Цели:
- рассмотреть различные методы решения тригонометрического уравнения;
- развивать умение логически мыслить,
- развивать умение находить ,рациональные способы решения
Оборудование. интерактивная доска. презентация, чертежные инструменты, тригонометрические формулы.
Ход урока
1..Орг. момент.
2. Повторить формулы двойного угла, униерсальной подстановки.
формулы решения тригонометрических уравнений.
3..Рассмотреть решение уравнения:
sin x - cosx = 1.
I способ (Слайды 7-9
Метод разложения на множители, используя формулы двойного угла sinx – cosx = 1
Применим формулы двойного угла:
sina = 2*sina/2*cosa/2
cosa= 2*cos2a/2 – 1
Тогда данное уравнение примет вид:
2*sin x/2*cos x/2 – (2*cos2 x/2 – 1) = 1
2*sin x/2*cos x/2 – 2*cos2 x/2 + 1 = 1
2*sin x/2*cos x/2 – 2*cos2 x/2 = 0
Разложим на множители
2* cosx/2*(sinx/2 – cosx/2) = 0
Произведение нескольких множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другие при этом определены.
II способ (Слайды 10-11)
Переход к однородному уравнению, применяя основные тригонометрические формулы sinx – cosx = 1
Решим уравнение, применим формулу двойного угла:
sin a = 2*sin a/2* cos a/2
cos a = cos2 a/2 – sin2 a/2
1 = cos2 a/2 + sin2 a/2
2*sin a/2* cos a/2 - cos2 a/2 + sin2 a/2 = cos2 a/2 + sin2 a/2
2*sin a/2* cos a/2 - 2*cos2 a/2 = 0
В процессе преобразований не получили однородное уравнение. Решим его иначе.
Разложим на множители
2*cosx/2*(sinx/2- cosx/2) = 0
Произведение нескольких множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другие при этом определены.
cos x/2 = 0 илиsin x/2 – cos x/2 = 0
III способ (Слайды 12,13)
При применении универсальной тригонометрической подстановки мы можем любое тригонометрическое уравнение свести к алгебраическому, но при этом необходимо помнить, что может произойти потеря корней. Поэтому необходимо выполнить проверку.
sinx – cosx = 1
Применим универсальную подстановку
sin a = (2*tg a/2)/(1+tg2 x/2)
cos a = (1- tg? x/2)/(1+tg2 x/2)
(2*tg a/2)/(1+tg2 x/2) - (1- tg2 x/2)/(1+tg2 x/2) = 1 (доп. множитель1+tg2 x/2)
2*tg x/2 – 1 + tg2 x/2 = 1 + tg2 x/2
2*tg x/2 = 2
tgx/2 = 1
IV способ (Слайды 14,15)
Переход к простейшему тригонометрическому уравнению путем применения формул сложения.
sinx – cosx = 1
V способ (Слайды 16-18)
Метод введения вспомогательного угла намного ускоряет процесс решения уравнения.
Уравнение вида asinx + bsinx = с
1 Найдем 
2 Разделимпочленно на обе части уравнения.
(a/)sin x
+ (b/)cos x=
c/
3 Обозначим
cos 
= a/
sin = b/
4 Подставим
cossin x + sincos x= c/
5 Левуючастьсвернемпоформуле
sin(a + b) = sin acos b + cosasin b
sin(x + ) = c/
6 Получили простейшее тригонометрическое уравнение.
Самостоятельная работа. (Слайды 19)
Решить каждое уравнение несколькими способами.
(Работа в парах)
1)sinx – cosx = 
2) sinx/6 + 
+1= 0
Проверь себя. (Слайды20)
Ответы:
Домашнее задание: (Слайды21)
Решить два уравнение (по выбору) всеми способами.
3) cosx + 
=
5) 2sin x = 
6) sinx =
2 - 
Используемая литература.
- А.Н. Колмогоров Алгебра и начала анализа. 10-11 классы.
- А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Алгебра начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы. ИЛЕКСА 2012 г
- А.Мерзляк Тригонометрия. “АСТ-ПРЕСС ” 1998 г