Цели урока:
- Ознакомить учащихся с теоремой Виета (прямой и обратной).
- Начать работу по формированию навыков применения теоремы Виета при решении и составлении квадратных уравнений.
- Воспитывать интерес к предмету, уважение к истории математики.
ХОД УРОКА (Презентация)
1. Организационный момент (2 мин.)
Проверить готовность к уроку, наличие домашнего задания. Объявить тему и цели урока.
2. Устная работа (6 мин.)
Вопросы обучающимся
- Какое уравнение называется квадратным?
- Какое уравнение называется неполным квадратным?
- Привести примеры неполных квадратных уравнений.
- Напишите формулу дискриминанта.
- Напишите формулы корней квадратного уравнения.
3. Изучение нового материала (16 мин.)
Учитель: (краткая биография Франсуа
Виета)
Франсуа Виет – французский математик,
основоположник символической алгебры. По
образованию – юрист.
Родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт французской
провинции Пуату – Шарант. Отец Франсуа –
прокурор. Учился сначала в местном
францисканском монастыре, а затем – в
университете Пуатье, где получил степень
бакалавра(1560). С 19 лет занимался адвокатской
практикой в родном городе. В 1567 году перешел на
государственную службу.
Около 1570 года подготовил «Математический Канон»
– капитальный труд по тригонометрии, который
издал в Париже в 1579 году. В 1571 году переехал в
Париж; увлечение математикой и известность
Виета среди ученых Европы продолжали расти.
Научные заслуги Виета:
- Знаменитые «формулы Виета» для коэффициентов многочлена как функций его корней
- Новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения. Виет применил его для решения древней задачи трисекции угла.
- Первый пример бесконечного произведения.
- Полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырех степеней.
- Идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений.
- Оригинальный метод приближенного решения алгебраических уравнений.
- Частичное решение задачи Апполония о построении круга, касающегося трех данных точек.
Учитель: Напомним, что называется
приведенным квадратным уравнением
Квадратное уравнение вида: x2 + bx + c =
0, где a = 1, b, c – числа; х – переменная,
называется приведенным.
Докажем свойство, которым обладают любые
приведенные уравнения
Теорема Виета.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Доказательство.
Рассмотрим приведенное квадратное уравнение x2
+ px + q = 0 с коэффициентами p и q.
Дискриминант D этого уравнения равен p2
– 4q.
Если D > 0, то уравнение имеет два корня:
Найдем сумму и произведение корней и получим :
x1 + x2 = – p;
x1 * x2 =q.
Теорема доказана.
Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты:
Учитель: Теорема Виета в стихах
По праву в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта, что за беда–
В числителе b, в знаменателе a.
4. Закрепление изученного
Учитель: Рассмотрим примеры применения теоремы.
Пример 1 ( устно)
Найдем сумму и произведение корней уравнения:
3x2 – 5x + 2 = 0;
D = 25 – 4* 3 * 2 = 1, 1 > 0, то уравнение имеет два корня, значит
х1 + х2 = 5/3;
х1 * х2 = 2/3.
Пример 2 (устно)
Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:
3x2 – 12x + 18 = 0;
2x2 + 7x – 11 = 0.
Разделим все коэффициенты на число а,
Ответы:
х2 – 4х + 6 = 0;
х2 + 3,5х – 5,5 = 0.
Пример 3. Проверьте!
х2 – 14х + 24 = 0
х1 = 2, х2 = 12
х1 + х2 = 14,
х1 * х2 = 24
Верно!
Учитель: значит можно теорему использовать наоборот. Существует обратная теорема к теореме Виета
Теорема (обратная)
Если числа m и n таковы, что их сумма равна – p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x2 + px + q = 0
Если m + n = – p, mn = q, то m и n – корни.
Например:
Числа 9 и 6 являются корнями уравнения х2 – 15х + 54 = 0, так как 9 + 6 = 15, 9 * 6 = 54
5. Практические задания (12 мин.)
Выполнить задания с учебника
№ 581 (а,в)
№ 584
№ 585
6. Итог урока (3 мин.)
Общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:
- привести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;
- если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант;
- в случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета
7. Домашнее задание (1 мин.)
п. 24
№582 (а,в)
№ 583
№ 586