Цели урока:
Образовательные
- Познакомить с понятием степени с целым отрицательным показателем, способствовать формированию умение работать со степенями с целым отрицательным показателем и научить применять ее при вычислениях.
Развивающие
- Развивать умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, выбирать рациональный способ решения.
Воспитательные
- Воспитывать трудолюбие, аккуратность, самостоятельность.
Оборудование:
- Компьютер с выходом в “Интернет”, мультимедийный проектор, презентация.
Структура презентации: 28 слайдов. Схема переключения презентации:
Учебные пособия: Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А.Теляковского, - М.: Просвещение, 2009.
Ход урока
1. Вступительное слово учителя. Постановка цели урока.
В литературе нередко встречаются числа типа 1,674 * 10-24. В чем смысл этой записи?
2. Актуализация знаний и способов действий при решении квадратных уравнений.
Устно
1. Вычислите: 32, 42, 5°; 0,013,(-6)2,123, О6, 0°.
Комментарий учителя. А.С. Пушкин в романе "Евгений Онегин" очень интересно сказал об этих особенных числах:
Мы почитаем всех нулями, А единицами - себя.
2. Представьте число в виде произведения двух одинаковых множителей двумя способами: 25, 1/81, 1/25, 1/а2.
3. Найдите число, обратное данному: 6, 1/7, 0, а2, 1/x2 (x?0)/
4. Послушайте фрагмент из рассказа русской писательницы-эмигрантки Тэффи "Блины".
"Но между нами был человек основательный, серьезный - учитель математики. Он посмотрел строго на нас, строго на итальянцев и сказал отчетливо и внятно:
- Сейчас я возьму на себя честь объяснить вам, что такое блин. Для получения этого последнего берется окружность в три вершка в диаметре. Пи-эр квадрат заполняется массой из муки с молоком и дрожжами. Затем все это сооружение подвергается медленному действию огня, отделенного от него железной средой. Чтобы сделать влияние огня на пи-эр квадрат менее интенсивным, железная среда покрывается олеиновыми и стеариновыми кислотами, то есть так называемым маслом. Полученная путем нагревания компактная тягуче-упругая смесь вводится затем через пищевод в организм человека, что в большом количестве вредно. Учитель замолчал и окинул всех торжествующим взглядом".
Как видите, литературе тоже не чужда математика.
Задание. Придумайте задачу, используя данные из этого рассказа. Найдите значение выражения 2?r2 при г = 3, n=3.
Решение. S = З * З2 = 27.
3. Формирование новых знаний и способов действий.
Объяснение нового материала
I. Объяснение нового материала.
Взгляните на число 10-24. Как вы думаете, это положительное или отрицательное число?
"Не верь глазам своим" - сказал бы Козьма Прутков тому, кто считает это число отрицательным. И сейчас мы разберемся, что вообще означает такая запись.
Задание.
1) Уловите закономерность и продолжите ряд чисел
...1000, 100, 10,...
(1, 1/10, 1/100, 1/1000...).
2) Представим каждое из этих чисел в виде степени числа 10:
...1000,100,10, 1, 1/10, 1/100,1/1000...
... 103, 102, 101, 10°, 1/101, 1/102, 1/103...
3) Подпишем под этими числами показатели степеней:
3, 2, 1, 0,....
Продолжив этот ряд, мы получим числа -1, -2, -3 и т.д.
Сравним показатели соседних степеней. Показатель каждой степени на 1 меньше следующего. Распространим этот закон на числа справа от 10°. Получим: 1/101 = 10-1, 1/102 = 10-2...
Получается такая строка:
10-3, 10-2, 10-1, 10°, 101, 102, 103...
Вопрос. Можем ли мы взять степень с другим основанием? С любым?
Ответ. Кроме 0.
Вывод. Итак, мы можем это соглашение распространить на любое число а, отличное от нуля. Запишите в тетради формулу:
an = l/a-n, a
O.
Вы узнали о том, что существуют степени с отрицательным показателем. Откройте учебники на с. 182 и прочитайте определение.
Историческая справка. Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке. Англичанин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесообразности употребления отрицательных показателей. Исаак Ньютон стал применять их систематически. В одном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А2, А3 и т.д., так я ... вместо 1/а, 1/а2, 1/а3 пишу а-1, а-2, а-3и т.д."
Вопрос. Имеет ли смысл выражение О-5?
Ответ. Нет, т.к. основание степени с отрицательным показателем должно быть отлично от нуля.
Вывод. 0n имеет смысл только при положительных значениях n.
///. Первичное усвоение новых знаний
Вопрос. Теперь вы знаете, что число 10-24 является положительным. А можно ли это число записать с положительным показателем?
Ответ. Можно. Оно равно дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе - степень с тем же основанием, но с противоположным показателем. 10-24= 1/1024.
Таким образом, число 1,674 * 10-24, о котором мы говорили в начале урока и которое выражает массу атома водорода, можно записать и по-другому.
Задание. Прочитайте об этом в учебнике на с. 182
Кому-то удобнее работать с отрицательными показателями, а кому-то с дробями. Как говорят англичане, tastes differ (о вкусах не спорят). Попробуем применить эту формулу для замены степени дробью.
степень => дробь
Первичное закрепление
8-3 = 1/83, (а + b)-2, (ab)-3.
Самостоятельная работа с проверкой
Представьте степени в виде дробей с положительными показателями. Ответы впишите в таблицу.
| № | 1 вариант | Ответ | 2 вариант | Ответ | К-во баллов |
| 1 | З-4 | 5-3 | 1 | ||
| 2 | у- 1 | x-1 | 1 | ||
| 3 | (m - n)-2 | (c-d)-2 | 2 |
2. А теперь научимся выполнять обратное действие: заменим дробь степенью:
дробь => степень
1/67 = б-7;
1/у7 = у-7;
1/7 = 7-1.
Самостоятельная работа с проверкой
| № | 1 вариант | Ответ | 2 вариант | Ответ | К-во баллов |
| 1 | 1/58 | 1/85 1 очко | 1 | ||
| 2 | 1/(b + с)10 | 1/(b-с)9 | 1 | ||
| 3 | 1/(х - у) | 1/(х + у) | 2 |
3. Применение - формирование умений и навыков.
А сейчас займемся вычислениями:
4-2= 1/42= 1/16;
(2/3)-3 = 1/(2/3)3 = (3/2)3 = 27/8 = 3 3/8;
0,01-2 = (1/100)-2= 1002= 10000.
Самостоятельная работа с проверкой
| № | 1 вариант | Ответ | 2 вариант | Ответ | К-во баллов |
| 1 | З - 2 | 2-4 1 очко | 1 | ||
| 2 | (-1/4)-3 | (-1/6)-2 | 1 | ||
| 3 | 0,001 -1 | 0,0001-1 | 2 |
Задание. Подведите итог своей работы и поставьте сами себе оценки:
- 12-11 баллов-"5",
- 10-9 баллов-"4",
- 8-6 баллов-"3".
Творческое задание. Решите математическую шифровку. В ней спрятан год рождения очень известного человека:
| 8° | (1/7)-1 | (1/3)-2 | (1/9)-1 |
| 1 | 7 | 9 | 9 |
Это год рождения А.С. Пушкина.
5. Итог урока
Домашнее задание: № 906 (не забудьте о том, что есть два способа), № 909, № 922 (х км/ч - скорость туриста по шоссе).
Творческое задание. Составьте математическую шифровку, используя степень с целым отрицательным показателем.
Известный математик К. Вейерштрасс сказал: “Нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе”.
Если минус нам не нравится,
С этим горем можно справиться:
Знак меняем в показателе,
Степень пишем в знаменателе,
Сверху ставим единичку.
Получается? Отлично!
Коль числитель единица,
Степень в знаменателе,
Пишем мы ее как степень
С целым показателем:
Дробную черту стираем,
Единицу убираем
И еще, конечно, минус
В показатель добавляем