Элементы стохастики в школьном курсе математики 7–9-х классов

Актуальность изучения в школьном курсе математики материала вероятностно-статистического характера на современном этапе развития общества становится очевидной. Ведь  в сфере реальных интересов становления и развития личности находится круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора оптимального варианта решения, оценкой степени риска и шансов на успех, представлением о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных ситуациях.

Включение вероятностно-статистических знаний во всеобщее обучение не только актуально, но и необходимо. Эта необходимость обусловлена, во-первых, высоким уровнем развития науки и техники. Естественные и гуманитарные науки во многом опираются на статистические концепции и широко используют вероятностно-статистические методы. Во-вторых, эта необходимость диктуется социально-экономическими потребностями общества. Мы постоянно сталкиваемся со стохастическими процессами и явлениями, с необходимостью учитывать статистические закономерности и использовать их. Известны примеры, когда игнорирование стохастического характера некоторых явлений оборачивалось колоссальными материальными потерями в энергоснабжении, на транспорте и в других сферах экономики.

Знакомство с историей вопроса показывает, что попытки введения основ стохастики в отечественную школу до настоящего времени заканчивались неудачей. Связано это было, в первую очередь, с недостаточной разработкой методики преподавания стохастики. Так, например, в середине 80-х годов была введена новая программа по математике, содержащая вероятностно-статистический материал. Но программа была введена фронтально, до появления новых учебников, на основе министерских инструктивных писем и временных методических разработок, опубликованных в журнале «Математика в школе». В большом объеме проводилась краткосрочная курсовая подготовка учителей по всей территории страны. В течение нескольких лет появлялись новые учебники, работа по которым стала вызывать значительные сложности у учителей. Курс математики стал труден для учеников. Интерес к математике упал, понизился уровень подготовки абитуриентов в вузах. В связи с этим от преподавания стохастики в школе отказались.

Естественный интерес при этом представляет изучение опыта преподавания стохастики в средних школах ряда других стран. Так, например, в английской школе даже на самом низком уровне и на этапе начального обучения предусмотрено владение некоторыми вероятностными умениями и навыками. Экзамен на получение общего аттестата об образовании включает пять основных тем, одна из которых – элементы теории вероятностей и математической статистики.

В США теоретико-вероятностные знания преподаются в основном в старшей средней школе. Углубленное изучение теоретико-вероятностных вопросов осуществляется в старшей школе лишь незначительным числом наиболее способных к математике учеников.

При обучении японских школьников систематически, с начальной школы, развиваются представления о теории вероятностей и математической статистике. Объем вероятностно-статистического материала составляет 2,5 % от общего объема курса математики.

Курс стохастики во Франции не содержит ни формальной теории, ни технически сложных задач. Его преподавание ведется на уровне, максимально приближенном к ученику.

В современном образовании школьников стохастика должна занимать не последнее место. С элементами стохастики необходимо начинать знакомить еще в школе, причем не только в курсе математики, но и при изучении ряда других предметов. Нужно сделать так, чтобы на уроках ботаники и зоологии, астрономии и физики, русского языка и истории время от времени в нужном месте были сделаны разумные замечания  о случайности явлений, которые изучает данная научная дисциплина. Естественно, что математика не может при этом оставаться в стороне.

Государственным образовательным стандартом 2004 года стохастическая линия была введена в курс математики общеобразовательной школы наравне с такими привычными линиями, как «Числа», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрические фигуры». Кроме того, в последние годы задания вероятностно-статистического характера включены и в контрольно-измерительные материалы ГИА и ЕГЭ.

Цель обучения стохастике в школе состоит, прежде всего, в формировании и развитии у учащихся навыков исследовательской деятельности, а также в формировании у них элементов вероятностно-статистического мышления.

Для достижения этой цели необходимо построить обучение математике так, чтобы элементы стохастики изучались не отдельной главой, а по возможности были связаны с курсом математики, изучавшимся до введения вероятностно-статистического материала.

Исходя из этого, нами была разработана специальная методика реализации стохастической линии в курсе алгебры 7-9 классов, которая основана на связи стохастической линии с другими предметно-методическими линиями курса алгебры 7-9 классов. Рекомендованный нами тематический план изучения вероятностно-статистического материала в курсе алгебры 7-9 классов представлен в таблице 1.

Таблица 1. Тематический план

В среднем на изучение стохастики при таком распределении понадобится 17-20 часов. В 7 классе следует познакомить учащихся с элементами комбинаторики и ввести понятия достоверных, невозможных и случайных событий на интуитивном уровне, в 8 классе – познакомить с элементами математической статистики и ввести геометрическое определение вероятности, в 9 классе следует ввести классическое определение вероятности, понятие противоположных событий, познакомить учащихся с правилом сложения вероятностей и со схемой Бернулли.

При разработке методики реализации стохастической линии в курсе математики 7-9 классов мы, по возможности, указали, с какой темой из курса алгебры лучше связать вероятностно-статистический материал.

Так, например, в начале курса алгебры 7 класса при изучении темы «Математическая модель» мы рекомендуем познакомить учащихся с деревом возможных вариантов. Это позволит создать у учащихся более полное представление о математической модели и, кроме того, сформировать умения и навыки решения комбинаторных задач с помощью дерева возможных вариантов. По этой теме мы предлагаем провести лабораторно-проектную работу. При изучении темы «Линейная функция (координатная прямая)» следует познакомить учащихся с достоверными, невозможными и случайными событиями. Геометрическое определение вероятности, на наш взгляд, целесообразно связать с понятием модуля действительного числа.

По всему курсу стохастики в 7-9 классах рекомендуется провести итоговый тест для оценки знаний, умений и навыков, сформированных у учащихся в процессе изучения материала вероятностно-статистического характера.

Примерный тест может быть таким. (Приложение 1)

Полноценная реализация стохастической линии в курсе математики 7-9 классов позволит сформировать у учащихся представление о стохастических процессах окружающего мира и методах анализа этих процессов, подготовить их к условиям современной жизни, развить их творческое мышление, привить навыки исследовательской деятельности.