Урок математики по теме "Квадратные и другие виды уравнений"

Тема “Квадратные уравнения” изучается в середине 8 класса. Перед ней изучается тема “квадратные корни”. Перед введением каждой из этих тем учителя обычно знакомят учащихся с краткими историческими сведениями, которые связаны с этими темами. Но как показывает опыт работы, у учащихся не успевают сформироваться представления о квадратных уравнениях, как элементе истории математики.

Кроме того, решая квадратные уравнения, ученики не связывают их с реальными физическими процессами. Поэтому после изучения тем “квадратные корни” и “квадратные уравнения” логично провести урок обобщающего повторения, на котором можно сообщить исторические факты, рассказывающие о различных видах уравнений.

На таком уроке можно показать различные способы обозначений квадратных корней, задачи, которые приводили к решению квадратных уравнений и уравнений более высоких степеней, поговорить о связи алгебры и геометрии в связи с теоремой Пифагора и золотым сечением. Во время этого урока можно упомянуть ученых, которые внесли большой вклад в решение уравнений различных степеней. А после урока, посвященного уравнениям, можно провести групповой зачет по материалу близкому к тому, который рассматривался на уроке, и также повторить решение квадратных уравнений.

Первую часть такого урока можно провести в форме спектакля, который сопровождается компьютерной презентацией.

Кроме знакомства учащихся с фрагментами истории математики проведение такого урока позволяет помочь в решении следующих задач: повышения интереса к предмету; углубления понимания изучаемых разделов; расширения кругозора учеников; повышения общей культуры; понимания роли математики в современном обществе, что в значительной степени отвечает запросам современного общества.

Сценарий урока приведен в приложении №1.

План урока:

Тема урока: “Квадратные и другие виды уравнений. (Элементы истории и практического применения)”

Тип урока: комплексный.

Форма урока: спектакль и групповой зачет по повторению темы “квадратные уравнения”.

Необходимые технические средства: мультимедиа установка.

Задачи:

1. Образовательная:

Довести до сведения учащихся материал, связанный с историей решения различных видов уравнений и задач, которые приводят к этим уравнениям. Повторить и закрепить пройденный материал.

2. Воспитывающая:

Воспитывать любовь к математике, внимательность, любознательность, взаимопомощь и товарищеские отношения между учащимися, критичность мышления.

3. Развивающая:

Развивать логическое мышление учащихся, умение видеть главное, сравнивать, делать выводы. Развивать монологическую речь учащихся и широту их кругозора. Показать взаимосвязь разделов математики, и математики с другими разделами естествознания.

Ход урока

1. Организующая часть (1-2 минуты).

Поприветствовать учащихся, объявить тему и краткое содержание урока.

Напомнить им о необходимости внимательно следить за ходом урока, чтобы грамотно отвечать на вопросы математического диктанта.

2. Введение нового материала и повторение изученного (25-30 минут).

Форма: Спектакль на заданную тему, который подготовлен заранее. Роли исполняют учащиеся восьмых классов. Учитель наблюдает за ходом спектакля, помогает в случае накладок, следит за дисциплиной зрителей.

3. Опрос (10-15 минут)

Форма: математический диктант по следующим вопросам:

- Из какой задачи у пифогорийцев появились несоизмеримые величины? Что, и в какой фигуре нужно было найти?

- Как называлась теорема, из которой можно получить теорему Пифагора? Сколько лет она оставалась недоказанной?

- Какое условие должны были выполнить делосцы, чтобы чума прекратилась?

- В каком отношении ширины к длине часто выпускают книги? У этого отношения есть название. Кто помнит, как его в численном выражении записать?

- Вспомните несколько примеров применения квадратных уравнений.

- Каким процессам соответствуют первая, вторая, и третья космические скорости?

- Попробуйте определить, какой должна быть скорость предмета, чтобы по формуле Эйнштейна сильно изменились его инертные свойства.

4. Короткая перемена, во время которой ученики рассаживаются по командам, эксперты и помощники занимают свои места. (10 минут).

5. Организационная часть урока-зачета.(2 мин.)

Учитель просит учеников 8-х классов сесть так, чтобы было удобно работать командами и рассказывает об условиях работы.

- В этой части урока необходимо не только повторить материал, связанный с квадратными уравнениями и решить как можно больше задач, но и потренироваться работать в коллективе, в команде.

- Команды между собой не соревнуются, каждая команда работает на себя и зарабатывает коллективно свою оценку.

- Очень важно правильно распределить упражнения в задании, так время работы над заданием строго ограничено.

- Каждая команда имеет папку, в которой лежат бланки для каждого конкурса. В эти бланки нужно вписывать только ответы.

- Если команда не успела сделать все, нужно сдать бланк с тем количеством примеров, которые были сделаны. За задержки при сдаче бланков снимают очки с команды.

- Обсуждать примеры нужно тихо, чтобы соседи не перехватили ваш ответ. За шум будут сниматься баллы.

- Максимальное количество баллов, которое может заработать команда - 70. Тройка ставится при получении от 30 до 45 балла, четверка от 46 до 57, пятерка от 58. Будет несколько задач, за которые можно получить отдельную оценку. Проверять работы будут эксперты.

6. Командная работа со следующими заданиями:(35-40 минут).

Задание №1 (3-5 минут):

На экране 10 уравнений. Решать их не нужно! Нужно определить степень каждого уравнения.

Учитель напоминает, что если в уравнении одна переменная, то степень уравнения определяется по наибольшей степени переменной, а если в уравнении несколько переменных, то при каждом коэффициенте нужно складывать степени, наибольшая из степеней определяет степень уравнения. За верный ответ 1 балл.

После того, как время закончилось, происходит проверка.

Задание №2 (4-5 минут):

Нужно решить как можно больше уравнений, записывать решение не надо, в бланк записывают только ответы. За каждое уравнение дается 2 очка.

После того, как время закончилось, происходит проверка.

Задание №3 (3-4 минуты):

Как вы помните, после открытия несоизмеримых величин, древнегреческие математики стали оперировать не числами, а отрезками и площадями.

Попробуйте определить, какое хорошо известное вам тождество скрыто за следующей фразой геометрического характера.

“Если отрезок АВ разделен точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на АВ, равен двум квадратам на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ”.

За верно решенное задание 5 баллов.

После того, как время закончилось, происходит проверка.

Нужная формула:

Задание№4 (3-4 минуты):

- Все вы помните теорему Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Пифагор также нашел правило, по которому можно вычислить стороны прямоугольного треугольника в целых числах.

Правило это таково: за меньший катет выбирается нечетное число. Чтобы получить больший катет нужно это число возвести в квадрат, вычесть единицу, и то, что получится поделить пополам. Чтобы найти гипотенузу нужно к большему катету добавить единицу.

Например, пусть меньший катет 3, тогда больший (3²-1)/2=4, а гипотенуза 4+1=5, получился хорошо вам известный египетский треугольник.

Вам за 3 минуты предлагается вычислить стороны треугольников, у которых меньший катет равен числам 5, 7, 9, 11, а кто успеет и 13. Результаты нужно занести в Время работы 3 минуты. За каждый треугольник 2 очка.

После того, как время закончилось, происходит проверка.

Задание №5 (3-4 минуты):

Как вы знаете, Диофантово уравнение, это уравнения, в которых несколько переменных, и это уравнение решается в целых числах. Примером Диофантова уравнения может служить следующее: 28Х+30У+31Z=365. Ответ: Х =1, У =4, Z =7 (Количество месяцев с определенным числом дней).

А ваша задача будет следующей: Можно ли имея только монеты достоинством в 10, 5 и 2 рубля оплатить покупку в 141 рубль.

Нужно найти то количество 10, 5 и 2 рублевых монет, которое нужно для покупки или хотя бы составить Диофантово уравнение. Баллы от 3 до 5.

После того, как время закончилось, происходит проверка.

Эта задача сводится к уравнению 10Х+5У+2 Z=141 , одно из решений: 12 по 10 рублей, 3 по 5рублей и 3 по 2 рубля.

Задание №6 (3-4 минуты):

Вы знаете, что из очень многих чисел извлечь целый корень нельзя - это иррациональные числа. Тем не менее прикидывать значение корня можно, для этого используют формулу . Например, .

Вычислите корень из 37, 56 и 130. За каждый пример 2 балла.

После того, как время закончилось, происходит проверка.

Задание№7 (3-4 минуты):

Вы знаете что, если взять уравнение с двумя переменными, то его решения определяют некоторую кривую или прямую. Напомню у=кх+в- уравнение прямой, у=ах²+вх+с определяет параболу, попробуйте по виду графика определить какая кривая ему соответствует. Поставьте в соответствие каждому уравнению график.

За каждый правильный ответ 2 очка.

После того, как время закончилось, происходит проверка.

Задание №8 (3-4 минуты):

Время 5 минут. Ответ нужно будет обосновать.

Кощей Бессмертный зарыл клад на глубину 1 м. Этого ему показалось недостаточно, он откапал клад, углубил колодец до 2 м и снова зарыл. Этого ему опять показалось мало, он отрыл клад, углубил колодец до 3 м и зарыл. Затем он проделал то же, углубив колодец до 4 м, потом до 6 м, до 7 м и т.д. Известно, что колодец глубиной n метров Кощей вырывал за дней, т. е. колодец глубиной 2 м он рыл 4 дня. Известно также, что на 1001-й день Кощей умер от непосильной работы. На какой глубине остался клад? (Временем, нужным для закапывания колодца пренебречь.)

После того, как время закончилось, происходит проверка.

Ответ: на глубине 0 м. Через дней Кощей зарыл клад на 13 м, зарыть клад на глубину 14 м он не успел, так как, что меньше 1001. Но отрыть клад и вынуть его на поверхность он успел, так как и меньше 1001.

4. Итог урока.

Напомнить ученикам, что многие уравнения умели решать еще в древности, и потребность в этом появилась из практических нужд. Обратить внимание учащихся на расширение понятия числа (от рационального к действительному), а также на совершенствование символики для решения уравнений.

Выставить оценки командам. Поблагодарить актеров, экспертов и помощников, а также всех за хорошую работу.

Список литературы.

1. Болтянский В.Г., Савин А.П. Беседы по математике- М.: ФИМА, МЦНМО,2002
2. Виленкин Н.Я, Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. Для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений -М.: Просвещение -1996.
3. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. Функции и графики - М.: Изд-во МЦНМО-2006.
4. Глайзер Г.И. История математики в школе 7- 8 кл. Пособие для учителей.- М. : Просвещение, 1982.
5. Клайн М. Математика поиск истины- М.: Мир,1988.
6. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений - М.: Просвещение – 2005.
7. Нейгебауер О. Точные науки в древности-М.: Едиториал УРСС,2003.
8. Никольский С. М., Потапов М.К., Решетноков Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений - М.: Просвещение – 2000.
9. Панов В.Ф. Математика древняя и юная - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.
10. Смирнов С.Г. Лекции по истории науки: Пособие для курсов повышения квалификации и переподготовки учителей математики - М.: МИОО, 2006.
11. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики- М.: Наука -1984.
12. Филинова О. Е. Математика в истории мировой культуры- М.: Гелиос АРВ,2006.
13. Справочники:
14. Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь справочник - М.: Издательство ЛКИ,2007.
15. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике - М.:АСТ:Астрель,2006.
16. Детская энциклопедия. Т2. Мир небесных тел, числа и фигуры.- М.: Просвещение,1964.

Энциклопедия для детей. Т11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксенова.-М.: Аванта+, 2001.