Эффективному обучению во многом способствует решение задач с практическим содержанием. Поэтому обращение к примерам из жизни, окружающей обстановке облегчает учителю возможность организовать учебную деятельность учащихся и поддерживать их интерес к обучению. Изучая данную тему, преподаватель должен обратить внимание студентов на возможность постановки ряда задач, приводящих к нахождению функции по заданной ее производной (по известному закону скорости найти закон движения, по закону протекания тока в цепи – количество электричества), то есть на необходимость решения задачи, обратной к задаче дифференцирования. При изложении разделов интегрального исчисления используется общий подход: начинаем с постановки одной или нескольких прикладных задач, решение которых осуществляется по одинаковой общей схеме. Мы не ограничиваемся только решения задачи о нахождении площади криволинейной трапеции, а показываем, что по аналогичной схеме можно решать и другие практически важные задачи (определение массы стержня, расстояния, пройденного телом, работы силы на прямолинейном пути и т.д.). Приводится общая схема применения определенного интеграла при решении различных задач. Значительное внимание уделяется рассмотрению и также решению профессионально значимых задач.
Девиз урока: “Математика – язык, на котором говорят все точные науки” Н.И. Лобачевский.
Цели урока:
- Образовательные: Обобщить знания учащихся по теме «Применение интеграла при решении практических задач»; расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к решению прикладных задач; прививать познавательный интерес к математике.
- Развивающие: Развивать умение анализировать и сопоставлять и логически мыслить, решая практические задачи с применением интеграла.
- Воспитательные: Формировать умение четко излагать свои мысли, развивать грамотную математическую речь, аккуратность.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование: карточки с заданиями для математической эстафеты, проектор.
Ход урока
1. Организационный момент. Ознакомление с темой урока. Постановка цели урока.
2. Актуализация знаний.
- задания на доске (найти и исправить допущенные при решении ошибки) – 2 человека;
Найти и исправить ошибку:
 |
∫4x5dx = 0,8x4+c |
 |
∫(1/x+ e2)dx = ln|x|+c |
 |
∫x8dx = x9/9 |
| ∫3 x2dx = 1.5 x3+c | 0-1∫ x3dx = x4/4=-0,25 |
| ∫(1/x+ln2)dx = ln|x|+c | ∫x6dx = 6 x5+c |
- В это же время проводится математическая эстафета – работа с группой.
Побеждает тот ряд, который быстрее и правильно справится с заданием.
(Слайд № 2 – ответы к математической эстафете).
3. Решение прикладных задач при помощи интеграла.
Учитель: Выявлять связь школьного курса математики с жизнью и другими учебными предметами всегда важно и интересно. Интеграл принадлежит к числу математических понятий, происхождение и развитие которых тесно связано с решением прикладных задач. Это понятие и построенный на его основе метод применяются сегодня в самых различных областях научно-практической деятельности человека, в том числе в физике, химии, биологии, экономике, технических дисциплинах и т.д.
Вспомним, как применяется интеграл при решении геометрических задач? (работа со слайдами)
- нахождение площади плоской фигуры (слайд № 3),
- нахождение объемов тел (слайд № 5).
Сформулируем алгоритм решения этих задач (слайды № 4, 6, 7):
- выполнение схематичного чертежа
- определение пределов интегрирования
- выбор формулы для вычисления
- вычисление интеграла
Сделаем вывод: под знак интеграла записывается закон, который описывает некоторую переменную величину, в качестве нижнего и верхнего предела записываются начальное и конечное значения аргумента.
Рассмотрим несколько задач (слайд № 8)
- Скорость движения точки
м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду. - По цепи идет переменный ток I= 6t- t2(A).Найти величину заряда прошедшего по цепи за первые 6 сек.
- Вычислить количество электричества, протекающего по проводнику за промежуток времени [2;3], если сила тока задается формулой I(t)=3t2-2t+5
- Вычислить работу за промежуток времени [3;9], если мощность вычисляется по формуле N(t)=5*√t+t2
- Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией f(t)=1/(t+1)+4
Эти задачи можно решить, используя уже известную нам математическую модель.
На практике задачи задаются не в столь явном виде. Иногда приходится проделать предварительную вычислительную работу или сделать чертеж. (слайды № 9, 10 с условиями 2-х задач). Решим эти задачи.
4. Самостоятельная работа по парам.
Используя таблицу, которую вы видите на экране, составьте и решите задачи с помощью интеграла.
| Величины | Вычисление производной | Вычисление интеграла |
| А – работа; F – сила; N – мощность. |
F(x)=A' (x); N(t)=A' (t). |
A= ;A=  |
| m –масса тонкого стержня p – линейная плотность |
P(x)=m' (x). | m= |
| Q –электрический заряд; I – сила тока. |
I(t)=q' (t) | Q= |
| S –перемещение; v –скорость. |
V(t)=S' (t) | S= |
| Q –количество теплоты; с – теплоёмкость. |
C(t)=Q' (t) | Q= |
Итог урока: Мы с вами завершили тему “Интеграл”, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, рассмотрели применение интеграла на практике, данные задачи могут встретиться на ЕГЭ, думаю, с ними вы справитесь.
Учитель озвучивает оценки за урок.