сколько сделали разрезов? (3)

Когда мы смотрим на 3, а говорим 15? (Когда на часах 3 часа дня.)

Сколько углов у квадрата?  А если отрезать два угла, сколько станет углов? (6)

Ира – мама Марии, Мария – мама Даши.
Кем приходится Даша Ирине? (Внучкой.)

У Петра Ивановича 7 дочерей, и каждой из них есть брат.
Сколько детей у Петр Ивановича? (8)

Как можно разделить циферблат часов на 6 частей так,
чтобы во всех частях сумма чисел была одинаковая?

Шла девочка в Москву и повстречала трёх мальчиков. Каждый из них нёс по мешку. В каждом мешке по коту. Сколько существ направлялось в Москву? (1 девочка)

Пять лампочек тускло горели в люстре.

Хлопнули двери, две перегорели. Сделать нужно вам малость – Сказать, сколько ламп осталось? (5 лампочек)

Когда петух стоит на двух ногах, то он весит четыре килограмма. Сколько будет весить петух, если он встанет на одну ногу? (4 кг)

Задания на подготовительном уровне

1. На детской площадке только двухколесные и трехколесные велосипеды, у которых всего 18 колес. Сколько могло быть велосипедов каждого вида?

2. Членам кружка “Умелые руки” надо разрезать кусок проволоки длиной 102 см на части длиной 15 см и 12 см так, чтобы не было обрезков. Сколькими способами это можно сделать?

3. Магазину нужно получить со склада 185 кг конфет. На складе имеются коробки с конфетами по 16, 17, 20 кг. Каких коробок и сколько мог получить магазин?

4. Пять участников соревнований стали призерами, набрав по 20, 19, 18 очков и заняв соответственно I, II,III места. Сколько участников завоевали каждое призовое место, если, вместе взятые, они набрали 94 очка?

5. Петя купил тетради по 7 и по 4 р. за штуку, заплатив 53 р. Сколько куплено тех и других тетрадей?

6. Несколько учащихся собирали макулатуру. Каждая девочка собрала по 15 кг, а каждый мальчик — по 21 кг. Всего они собрали 174 кг макулатуры. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали макулатуру?

Методы решения задач на предположение

З а д а ч а. Нужно рассадить 22 туристов в двухместные и четырехместные лодки. Сколько тех и других лодок потребуется, если всего лодок 8?

Практический метод

Решение данной задачи может быть представлено последовательностью символических рисунков. Введя соответствующие обозначения и выполнив практические действия, пересчетом устанавливаем, что если в каждую лодку посадить по 2 туриста, то в 8 лодках разместятся только 16 из 22 человек. Следовательно, 6 туристов разместили по двое (так как лодки были и четырехместные) в первые три лодки. Таким образом , находится ответ на вопрос задачи. Подчеркнем, что практическое решение задачи можно

оформить при помощи символического рисунка, схемы, таблицы; задача допускает решение практическим методом при наличии небольших числовых данных в ее условии; по ходу осуществления практических действий целесообразно фиксировать соответствующие им арифметические операции.

Арифметический метод

1) 2 * 8 = 16 (тур.) — разместили по двое в 8 лодках;

2) 22 – 16 = 6 (тур.) — осталось разместить;

3) 4 – 2 = 2 (мест) — больше в четырехместной лодке;

4) 6 : 2 = 3 (лод.) — четырехместные;

5) 8 – 3 = 5 (лод.) — двухместных.

Проверка: 2 * 5 + 4 * 3 = 22; 22 = 22.

Возможен другой способ решения в рамках арифметического метода, если начать решение с предположения о том,что во всех лодках разместили по 4 туриста.

1) 4 * 8 = 32 (тур.) — разместилось бы, если все лодки

были бы четырехместные;

2) 32 – 22 = 10 (тур.) — сверх данного в задаче количества;

3) 4 – 2 = 2 (мест) — больше в четырехместной лодке, чем в двухместной;

4) 10 : 2 = 5 (лод.) — двухместных;

5) 8 – 5 = 3 (лод.) — четырехместные.

Алгебраический метод

Обозначим через x число двухместных лодок, тогда четырехместных лодок

8 – x. Уравнение, составленное по условию задачи, примет вид:

2 * x + 4 * (8 – x) = 22. Решение данного уравнения доступно лишь ученику более старшего школьного возраста.

Метод перебора

Оформим последовательный перебор всех вариантов в таблицу.

 Метод рационального подбора

Поскольку общее число лодок равно 8, то наиболее удачным следует считать подбор, начиная со среднего варианта — 4 четырехместные лодки и 4 двухместные лодки. А затем, оттолкнувшись от полученного результата (24 туриста),выйти на решение, уменьшив на 1 число четырехместных лодок. Полезно также еще до решения сделать прикидку: — если бы все лодки были двухместные, то 2 * 8 = 16 туристов могли бы разместиться в них; — если бы все лодки были четырехместные, то 4 * 8 == 32 туриста могли бы разместиться в них. Данное в условии задачи общее количество туристов (22)  ближе к 16, чем к 32, следовательно, двухместных лодок было больше, чем четырехместных, например 5 и 3.

Метод предположения ответа

Предположим, что из 8 лодок только 3 лодки были двухместные, а остальные 5 — четырехместные. Узнаем, сколько туристов можно рассадить в лодки при этом условии: 2 * 3 + 4 * 5 = 26 туристов. Получили, что 26 > 22 полученное число больше данного общего количества туристов). При принятой гипотезе количество туристов увеличилось бы на 4, так как 26 – 22 = 4. Уберем из каждой четырехместной лодки по 2 туриста, так как в каждой четырехместной лодке на 2 места больше, чем в двухместной (4 – 2 = 2). Теперь узнаем, на сколько принятая гипотеза больше истинного ответа: 4 : 2 = 2 лодки, поэтому количество четырехместных лодок равно 5 – 2 = 3, а двухместных 8 – 3 = 5 или 3 + 2 = 5 лодок. Способом установления соответствия между данными и искомыми легко определяется правильность решения предложенной задачи: 2 * 5 + 4 * 3 = 22, 22 = 22.

Примеры задач на предположение

1. Для своего участия в школьном спектакле “Ромео и Джульетта” Вася купил 10 пуговиц двух видов — по 3 и по 4 р., на общую сумму 34 р. Сколько пуговиц каждого вида купил Вася?

2. Имеющийся в магазине центнер картофеля разложили в 26 пакетов по 5 и по 3 кг. Сколько тех и других пакетов потребовалось?

3. Для детского сада купили 10 игрушек на 39 р. 60 к. За каждый мяч заплатили по 3 р. 30 к., а за куклу — по 5 р. 50 к. Сколько купили кукол и сколько мячей?

4. Для уроков труда всем 17 мальчикам 3 класса купили наборы инструментов. Нужного количества одинаковых наборов в магазине не оказалось, и пришлось купить наборы разных видов — по 63 и по 87 р., на общую сумму 1311 р. Сколько наборов инструментов каждого вида куплено?

5. Для украшения новогодней елки купили 8 наборов шаров двух видов — по 6 и по 10 штук в каждом. Общее количество шаров — 68. Сколько наборов каждого вида купили?

6. Кот Леопольд поймал 10 пескарей и окуней. Общий вес улова составил 2 кг 240 г. Пескарь весит 30 г, а окунь — 1 кг. Каких рыб больше и на сколько поймал кот Леопольд?

7. В зоопитомнике 8 медведей и лисиц. Их общий вес 1100 кг. Известно, что масса одного медведя 350 кг, а масса лисицы 10 кг. Сколько в зоопитомнике медведей и лисиц в отдельности?

8. Мальвина купила для Буратино 13 учебников и тетрадей, заплатив за всю покупку 50 сольдо. Известно, что учебник стоит 10 сольдо, а тетрадь — 2 сольдо. Сколько тетрадей и сколько учебников купила Мальвина?

9. Десяти участникам школьного спектакля “Ромео и

Джульетта” раздали 40 реплик. Каждая девочка читает по 3 реплики, а каждый мальчик — по 8 реплик. Сколько мальчиков и сколько девочек занято в спектакле?

10. Для группы поддержки школьного матча по баскетболу купили 10 единиц инвентаря на 39 долларов 60 центов. За транспаранты заплатили по 3 доллара 30 центов, а за дудки — по 5 долларов 50 центов. Сколько куплено транспарантов?

11. У Пеппи Длинныйчулок на вилле “Большая курица” жили куры и лошади. Всего голов было 12, а ног — 30. Сколько кур и лошадей в отдельности жило у Пеппи на вилле?

12. Для маскировки Винни_Пуха тучкой Пятачок купил 16 воздушных шариков на 45 монет: по 10, по 5 и по 1 монете. Шаров разной цены было куплено не менее одной штуки. Сколько шаров разного вида купил Пятачок?

13. Дед Мазай решил перевезти на другой берег 28 зайцев на 6 лодках. В одни лодки входит по 4 зайца, в другие — по 6 зайцев. Сколько различных лодок потребуется, если все лодки заняты и свободных мест нет?

14. Винни_Пух разлил 60 л меда в 9 горшочков двух видов —вместимостью 4 и 8 л. Сколько горшков каждого вида занял Винни-Пух?

15. Пятачок купил 5 воздушных шаров двух размеров —большие и маленькие, причем первые вдвое дороже вторых. Сколько куплено тех и других воздушных шаров в отдельности, если за всю покупку Пятачок заплатил 63 р., а цена больших шаров 18 р.?

16. Для того чтобы переправить до Хогвартса 58 учеников - волшебников, требуется 12 лодок. Сколько четырех и шестиместных лодок потребуется, если все лодки заняты и свободных мест нет?

17. На уроке по уходу за волшебными существами ученики из Хогвартса гуляли с соплохвостами. Всего было 40 голов и 160 ног. Сколько было учеников и соплохвостов, если у соплохвостов по 6 ног?

18. В зоопарке десяти волкам и медведям скормили 82 кг мяса. Каждый волк съедает по 5 кг мяса, а медведь — по 9 кг мяса. Сколько волков и сколько медведей в зоопарке?

19. Кунгурскую ледяную пещеру открыли в XIX в.В первый день было продано 30 билетов по 40 и 60 к., на общую сумму 14 р. Сколько билетов каждого вида было продано?

20. Красная Шапочка испекла для бабушки 15 пирожков с мясом и капустой. Сколько было тех и других пирожков в отдельности, если известно, что масса одного пирожка с мясом 150 г, пирожка с капустой — 100 г, а их общая масса составляет 1 кг 750 г?

21. У зоолога Кузи в коллекции есть попугаи и хомяки. Причем он знает, что у его питомцев вместе 6 голов и 20 ног. Сколько попугаев и хомяков у Кузи?

22. Пятачок пришел на день рождения к Винни_Пуху и привез ему в подарок бочку с медом массой 30 кг. Винни_Пух разлил весь мед в банки по 2 и 3 кг. Всего получилось 11 банок. Сколько банок каждого вида у него получилось?

23. В отряде “Звездный” 18 детей. Они живут в шести уютных комнатах — двухместных и четырехместных. Сколько двухместных и сколько четырехместных комнат заняли дети, если свободных мест в комнатах нет?

24. Строительная бригада построила 18 двух_ и трехэтажных домов. На их строительство понадобилось 140 плит. Известно, что на один двухэтажный дом ушло6 плит, а на один трехэтажный — на 4 плиты больше. Сколько двухэтажных домов построила бригада?

Открытая математическая школа

Планирование занятий

1.Задачи на отыскание чисел по их сумме, разности или кратному отношению.

2. Задачи на предположение.

3.Задачи на замену данных.

4.Задачи, решаемые с “конца”.

5.Задачи на совместную работу.

6.Задачи на движение.

7.Комбинаторика.

8. Головы и ноги.

9.Олимпиада (составлена совместными усилиями обучающихся).