11 класс, учебник «Алгебра и начала анализа», авторы А.М. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.
По календарно-тематическому плану - это первый урок темы «Решение логарифмических уравнений и неравенств».
На данный момент обучающиеся знают определение логарифма, хорошо знают и применяют основные свойства логарифмов.
Для пропедевтики изучения нового материала рассматривается виды уравнений, встречающиеся в алгебре и которым обучающиеся могут дать определение.
Изучение способов решения логарифмических уравнений проводит учитель. В ходе объяснения учитель обращается к обучающимся для того, чтобы они, используя свой опыт решения других видов уравнений, предложили способ решения данного.
На данном уроке рассмотрены следующие способы:
- решение по определению логарифма;
- решение методом потенцирования;
- решение методом введения новой переменной;
- решение логарифмированием обеих частей уравнения по одному основанию.
Другие способы решения логарифмических уравнений (метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию, функционально – графический метод) будут рассмотрены на следующем уроке.
Закрепление нового материала проводится таким образом, что часть задач решаются совместно всем классом устно, другая часть предлагается для самостоятельного решения, учитель оказывает консультативную помощь тем обучающимся, у которых решения вызвали затруднения (разрешаются консультации слабоуспевающих обучающихся более сильными обучающимися).
Домашнее задание состоит из теоретической и практической частей.
Цели:
- закрепить понятие логарифма, умение находить значения логарифмических выражений с использованием основных свойств логарифмов;
- рассмотреть способы решения логарифмических уравнений;
- развитие познавательного интереса учащихся, умение работать самостоятельно;
- воспитание ответственности при подготовке к ЕГЭ по математике.
Оборудование: компьютер, проектор, таблица «Понятие логарифма и его основные свойства».
Ход урока
I. Устная работа
1. Фронтальный опрос с использованием медиоаппаратуры:
а) что называется логарифмом; (1 слайд презентации)
б) основное логарифмическое свойство; (1 слайд)
в) свойства логарифма произведения, частного, степени (2 слайд)
г) формулы перехода; (2 слайд)
2. Вычислить устно (используются задания открытого банка заданий ФИПИ для подготовки к ЕГЭ по математике, 3 слайд):
Найдите значение выражений:
.
.
.
.
.
Решение.
Выполним преобразования:
.
Ответ: 4.
.
Решение.
Выполним преобразования:
Ответ: 1.
II. Изучение нового материала
1. Определите вид уравнения (дать объяснение, почему оно так называется):
(4 слайд)
- 2х2 -3х -5 = 0 – квадратное уравнение;
- cos x =
- тригонометрическое уравнение; - 22x +2x -2 = 0 - показательное уравнение;
=6 – иррациональное уравнение.
2. Как вы думаете, какое уравнение будет называться логарифмическим. Ответы обучающихся обобщаются, и делается вывод. (>5слайд)
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида 
, х > 0, а > 0, а
. Решение данного уравнения согласно определению логарифма является число вида 
. (5слайд)
3. Рассмотрим способы решения логарифмических уравнений (лекция учителя):
(6 слайд). Уравнения заранее записаны на закрытой доске.
а) Решение, основанное на определении логарифма (используются задания открытого банка заданий ФИПИ для подготовки к ЕГЭ по математике):
- Решить уравнение:
Решение.
По определению логарифма 1 -3х = log5 7, откуда х=
-
log5 7.
Ответ:
-
log5 7.
- Найдите корни уравнений:
а) 
.
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: −42.
б) 
Последовательно получаем:
Ответ: 21.
- Решите уравнение
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Решение.
Учитывая ОДЗ, имеем:
Итак, на ОДЗ уравнение имеет только один корень.
Ответ: 12.
- Найдите корень уравнения
.
Решение.
Используем формулу 
:
Приведем другое решение:
Ответ: 2.
б) Решение методом потенцирования.
Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их, если loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1. Такой переход обусловлен свойством возрастания (убывания) логарифмической функции на своей области определения и теоремой о корне (п.8 учебника), (используются задания открытого банка заданий ФИПИ для подготовки к ЕГЭ по математике):
- Найдите корень уравнения
.
Решение.
Последовательно получаем:
При условии: 5-х > 0, получаем
.
Ответ: 2.
- Найдите корень уравнения
.
Решение.
Логарифмы двух выражений равны, если сами выражения равны и при этом положительны:
Ответ: 6.
в) Решение методом введения новой переменной :
- Решить уравнение
-2 =0
ОДЗ: х>0.
Введём новую переменную 
= у, получим уравнение у2 - у - 2=0, решая квадратное уравнение по методу коэффициентов (а-в+с = 1- (-1) + (-2) = 0), получаем: у1= -1; у2 = 2.
Если у = -1 , тогда 
= -1; х = 2-1 =0,5.
Если у = 2 , тогда 
= 2; х = 22 =4
Ответ: 0,5; 4.
г) Решение логарифмированием обеих частей уравнения:
- Решить уравнение
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3
Получаем:
log3
=log3(3x)
Применяя свойства логарифмов для преобразования левой и правой частей уравнения, имеем
log3 x2 log3 x = log3 3x,
2log3 x log3 x = log3 3 +log3 x,
2
3 x -1 =0
Далее используем метод введения новой переменной.
Введем новую переменную 
3 x =у, х>0, 2у2 - у - 1 =0, решая квадратное уравнение по методу коэффициентов (а+в+с = 2+(-1)+(-1) = 0), получаем: у1= 1; у2 =
.
Если у = 1, тогда 
3 x =1; х = 3.
Если у =
, тогда 
3 x =
; х=
Ответ: 
; 3
Существуют еще способы решения логарифмических уравнений, которые будут рассмотрены на последующих уроках.
III. Закрепление нового материала
(7 слайд)
- Устно: №512; № 513
- Выполнить задания самостоятельно, используя материал лекции. При затруднениях попросить помощи у учителя или консультанта из числа обучающихся, которых назначил учитель: № 514(а,б) ; №520 (а, в)
IV. Домашнее задание
(7 слайд)
п. 39, № №515(а,б), 514(в,г), №520(б,г)
V. Итоги урока
- Какое уравнение называется логарифмическим?
- Какие методы решения логарифмических уравнений вы узнали сегодня на уроке?
- Оценивание работы обучающихся на уроке.