Решение задач с параметром вызывает затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках недостаточно.
Цели разработки темы
- формирование устойчивого интереса к познавательному процессу при изучении математики и оценка возможности овладения предметом с точки зрения дальнейшей перспективы;
- обеспечение прочного и сознательного усвоения учащимися системой математических знаний, умений и навыков;
- формирование качества мышления, характерного для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе;
- выявление и развитие математических способностей учащихся.
- Задачи разработки темы:
- показать универсальные алгоритмы для решения квадратных уравнений с параметром;
- научить приемам решения различного класса задач с параметром, способствовать овладению технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования;
- использование новых современных педагогических технологий обучения.
В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи (“параметр” с греческого “parametron” – отмеривающий)..
Если ставится задача для каждого значения параметра а из некоторого числового множества А решить уравнение F(х;а)= 0 относительно х, то это уравнение называют уравнением с переменной х и параметром а, а множество А – областью изменения параметра. Под областью определения уравнения F(х;а)=0 с параметром а понимаются такие системы значений х и а, при которых F(х;а) имеет смысл. Все значения параметра а, при которых F(х;а) не имеет смысла, включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений. Под областью изменения параметра (если не сделано специальных оговорок) берется множество всех действительных чисел, а задачу решения уравнения с параметром формулировать следующим образом: решить уравнение F(х;а)=0 (с переменной х и параметром а) – это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из данного уравнения при всех действительных значениях параметра или установить, что решений нет.
В связи с тем, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно, но каждое уравнение семейства должно быть решено, следовательно, необходимо по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра на подмножества, удобно пользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными.
1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
Задачи с параметрами можно разделить на два больших класса:
- задачи, в которых необходимо при всех значениях параметра из некоторого множества решить уравнение;
- задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых решение уравнения удовлетворяют некоторым условиям.
В зависимости от типа задачи изменяется и вид ответа. В первом случае в решении и ответе должны быть рассмотрены все возможные значения параметров. Если хотя бы одно значение какого-либо параметра не исследовано, решение задачи не может быть признано полным.
Во втором случае в ответе перечисляются только те значения параметра, при которых выполнены условия задачи, а при решении подобных задач обычно решать заданное уравнение нет необходимости.
Уравнение вида Ах2 + Вх + С= 0 , где А, В, С - выражения, зависимые от параметра, х – переменная - называется квадратным уравнением с параметром.
Уравнение вида ах2+вх+с=0, где 
, а, в, с – действительные
числа, называют квадратным уравнением. D=в2-4ас
называется дискриминантом квадратного
уравнения (“дискриминант” по – латыни
“различитель”).
В зависимости от значения дискриминанта возможны три случая:
D > 0. Данное квадратное уравнение имеет два
действительных корня 
D=0. Данное уравнение имеет корень двойной
кратности 
D<0. Данное уравнение не имеет действительных корней.
Для уравнения ах2+2кх+с=0 со вторым
коэффициентом (в=2к) четным, для нахождения
корней удобно пользоваться формулами: 
, где D1=
=к2-ас.
№ 1.1. Определите все значения параметра а при которых уравнение ах2+2(а+1)х+а+3=0 имеет два неравных корня.
Решение.
Если а=0, то имеем 0·х2+2(0+1)х+0+3=0, 2х+3=0 - данное уравнение является линейным, х=-1,5 – единственный корень. Итак, а=0 не удовлетворяет условию задачи.
Если а?0, то уравнение имеет два различных
корня, когда дискриминант >0.
Найдем=(а+1)2-а(а+3)=-а+1,-а+1>0,
а<1. С учетом а 
0 ответ: 
.
№ 1.2. Определите все значения параметра а, при котором уравнение 2ах2-4(а+1)х+4а+1=0 имеет один корень.
Решение.
Если а=0, то имеем 2·0·х2-4(0+1)х+4·0+1=0, -4х+1=0 - данное уравнение является линейным, х=0,25 – единственный корень. Итак, а=0 удовлетворяет условию задачи.
Если а 0, то исходное
уравнение является квадратным и имеет
единственный корень при =0. Найдем =(2(a+1))2-2a(4а+1) = -4a2+6a+4,4a2+6a+4=0,
а1=2, а2=-0,5.
С учетом а=0, запишем ответ: а=-0,5, а=0, а=2.
№ 1.3. При каких значениях параметра а квадратное уравнение (5а-1)х2-(5а+2)х+3а-2=0 не имеет корней?
Решение.
Если 5а-1=0,а=0,2, то имеем (5*0,2-1)х2-(5*0,2+2)х+3*0,2-2=0,
-3х-1,4=0 - данное уравнение является линейным, х = 
- единственный
корень.
Итак, а=0,2 не удовлетворяет условию задачи.
Если а 0,2, то квадратное
уравнение не имеет корней, если дискриминант
квадратного уравнения D<0. Найдем D=(5а+2)2-4(5a-1)(3а-2)=-35a2+72a-4,-35a2+72a-4<0,
35a2-72a+4>0, а1=2, а2=
, (а-2)(а-)>0. С учетом а 0,2 ответ: 
№ 1.4. Определите все значения параметра а при которых уравнение (2а-1)х2 +ах+2а-3=0 имеет не более одного решения.
Решение.
Если 2а-1=0,а=0,5, то имеем (2·0,5-1)х2+0,5·х+2·0,5-3=0, 0,5х-2=0 - данное уравнение является линейным, х=4 - единственный корень.
Итак, а=0,5 удовлетворяет условию задачи.
Если а 0,5, то квадратное
уравнение имеет не более одного решения, если
дискриминант квадратного уравнения D
0.
Найдем D=а2-4(2a-1)(2а-3)=-15a2+32a-12, -15a2+32a-120,
15a2-32a+12?0, а1=
, а2=
, (а-)(а-)
0.
С учетом а 0,5, имеем 
.
С учетом а=0,5, запишем ответ: 
.
2. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ.
Квадратное уравнение ах2+вх+с=0, где а 0 называется неполным,
если хотя бы один из коэффициентов в или с
равен 0.
Общая схема решения неполных квадратных уравнений с параметрами.
ах2=0, где а 0, в=0,
с=0. Если а 0 ,то
уравнение примет вид: х2=0, х=0.
Следовательно, уравнение имеет два совпадающих корня, равных нулю.
Если а=0, то х - любое действительное число.
ах2+с=0, где а0, в=0, с0. Если а0,то уравнение примет вид: 
следовательно, уравнение
имеет корни, то они равны по абсолютной величине,
но противоположны по знаку; 
< 0, то 
, следовательно, уравнение
корней не имеет. Если а=0 и с0, то уравнение действительных корней не
имеет.
ах2+вх=0, где а0, в0, с=0. Если а0,то уравнение примет вид: х(а+в)=0,
или 
Если а=0, то вх=0,
х=0.
№ 2.1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 2х2+(3а2-|а|)х-а2-3а=0 равны нулю?
Решение.
Оба корня квадратного уравнения равны нулю,
когда 
№ 2.2. При каких значениях параметра а, корни уравнения 2 х2-(5а-3)х+1=0 равны по модулю, но противоположны по знаку?
Решение.
Корни квадратного уравнения равны по модулю, но
противоположны по знаку, когда 5а-3=0,а=0,6, но с
учетом того, что имеем уравнение 2х2+1=0, х2=-0,5,
которое корней не имеет. Ответ: .
№ 2.3. При каких значениях параметра а один из двух различных корней уравнения 3х2+х+2а-3=0 равен нулю?
Решение.
Параметр должен удовлетворять условию: 2а-3=0, а=1,5. Ответ: а=1,5.
№ 2.4. При каких значениях параметра а корни уравнения 3х2+(а2-4а)х+а-1=0 равны по модулю, но противоположны по знаку?
Решение.
Корни квадратного уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку, когда:
Ответ: а=0.
№ 2.5. Решить относительно х неполное квадратное уравнение х2-2а+1=а.
Решение.
х2=а+2а-1; х2=3а-1.
Если 3а-1=0, а=
,то уравнение имеет два совпадающих корня, равных
нулю.
Если 3а-1<0, а<
, то уравнение корней не имеет.
Если 3а-1>0. а>
, то уравнение имеет два корня 
.
Ответ: при а
решений
нет; при а=
х=0;
при 
3. ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ.
№ 3.1. Исследовать и решить уравнение с параметром х2 –2(а-1)х+2а+1=0.
Решение.
Найдем дискриминант: 
D=(а - 1)2 -2а – 1= а2 -2а+1-2а-1= а2
- 4а.
D > 0, а2 -
4а > 0, а (а -4) > 0, а < 0 или а > 4, то уравнение
имеет два действительных корня 
;
D =0, а (а-4)=0,
а=0, то х=а-1, х=0-1, х=-1, а=4,то х=а-1, х=4-1, х=3;
D < 0, а(а-4)
< 0, 0 < а < 4, то уравнение не имеет корней.
Ответ: при а
; при а=0 х=-1;
при а=4 х=3; при а
корней нет.
№ 3.2. Исследовать и решить уравнение с параметром (а–1)х2 +2(а+1)х+а–2= 0.
Решение.
1) При а-1=0, а=1 имеем линейное уравнение 4х-1=0, х=– единственное
решение.
2) При а 1 уравнение
является квадратным, найдем дискриминант:
D1 = (а+1)2-(а–1)(2а-2)=а2+2а+1-а2 +2а+а-2=5а-1.
D1>0. 5а-1>0, а>
, а 1, то
уравнение имеет два корня 
.
D1=0. 5а-1=0, а=, то уравнение имеет два равных корня 
.
D1 < 0. 5а-1< 0, а<, то уравнение не имеет
действительных корней.
Ответ: при а
корней нет; при а = х=1,5; при а=1 х =;
при а
.
№ 3.3. Исследовать и решить уравнение с параметром х2 +2х- 8–а(х–4)=0.
Решение.
х2 +2х-8–ах+4а=0; х2 +(2-а)х+4а-8=0. Уравнение является квадратным.
Найдем дискриминант: D=(2-а)2-4(4а-8)=4-4а+а2 -16а+32= а2 -20а+36.
D>0. а2 20а+36>0, (а-18)(а -2)>0, а <2 или а >18,
то уравнение имеет два действительных корня 
.
D=0. (а-18)(а-2)=0, а=2, то 
; а=18, то 
;
D < 0. (а-18)(а-2)< 0, 2< а <18, то уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: при а
; при а=2 х=0;
при а=18 х=8; при а
корней нет.
4. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ теоремы ВИЕТА.
Если в квадратном уравнении коэффициент при х2 равен 1, то уравнение принимает вид х2+px+q, где p и q - некоторые числа называется приведенным квадратным уравнением.
Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
х2+px+q=0, где х1 и х2 – корни квадратного уравнения, то х1 + х2=-p; х1 х2=q.
ах2+вх+с=0, где х1 и х2 – корни
квадратного уравнения, то 
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета.
Теорема: Если числа p и q таковы, что их сумма равна -p, а произведение равно q. то эти числа являются корнями уравнения х2+px+q=0.
№ 4.1. При каком значении параметра а сумма
обратных величин действительных корней
уравнения 2х2 -2ах+а2-2=0 равна 
?
Решение
Пусть х1 и х2 – корни квадратного
уравнения, по условию 
.
По теореме Виета: 
Используя соотношения между корнями и
условие задачи, имеем:
Найдем дискриминант квадратного уравнения: 
Имеем: 
Ответ:
при 
№ 4.2. В уравнении (а2-5а+3)х2 +(3а-1)х+2=0 определите а так, чтобы один из корней был вдвое больше другого.
Решение.
Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения, по условию х1 =2 х2. Заметим, что кратное сравнение выполняется только для положительных чисел.
По теореме Виета и условию задачи имеем систему:
Составим и решим уравнение:
Можно вычислить дискриминант данного уравнения, а затем проверить, удовлетворяет ли данное значение параметра а условию, что дискриминант неотрицателен, а так же, что корни положительны. Однако в данной задаче значительно проще сделать проверку, подставив это значение а в исходное уравнение.
При 
Корни
отрицательны и кратно не сравниваются, поэтому
задача решений не имеет. Ответ: решений нет.
№ 4.3. Найти все значения параметра а, при которых квадратное уравнение (а+2)х2 –ах-а=0 имеет два корня, расположенных на числовой прямой симметрично относительно точки х=1.
Решение.
При а+2=0, а=-2, то 2х+2=0, х=-1 – единственное решение, следовательно данное значение а не удовлетворяет условию задачи.
При а-2. Пусть х1 и х2
– корни квадратного уравнения, по условию х1
=1-у, х2.=1+у, где у – некоторое действительное
число.
По теореме Виета имеем: 
Решим первое уравнение системы: 2(а+2)=а, а=-4.
Найдем дискриминант данного квадратного уравнения:
Данное значение а=-4 удовлетворяет полученным значениям. Ответ: а=-4.
Ответ: при а = - 4.
- ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.
- Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Минск; “Аверсэв”. 2005.
- Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Минск; “Асар”. 1996.
- Данкова И. Н., Бондаренко Т. Е., Емелина Л. Л., Плетнева О. К.Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике. Москва; “5 за знания”.2006.
- Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г.. Практикум по элементарной математике. Москва; “Просвещение”.1991.
- Родионов Е. М. Решение задач с параметрами. Москва; “Русь – 90”. 1995.
- Студенецкая В. Н., Сагателова Л. С. Математика 8 – 9классы: сборник элективных курсов. Волгоград; “Учитель”. 2006.
- Шарыгин И. Ф. Решение задач. Москва; “Просвещение”. 1994.
- Шахмейстер А. Х. Уравнения и неравенства с параметрами. Санкт-Петербург; “Петроглиф”. 2006.