Урок математики по теме "Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9"

Целевые установки:

предметные: повторить понятие десятичной записи числа; закрепить знание признаков делимости суммы, разности, произведения; ввести признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9; доказать признаки делимости на 2 и 5; формировать умение использовать признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9 в различных учебных и практических заданиях;

метапредметные:

• регулятивные: ставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и изучено, и того, что ещё неизвестно; определять последовательность промежуточных действий для достижения конечного результата; контролировать в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и различий от эталона; выделять и осознавать то, что уже усвоено и что ещё нужно усвоить;
• познавательные: структурировать знания; строить осознано речевое высказывание вустной форме; извлекать необходимую информацию из учебных математических текстов;анализировать объекты с целью выделения существенных признаков; осуществлять синтез –самостоятельно достраивать с восполнением недостающих компонентов; строить логические цепи рассуждений;
• коммуникативные: уметь достаточно полно и точно выражать свои мысли; уметь слушать и вступать в диалог с преподавателем и обучающимися;

личностные: формировать мотивационные основы овладения профессией учителя начальных классов; способствовать развитию интереса к математике и её преподаванию в начальных классах.

Технология обучения: Технология развития критического мышления через чтение и письмо (ТРКМЧП).

Оборудование у преподавателя: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация; шесть шляп (белая, красная, жёлтая, чёрная, синяя, зелёная).

Оборудование у каждого обучающегося: сигнальные карточки: зелёного и красного цвета; с цифрами 0 – 9; листы на печатной основе с таблицами: «З-Х-У», «Верные и неверные утверждения».

Продолжительность занятия: 90 минут.

Ход занятия

Фаза занятия «Вызов»

• Информационная функция – актуализация имеющихся по теме знаний.
• Мотивационная функция – побуждение к работе с новой информацией, стимулирование интереса к новой теме, побуждение к формулировке темы и предметных целей занятия.
• Коммуникационная функция – бесконфликтный обмен мнениями.

– Сегодня занятие проведём в технологии развития критического мышления через чтение и письмо. Какова структура занятия в данной технологии? Слайд 2.

– В таблице выделены красным цветом те приёмы, которые уже использовались на наших занятиях. Сегодня, продолжим знакомство с приёмами ТРКМЧП. На первой фазе занятия «Вызов» необходимо актуализировать, «вызвать на поверхность сознания» знания, необходимые для изучения новой темы. С этой целью выполним три задания. Первое задание: «Замените краткую запись числа 28 539 013 его десятичной записью» Слайд 3.

– Для тех, кто затрудняется выполнить задание, «открывается» подсказка: «а_nа_n-1…а₂а₁а₀ = а_n ·10ⁿ + а_n-1·10ⁿ -1 +…+ а₂ ·10² + а₁·10¹ + а₀». Слайд 3.

– Сверьте свою запись с записью на экране: 28 539 013 = 2 ·10⁷ + 8 ·10⁶ + 5 ·10⁵ +3 ·10⁴ + 9 ·10³ + 0 ·10² + 1·10 + 3. Слайд 3.

– Что повторили, выполняя это задание?

– Второе задание фазы занятия «Вызов»: «Разбейте на две группы числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24». Основание разбиения определите самостоятельно. Cлайд 4.

– Назовите группы чисел. (Однозначные, и двузначные, чётные и нечётные, простые и составные) Слайд 5.

– Которое разбиение может быть значимым в теме «Делимость»? (Простые и составные числа)

– С какой целью, предложено вам это задание?

– К этому вопросу вернёмся позже и уточним ответ на него.

– Третье задание фазы занятия «Вызов»: «Установите, делится ли: 22 + 10 + 84 на 2; 21 + 9 + 13 на 3; 22 – 10 на 2; 13 · 8 · 27 на 4; 8 · 27 на 3 · 4. Ответ обоснуйте». Задание выполняете устно. Ответы показываете с помощью сигнальных карточек. Слайд 6.

– Что повторили, выполняя это задание? (Теоремы о делимости суммы, разности и произведения)

– Продолжим фазу «Вызов». Воспользуемся новым для вас приёмом – «Верные и неверные утверждения». Cлайд 7. Каждый из вас на индивидуальных листах заполняет знаками «+» и «–» столбец «До изучения новой темы».

– Сформулируйте тему сегодняшнего занятия, исходя из заданий, предложенных в этой таблице. (Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9.) Слайд 8.

– Проанализировав свои ответы в таблице «Верные и неверные утверждения», заполните первый и второй столбцы уже знакомой вам таблицы «З-Х-У».

– Проанализировав свои записи в таблице «З-Х-У», сформулируйте предметные цели занятия.

– Ваши формулировки предметных целей занятия близки к тем, что представлены на экране: «Ввести признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9. Доказать признаки делимости на 2 и 5. Научиться использовать признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9 в различных учебных заданиях». Cлайд 9.

– Далее используем новый для вас приём фазы «Вызов» – «Дерево предсказаний» – это графический приём представления предположений, «гипотез» учащихся по теме занятия. Cлайд 10. На доске изображён ствол дерева, в котором записывается тема занятия. Ветви дерева – это предположения по теме занятия, а листья – это аргументы в пользу предположений. Учитель фиксирует на доске все предположения учащихся, даже если они являются неверными. Представьте, что вы младшие школьники, для которых аргументами могут являться примеры. Итак, на первой ветке дерева предсказаний отметим ваши гипотезы о делимости чисел на 2. (Число делится на 2, если оно оканчивается цифрами 0, 2, 4, 6, 8. Например, числа 48, 12, 20, 36, 44 делятся на 2.)

– Есть другие мнения о делимости чисел на 2? (Нет)

– На второй ветке дерева предсказаний отметим ваши гипотезы о делимости чисел на 3. (Число делится на 3, если оно оканчивается цифрами 3, 6, 9. Например, 36, 63, 129 делятся на 3.)

– Есть другие мнения? (Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, 24 делится на 3, т. к. 2 + 4 = 6, а 6 делится на 3.)

– Отметим это предположение на другой ветке дерева.

– Есть ещё какие-либо предложения о делимости чисел на 3? (Нет)

– Отметим на следующей ветке ваши предположения о делимости числа на 5. (Число делится на 5, если оно оканчивается цифрами 0 или 5. Например, числа 40 и 45 делятся на 5.)

– Есть другие мнения о делимости чисел на 5? (Нет)

– Какие числа делятся на 4? (Число делится на 4, если оно оканчивается цифрами 4 или 8. Например, числа 44 и 48 делятся на 4.)

– Есть другие мнения? (Число 34 не делится на 4, хотя оно оканчивается цифрой 4)

– Сформулируй своё предположение о том, какие числа делятся на 4. (Не знаю)

– Отметим на следующей ветке ваши предположения о делимости числа на 9. (Число делится на 9, если оно оканчивается цифрой 9. Например, 99 делится на 9.)

– Есть ли ещё предположения о делимости на 9? (Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, 954 делится на 9, т. к. 9 + 5 + 4 = 18, а 18 делится на 9.)

– Отметим это предположение на следующей ветке дерева.

– Итак, сформулировав тему, предметные цели занятия и предположения-«предсказания» по теме мы завершаем фазу «Вызов».

Фаза занятия «Осмысление»

• Информационная функция – получение новой информации по теме.
• Мотивационная функция – сохранения интереса к изучаемой теме.
• Коммуникационная функция – бесконфликтный обмен мнениями.

– Переходим ко второй фазе занятия – «Осмысление». На этой фазе учащиеся, работая с предложенным текстом, получают знания по новой теме. Используем уже знакомый вам приём ТРКМЧП – «ИНСЕРТ». Cлайд 11.

– Открываем учебник математики на с. 353 [1]. Знакомимся с формулировками теорем-признаков делимости, карандашом делаем соответствующие пометы. Результаты работы заслушивать не будем. Каждый выявит собственные знания по теме самостоятельно.

– Вернёмся к нашему «Дереву предсказаний». Определим, какие из ваших гипотез были верными и уберём неверные гипотезы.

– Какая гипотеза не прозвучала при построении «дерева предсказаний»? (Число делится на 4, если две его последние цифры образуют число, делящееся на 4)

– Зафиксируем признаки делимости в рабочих тетрадях. В ТРКМЧП большое внимание уделяется графическому представлению информации, одним из приёмов которого является приём «Рыбий скелет» («Фишбоун»). Слайд 12. Рисуется скелет рыбы, в голове записывается тема занятия. На рыбьих косточках слева записываются вводимые на занятии понятия, а справа – суть этих понятий. Или на рыбьих косточках слева записываются причины событий, явлений, а справа – следствия. В этом случае получается так называемая причинно-следственная схема. В хвосте скелета рыбы записывается вывод по теме занятия. Этот приём может использоваться вместо приёма «ИНСЕРТ». В этом случае учащиеся заполняют схему по ходу работы с текстом, в котором описывается содержание новой темы. Сейчас вам предлагается заполнить схему «Рыбий скелет» для систематизации изученного материала. Поскольку в данной теме можно выделить две группы признаков делимости, изобразим два «рыбьих скелета». Слайд 13. Записываем тему. Любое многозначное число изобразим в виде последовательности «окошек»-разрядов, причём слева количество разрядов неограниченно. На левых «косточках» рыб запишем числа, а на правых вы должны записать признаки делимости. Записи должны быть краткими, схематичными, представлять собой ключевые слова или фразы, отражающие суть. Работу проведём в группах по четыре человека. Каждая группа получит по два листа с изображением рыбьих скелетов. Следующим этапом работы будет презентация каждой группой заполненных схем. (После самостоятельной работы в группах, обучающиеся представляют свои «рыбьи скелеты»)

– На экране вы видите один из вариантов заполнения схем. Слайд 13.

– Вернёмся к таблице «З-Х-У». Заполните третий столбец таблицы

– Что нам осталось узнать? Слайд 14. (Доказательства признаков делимости)

– Приступаем к реализации второй предметной цели занятия. Нам предстоит доказать признаки делимости. Проанализируем формулировки теорем. Каждая из них представляет необходимое и достаточное условие делимости, а значит, состоит из двух теорем. Разбейте признак делимости на число 2 на две теоремы и сформулируйте их, используя логическую связку «если…, то…».

– Сравним ваши формулировки с теми, что представлены на экране. Слайд 15.

– Прочитав на с. 353 [1] абзац после слова «доказательство», назовите то, что дано и что требуется доказать в первой теореме.

– Сравните ваши высказывания с тем, что видите на экране. Слайд 15.

– Назовите то, что дано и что требуется доказать во второй теореме.

– Сравните ваши высказывания с тем, что видите на экране. Слайд 15.

– Познакомьтесь с доказательством первой теоремы и задайте к нему уточняющие и вопросы- интерпретации. (Обучающимся уже знаком приём ТРКМЧП «Ромашка вопросов») Слайд 16.

– Кто задаст уточняющий вопрос? (Правильно ли я поняла, что степени 10², 10³, …, 10ⁿ делятся на 2 по теореме о делимости произведения? 10² = 100 = 10 · 10, а 10 ⵗ2 и т. п.)

– Кто задаст интерпретационный вопрос? (Почему а_n ·10ⁿ + а_n-1·10ⁿ -1 +…+ а₂ ·10² + а₁·10 делится на 2?)

– Кто ответит на этот вопрос? (По теореме о делимости суммы. В данной сумме каждое слагаемое делится на 2)      

– Кто задаст ещё один вопрос-интерпретацию? (Почему каждое слагаемое делится на 2?)

– Кто ответит на этот вопрос? (По теореме о делимости произведения: в каждом произведении один из множителей – 10, 10², 10³, …, 10ⁿ делится на 2, а значит и произведение делится на 2)

– Познакомьтесь с доказательством второй теоремы и сформулируйте к нему уточняющие и интерпретационные вопросы. (Вопросов нет)

– Запишите признак делимости на число 5 в тетрадях.

– Разбейте признак делимости на 5 на две теоремы 2а и 2б и сформулируйте их, используя логическую связку «если…, то…».

– Сравним ваши формулировки с теми, что представлены на экране. Cлайд 17.

– Запишите то, что дано и что требуется доказать в каждой теореме.

– Сравните ваши записи с теми, что видите на экране. Cлайд 17.

– По аналогии с доказательством теорем 1а и 1б докажите самостоятельно теоремы 2а и 2б. Два человека оформят доказательство этих теорем на обратной стороне доски. После самостоятельной работы заслушаем доказательство теорем.

– Завершаем фазу «Осмысление» и на фазе «Рефлексия» приступаем к реализации третьей предметной цели занятия: «Научиться использовать признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9 в различных учебных заданиях». Слайд 9.

Фаза занятия «Рефлексия»

• Информационная функция – присвоение нового знания, выведение знания на уровень понимания и применения.
• Коммуникационная функция – обмен мнениями о новой информации.
• Оценочная функция – соотнесение новой информации и имеющихся знаний, выработка собственной позиции, оценка результата и процесса.
• Мотивационная функция – постановка новых целей обучения.

– Выполним задания на прямое использование признаков делимости. Эти задания распределены по трём уровням сложности. Ответы показываем с помощью сигнальных карточек. Cлайд 18. Задание 1. Задача-шутка: «40 681 365 116 784 354 человек решили принять участие в перетягивании каната. Все ли желающие смогут принять участие в перетягивании одного каната? Почему?» (Да. Число 40 681 365 116 784 354 делится на 2, т. к. оканчивается цифрой 4.)

– Задача-шутка: «562 456 987 120 560 748 человек решили отправиться в путешествие на одном поезде, состоящем только из купейных вагонов. Обязательно ли в этом поезде будет полупустое купе? Почему?» (Не обязательно. Все пассажиры могут разместиться в купе по 4 человека, т. к. число 562 456 987 120 560 748 делится на 4.)

– Задание 2: «Установите, делится ли число 302 530 710 на 2, 3, 4, 5, 9». Ответы показываем с помощью сигнальных карточек и обосновываем. Слайд 19.

– В следующих заданиях ответы показываем с помощью карточек с цифрами. Задание 3: «Подберите цифру единиц 17 89 543 95, чтобы полученное число делилось на 4». Слайд 20.

– Задание 4: «Подберите цифру сотен 27 810 521 90 , чтобы полученное число делилось на 3». Слайд 21.

– Задание 5: «Подберите такую цифру десятков тысяч 150 41 240, чтобы полученное число делилось на 9». Слайд 22.

– Задание 6: «Подберите такую цифру единиц 7 350 407 32, чтобы полученное число делилось и на 5, и на 2». Слайд 23.

– Задание 7: «Подберите такую цифру единиц 260 204 42, чтобы полученное число не делилось ни на 2, ни на 3». Слайд 24.

– Задание 8а: «Напишите шестизначное число, которое делится и на 5 и на 9». Слайд 25. Продумайте ваш способ действия, а именно, порядок, в котором вы будете записывать это число. (Запишу цифру единиц 0 или 5. Возьму число, которое не превосходит числа 54, т. к. 9 ž 6 = 54. Вычту из него цифру единиц. Подберу число, которое меньше полученной разности и делится на 9. Разобью это число на пять слагаемых, каждое из которых не превосходит числа 9. Запишу в любом порядке полученные однозначные числа.)

– Задание 8b: «Напишите пятизначное число, которое делится на 3, но не делится на 9». Продумайте ваш способ действия, а именно, порядок, в котором вы будете записывать это число. Слайд 25. (9ž 5 = 45. Подберу число, не превосходящее числа 45, которое делится на 3, но не делится на 9. Разобью это число на пять слагаемых, каждое из которых не превосходит числа 9. Запишу полученные числа в любом порядке.)

– Задание 9: «Известно, что запись числа не оканчивается цифрой 5. Делится ли это число на 5? Ответ обоснуйте». Ответы показываете с помощью сигнальных карточек. Слайд 26. (Это число делится на 5, если оканчивается цифрой 0. В остальных случаях не делится.)

– В следующих заданиях новое знание включается в систему с ранее изученным материалом. Ответы показываете с помощью сигнальных карточек. Задание 10a: «Установите, делится ли выражение 207 153 000 036 + 12 402 000 315 на 2, 3, 4, 5, 9. Ответ обоснуйте». Слайд 27. Задание 10b: «Установите, делится ли выражение 63 111 111 012 – 111 111 101 001 на 2, 3, 4, 5, 9. Ответ обоснуйте». Cлайд 27.

– Задание 10c: «Установите, делится ли выражение 222 000 111 ž 560 822 113 на 2, 3, 4, 5, 9. Ответ обоснуйте». Cлайд 27.

– Задание 11: «Установите, делится ли 222 000 111 ž 560 024 на 4 ž 9. Ответ обоснуйте». Слайд 28. (222 000 111 делится на 9 и 560 024 делится на 4, значит, по теореме о делимости произведения на произведение, 222 000 111 ž 560 024 делится на 4 ž 9)

– Задание 12: «Установите, делится ли 222 000 111 ž 560 024 на 12. Ответ обоснуйте». Слайд 28. (12 = 3 ž 4. 222 000 111 делится на 3, а 560 024 делится на 4, значит, по теореме о делимости произведения на произведение, 222 000 111 ž 560 024 делится на 3 ž 4, т. е. делится на 12).

– Вы сможете выяснить, в какой степени каждый из вас усвоил тему занятия, выполнив с самопроверкой следующее задание: «Из ряда чисел 312, 2250, 250500 выпишите те числа, которые делятся на 2; 4; делятся на 3, но не делятся на 9; делятся и на 5 и на 3.» Cлайд 29. Для тех, кто быстро справится с основным заданием, предлагается дополнительное задание: «Установите, делится ли на 9 число 1012 + 9».

– Выполним самопроверку и самооценку. Сверьте свои ответы с теми, что видите на экране. Слайд 30. Поставьте себе отметку по следующим критериям: «Отметка: «5» – не более 1 ошибки; «4» – 2 или 3 ошибки; «3» – 4 и более ошибок». Почему критерии оценки столь «лояльны»?

– Разберём дополнительное задание: «Делится ли на 9 число 10¹² + 9?». Ответы показываем с помощью сигнальных карточек и обосновываем их. Слайд 30. (Не делится, т. к. сумма цифр этого числа равна 10, а 10 не делится на 9.)

– На фазе «Рефлексия» используем известный вам приём «Шесть шляп мышления». Слайд 31.

– Разбейтесь на шесть групп и выберите шляпы. Обсудите ответы на предложенные вопросы.

– Заслушиваем ответы, начиная с «белой шляпы». («Белая шляпа»: «Знаем признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9». «Жёлтая шляпа»: «Зная признаки делимости, можем определить по записи числа, не выполняя деления, делится ли любое многозначное число на 2, 3, 4, 5, 9.». «Чёрная шляпа»: «Иногда трудно быстро в уме найти сумму цифр многозначного числа». «Красная шляпа»: «Нам нравится то, что, можно по записи числа, не выполняя деления, определить, делится ли любое многозначное число на 2, 3, 4, 5, 9.». «Зелёная шляпа»: «Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9 можно использовать не только в учебных задания, но и в практических, жизненных ситуациях». «Синяя шляпа»: «Мы усвоили признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9».)

– Рассмотрим, как на завершающем этапе занятия для проведения личностной рефлексии используется приём «Верные и неверные утверждения». Заполните столбец «После изучения новой темы».

– Сравните свои ответы в этом столбце с ответами на экране и свои правильные ответы обведите кружочками. Слайд 32.

– Сравните верные ответы столбца «После изучения новой темы» со своими ответами столбца «До изучения новой темы». В тех строках, где они совпали, нарисуйте улыбающегося смайла. Вы правильно думали и до и после изучения новой темы.

– В тех строках, в которых вы до изучения новой темы дали неверные ответы, а после изучения новой темы – верные, тоже нарисуйте улыбающегося смайла. Вы усвоили новый материал!

– Вернёмся ко второму заданию, которое вы выполнили на фазе «Вызов» и вопросу: «С какой целью, вам предложено это задание?» Слайд 33. Сопоставьте тему занятия и полученные нами группы чисел. Что вы можете отметить? (Мы выявили признаки делимости на простые числа 2, 3, 5 и составные числа 4, 9.)

– Кто предложит тему следующего занятия? (Признаки делимости на простые числа 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... . Признаки делимости на составные числа: 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, ... .)

– Изучение признаков делимости на простые числа 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... не входит в программу нашей дисциплины. Признаки делимости на составные числа: 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, ... мы выявим на следующем занятии.

– Домашнее задание. Оформите в тетрадях и выучите доказательство признака делимости на 3. Выполните упражнения 1, 3, 6, 7 на с. 355. [1]

– Занятие окончено.

Список литературы:

• Стойлова Л. П. Математика [Текст] : учеб. для студ. отделений и факультетов начальных классов сред. и высш. пед. учеб. заведений /Л.П. Стойлова – М. : Академия, 2009. – 454 с.