Урок математики по теме "Арккосинус. Решение уравнений cosx = a". Комплект методических материалов

Из опыта работы предлагается разработка методического комплекта для проведения серии уроков. Благодаря возможностям Microsoft PowerPoint с настройками анимации выполнена визуализация алгоритма нахождения арккосинуса, автоматизация процесса обучения. Статистика решений элементарных тригонометрических свидетельствует о формализме в усвоении знаний, отсутствии устойчивых навыков и понимания изучаемого материала. Подробность изложения (в рамках возможного времени), насыщение серии уроков наглядностью, внимание к деталям, разнообразное многократное повторение при изучении первой из обратных тригонометрических функций способствуют скоростному изучению арксинуса, арктангенса, арккотангенса. Актуализация базовых знаний, повторение алгоритмов по видеоряду, ведение индивидуального конспекта, продолжение работы с памяткой, чередование групповой, индивидуальной, фронтальной работы и др. позволяют эффективно использовать время урока для формирования понятия арккосинуса числа, умений и навыков решения уравнения cosx=a.

Комплект содержит:

1) конспекты трех уроков,

2) печатная основа конспекта – Приложение 1,

3) памятка по тригонометрии (для определения места изучаемого материала) - Приложение 2,

4) презентация Microsoft PowerPoint,

5) сценарий максимально возможного применения презентации на уроке №1 - Приложение 3.

Автор успешно применил комплект в 2012/2013 и 2013/2014 учебных годах. На следующем уроке - самостоятельная работа по теме (Л.А. Александрова, С-18, 4 варианта. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные работы 10кл.,11кл.).

Учитель может сделать для каждого класса особую выборку из презентации с помощью заметок под слайдами. Темный фон, крупный шрифт, отсутствие излишеств в оформлении слайдов – результат многолетней борьбы за зрение учащихся.

Арккосинус. Решение уравнений cosx=a.

Алгебра и начала анализа (УМК А.Г. Мордковича, базовый уровень, 10 класс).

Цель: повышение культуры и результативности решения элементарных тригонометрических уравнений, создание условий для ускоренного прохождения понятий арксинус, арктангенс, арккотангенс. Пропедевтика, введение, закрепление понятия арккосинуса числа. Формирование умений и устойчивых навыков учащихся находить арккосинус числа, осмысленно выбирать алгоритм решения уравнений cosx=a в зависимости от значений а, анализировать практические ситуации применения арккосинуса числа для решения уравнений cosx=a.

Урок №1

Пропедевтика и формирование понятия арккосинуса числа. Актуализация опорных знаний и умений: определения косинуса, повторение точных значений косинуса, промежутков монотонности функции у=cosx, пошагового решения уравнения cosx=a для точных значений косинуса. Выделение известных случаев решений уравнения cosx=a и постановка задачи для других а. Определение арккосинуса числа и первичное закрепление. Чередование индивидуальной и групповой работы; работы на доске, в тетрадях и индивидуальном конспекте на печатной основе с медиаподдержкой.

Тип урока: урок изучения нового.

Повторение.

Актуализация знаний. Слайды №2-8, повторение промежутков монотонности косинуса, пошагового алгоритма решения уравнения для точных значений косинуса.

Проверка домашнего задания с устными объяснениями:

№6.16в) Решите уравнение cost=. Повторение определения косинуса; указать все координаты на числовой окружности, абсциссы которых равны . Ускоренная проверка– слайд 7.

№6.40а) Решите неравенство cost>0.-индивидуальный опрос ученика у доски.

№3.3 Для заданной функции найдите обратную; постройте график заданной функции и обратной функции: а) у= , х 0;

б) у=.-индивидуальный опрос ученика; дополнительные вопросы: признак обратимости функции, алгоритм получения обратной функции; D(f) и E(f) обратной функции, свойство графика обратной функции.

Повторение. Работа в индивидуальном конспекте на печатной основе - п.1,2,3., устный вывод визуализируется слайдом 9.

Постановка проблемы.

В треугольнике прилежащий катет равен 1, гипотенуза 3, тогда соsa=. Угол с величиной а существует, мы знаем его косинус, но чему равно а? Величина острого угла ?- один из корней уравнения cosx= . Выясним, как решать такое уравнение.

Решение проблемы. Слайды №10,11,12,13.

Запись словесной формулировки определения арккосинуса в конспекте (п.4).

Визуализация определения на математическом языке - слайд №14.

Дуга арккосинуса. “Arcus в переводе с латинского значит дуга (сравнить со словарем)”. [1, 1 часть, с.88]- слайд 15.

Закрепление нового понятия. Обсуждение характера изменения и множества значений выражения arccosa - слайды 16- 17.

Индивидуальный опрос у доски: 15.3б) Вычислить arccos - arccos, дополнительный вопрос: сравнить cos1 и cos2.

15.10 г) Имеет ли смысл выражение arcos(-)? Дополнительный вопрос: сравнить arccos0 и arccos1. Задания: доказать, что arccos 0,5= ,

вычислить:1)cos(arccos); 2) cos(arccos0);3)cos(arcos(-));4)cos(arccos?)

для тех, кто успевает работать быстрее: с поддержкой для ускоренной самопроверки и совместного вывода слайды 18, 19, 20.

Итог урока: действие нахождения обратно ; действие нахождения arccos обратно нахождению cos

 <arccos <, это число (в геометрии - угол)- корень уравнения cosх=. Его можно найти с помощью калькулятора или таблиц Брадиса.

В прямоугольном треугольнике cos=, arccos.

Домашнее задание: п.15, №№15.3а), 15.4а), г), 15.5в),15.7в), г), *15.16-б); для желающих: **)вычислить ; подсказка к дополнительному заданию: Павел Петрович Кирсанов заявил нигилисту Базарову: “Вас всего...человек”. Сколько? Правильный ответ совпадает с этим числом.

Урок №2

Формула корней уравнения cosx=a.

Установление правильности и осознанности выполнения домашнего задания, выявление пробелов, коррекция пробелов. Выработка умений применять полученные знания при нахождении арккосинуса отрицательного числа, области определения и множества значений arccosx, обобщение выбора способа решения уравнения cosx=a.

Тип урока: урок закрепления знаний.

Повторение.

Проверка домашнего задания. Часть учеников делают аналогичные задания на доске с последующими устными объяснениями, часть – повторяют, проверяют и обобщают материал: слайды №22-25; к дополнительному заданию **) ученики получают вторую подсказку:.

Закрепление.

Нахождение области допустимых значений выражения arccosz c последующей самопроверкой - слайды 26-27.

Изучение нового материала: свойство арккосинусов противоположных углов (слайд 28), алгоритм нахождения арккосинуса отрицательного числа (слайд 29), формула корней (слайд 31). Продолжение составление индивидуального конспекта: п.6,7; п.8 - самостоятельно с последующей самопроверкой. Сопровождение - слайды №30-34 – не обязательно.

Работа с памяткой - определение места изученного материала (формулы корней и множества значений арккосинуса числа), на тригонометре отметить арккосинус чисел 0, 7 и 1/3 .

Обобщение. Уравнение cosx=a либо не имеет корней, либо корней бесконечно много; для допустимых значений а добавлен новый способ решения по формуле. Поиск арккосинуса отрицательного числа удобно сводить к нахождению арккосинуса противоположного числа по свойству arсcos(-a)=- arccosa.

Домашнее задание: п.15, №№ 15.6а), в); 15.10б), в); 15.7б), 15.14б), г); *15.22б) и **) дополнительное задание с двумя подсказками.

Урок №3

Отбор корней в уравнениях, содержащих арккосинус (два способа).

Выработка умений применять знания в комплексе, в новых условиях. Подготовка к самостоятельной работе.

Тип урока: урок применения знаний.

Повторение. Проверка домашнего задания на доске с последующими устными объяснениями и решение аналогичных заданий№15.12б), 15.13б). Дополнительные вопросы: что такое arccos; найти величину угла треугольника а, если cosа=-; решить уравнения cosx=0;;2.

Изучение свойства arcos(cost) - частично на доске (постановка проблемы), частично с помощью слайдов из №№39-43, для ускоренной проверки выполнения (пока проговаривается решение домашнего задания) сильными учениками заранее заданных заданий, **)доп. задания: arccos(sin(-))=arccos(cos(-(-)))=arccos(cos())= * =4,5. Значит, герой И.С. Тургенева использовал рациональное число (Павел Петрович Кирсанов заявил нигилисту Базарову: “Вас всего четыре с половиной человека”).

Повторение алгоритма графического решения уравнения cosx=a и графическое решение уравнения cosx= на печатной основе конспекта (п.9).

Организация работы в 6 группах решения простейшего уравнения на множествах двумя способами: по тригонометру и по графику. Проверку, сравнение способов можно усилить с помощью нужных слайдов из 44-50 (отбор корней по тригонометру) и 51-61 (отбор корней по графику), если группа не справилась с заданием.

Знакомство с функцией у=arccosx (слайды 51-54) можно поместить в электронный дневник для самостоятельного разбора и пометок в памятке (показать на графике у=cosx значение аргумента, соответствующее значению функции у= и на графике функции у=arccosx значение функции при х= ).

Итог трех уроков подводится по индивидуальному конспекту.

Домашнее задание: п.15, №№15.12а);15.13а);15.14г), в), 15.16а), подумать над 18.33б). Повторить изученный материал, подготовить индивидуальный конспект для проверки, подготовиться к самостоятельной работе.

Используемая литература:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11классы. В 2ч. М.:Мнемозина, 2009.ISBN 978-5-346-01136-1
2. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ.10 кл.: Учеб. Пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / М.:Мнемозина, 2004. ISBN 5-346-00333-9
3. А.И. Азаров, В.И. Булатов, В.С. Федосенко, А.С. Шибут. Тригонометрия (тождества, уравнения, неравенства, системы). Минск ТетраСистемс 2003 ISBN 985-470-079-8
4. В. Мирошин. Обратные тригонометрические функции. Библиотечка “Первого сентября”. Математика №4(16)/2007.