Заключительный урок по теме «Логарифмы». Устный журнал «Звезды, шум и логарифмы…»

Цели:

• Активизировать познавательную, исследовательскую деятельность учащихся;
• Способствовать развитию творческой деятельности и самореализации учащихся;
• Развивать интерес к математике;
• Формировать информационную культуру;
• Развивать навыки ораторского искусства;
• Воспитывать культуру общения.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, доска.

Содержание журнала

(Каждая страница журнала готовится учащимися самостоятельно и сопровождается презентацией)

1. Эпиграф
2. Историческая страница
3. Звезды, шум и логарифмы
4. Логарифмы и ощущения
5. Логарифмическая спираль
6. Логарифмические пришельцы
7. Музыка и логарифмы
8. Музыкальная страница “Проверь себя”
9. Логарифмы в живописи
10. Заключение

Эпиграф

Начало XX века. Франция. Париж. Проходя по площади Экзюпери, господин Команьон указал на дом Денизо: “Что-то больше не слышно о провидице, общавшейся со святыми. Меня водил туда Лакарель, правитель канцелярии префекта. Она сидела в кресле, закрыв глаза, а человек десять почитателей задавали вопросы... На все вопросы она отвечала в поэтическом стиле и без особого затруднения. Когда черед дошел до меня, я задал самый простой вопрос: “Каков логарифм 9?”. Она мне ничего не ответила. Как же так? Провидица не знает логарифма 9? Да виданное ли это дело! Все были смущены. Я ушел, провожаемый общим неодобрением” (в виде сценки).

“Ох, опять логарифмы”, - подумаете вы. А мне хочется сказать: “Ах, эти логарифмы”. И сегодня наш устный журнал будет посвящен логарифмам и их применению в самых различных областях науки и техники. В своем стихотворении “Физики и лирики” поэт Борис Слуцкий написал строки, которые вынесены в эпиграф к журналу:

Потому-то, словно пена, опадают наши рифмы.
И величие степенно отступает в логарифмы.
Б.Слуцкий

Историческая страница

Логарифмы были изобретены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) в 1614 г. Его “Канон о логарифмах” начинался так: “Осознав, что в математике нет ничего более скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них”.

Сейчас в это трудно поверить, но логарифмы, головная боль старшеклассников, были придуманы для того, чтобы облегчить нам жизнь. Наверняка наши правнуки удивятся, когда узнают, что компьютеры были созданы с той же благородной целью.

Так как же работают логарифмы Непера? Слово изобретателю: “Отбросьте числа, произведение, частное или корень которых необходимо найти, и возьмите вместо них такие, которые дадут тот же результат после сложения, вычитания и деления на два и на три”.

Иными словами, используя логарифмы, умножение можно упростить до сложения, деление превратить в вычитание, а извлечение квадратного и кубического корней — в деление на два и на три соответственно. Например, чтобы перемножить числа 3,8 и 6,61, определим с помощью таблицы и сложим их логарифмы: 0,58+0,82=1,4. Теперь найдем в таблице число, логарифм которого равен полученной сумме, и получим почти точное значение искомого произведения: 25,12. И никаких ошибок!

Отправляясь на Луну, американские астронавты брали с собой линейку Pickett N600-ES в качестве запасного калькулятора.

Логарифмическая линейка, прообразом которой явилась так называемая гантерова линейка (Gunter's line), была изобретена английским математиком Э. Гантером вскоре после открытия логарифмов и описана им в 1623. Это была логарифмическая шкала (линейка), на которой сложение отрезков производилось с помощью циркуля. В 1630 году английский математик Уильям Отред заменил циркуль второй линейкой (движком). В дальнейшем усовершенствовались лишь детали. Современная логарифмическая линейка — простой и удобный счётный инструмент; применяется при инженерных и прочих расчётах, когда точность вычислений ограничивается 2—3 знаками. В СССР логарифмические линейки широко использовались для выполнения инженерных расчётов примерно до начала 80-х годов XX века, когда они были вытеснены калькуляторами.

Звезды, шум и логарифмы

Здесь, казалось бы, связаны несоединимые вещи. Шум и звезды объединяются потому, что громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале.

Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины – звезды первой величины, второй, третьей и т. д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что “величина” звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Оценивая яркость звезд, астрономы оперируют таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит “бел”, но практически используются единицы громкости, равные его десятой доле, - так называемые “децибелы”. Последовательность степени громкости 1 бел, 2 бела и т. д. составляют арифметическую прогрессию. Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.), составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины. Рассмотрим несколько примеров: тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бела, рычанье льва – в 8,7 бел, шум Ниагарского водопада – 9 бел. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 10^6,5-1=10^5,5=316000 раз, львиное рычанье сильнее громкой речи в 10^8,7-6,5=10^2,2=158 раз.

Логарифмы и ощущения

Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молотка о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабой звезды, едва видимой в ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений. Опыты показали, что организм как бы “логарифмирует” полученные им раздражения, т.е. величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.

Логарифмическая спираль

Безобидная воронка, образованная вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий все на своем пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик – все они имеют форму спиралей.

Рассмотрим еще одну удивительную спираль, которую нарисуют три светлячка. Пусть находящиеся друг от друга на равном удалении, т. е. в вершинах правильного треугольника, жучки А, В и С решили познакомиться друг с другом. А направился прямиком к В, В – к С, С – к А. Путешествуя с постоянной скоростью, в любой момент времени светлячки будут располагаться в вершинах правильного треугольника, подобного исходному. Каждый светлячок при этом очертит дугу логарифмической спирали.

Логарифмическая спираль описывается уравнением

Впервые о логарифмической спирали говорится в одном из писем французского математика Рене Декарта в 1638г. Увидеть ее можно, например, в витках раковины. Семена в корзине подсолнуха также располагаются по кривым, близким к дугам логарифмической спирали.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут всего во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершать лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горный козел), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфгант Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, в нити вокруг центра по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Одно из замечательных свойств логарифмической спирали состоит в том, что произвольный луч, выходящий из ее полюса, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Это свойство применяется в режущих машинах. Вращающиеся ножи соломорезки имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали. Угол резания такого механизма постоянен вдоль всей кромки подвижного ножа.

Оказывается, трубу, подводящую струю воды к лопастям турбинного колеса на гидроэлектростанции, также следует заворачивать по логарифмической спирали. Тогда потери энергии движущейся воды будут минимальными.

Логарифмическая спираль – кривая “с твердым характером”. Она не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или растянуть эту спираль относительно ее полюса – то же самое, что повернуть ее на определенный угол. Свойства логарифмической спирали так глубоко поразили швейцарского математика Якоба Бернулли, что он завещал высечь ее на своем надгробье, сопроводив изображение латинской фразой “Eadem mutata resurgo” - “Измененная, возрождаюсь прежней”.

Логарифмические пришельцы

Эта страница посвящена странным и загадочным рисункам, которые в последнее время называют пентаграммами. Они появляются на зерновых полях и некоторые из них имеют форму логарифмической спирали. Настоящие фигуры математически точны, в некоторых зашифрованы различные сложные теоремы. Края настоящих фигур сильно отличаются от фальшивок, так как выведены с хирургической точностью. Колосья закручены в спираль, в которой используются те же логарифмические пропорции, что и в числах Фибоначчи или золотой пропорции.

Музыка и логарифмы

Музыканты редко увлекаются математикой. Между тем, музыканты – даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина “алгеброй гармонию” – соприкасаются с математикой, чаще, чем сами подозревают и при том с такими страшными вещами, как логарифмы.

Физик, профессор Эйхенвальд пишет в своей статье (она была напечатана в “Русском астрономическом календаре” на 1919 год и озаглавлена “О больших и малых расстояниях”): “Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с пренебрежением, что музыка и математика не имеют друг с другом ничего общего. Правда Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями,- но ведь Пифагорова-то гамма и оказалась неприемлемой для нашей музыки. Представьте, как не приятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах...”

Положим, что ноте “до” самой низкой октавы – будем ее называть нулевой – соответствует частота, равная п колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в 2 раза меньше верхнего, т.е. эти частоты соотносятся как 1 : 2. Тогда ноте “до” первой октавы будут соответствовать 2п колебания в сек., а ноте “до” m-ой октавы - n * 2m колебания в сек. и д.. Тогда высоту, т.е. частоту любого звука можно выразить формулой: , здесь p - номер ноты хроматической гаммы рояля.

Логарифмируя эту формулу, получаем:

lg Nmp = lg n + m lg2 +p(lg2)/12,

lg Nmp = lg n + (m + p/12)lg2.

Принимая частоту самого низкого “до” за единицу (n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2 имеем: .

Проверь себя: Под классическую музыку решают задание с ключом, тем самым проверяя свои знания по данной теме.

Вариант 1

1	-						0,5
2	Вычислите: -7						5
3	Вычислите:						2
4	Вычислите:						9
5	При каком значении х выражение имеет смысл:						x>4
Ю	Е	И	Р	Г	Н	П	Б
5	2	x > 4	2	9	23	25	0,5

Вариант 2

1	Вычислите: +21						23
2	Вычислите: lg25 +0,5lg16						2
3	Вычислите:						25
4	Вычислите:						2
5	При каком значении х выражение имеет смысл:						x<2
Ю	Е	И	Р	Г	Н	П	Б
5	2	x > 4	x < 2	9	23	25	0,5

Логарифмы в живописи

“...моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью, стала картина
Я. Вермера “Кружевница”, репродукция которой висела в отцовском кабинете”
Сальвадор Дали

Проверка ответов теста: У 1 варианта получилось Бюрги, у 2 варианта – Непер.

Это фамилии двух известных математиков: шотландца Джона Непера (1550 – 1617) и швейцарца Иобстома Бюрги (1552 – 1632), которыми одновременно и независимо друг от друга были изобретены логарифмы.

Заключение

Итак, сегодня на уроке мы убедились, что как сказал знаменитый французский философ и математик Жан Кондорсе, “гениальное изобретение логарифмов, упрощая арифметические операции, облегчает все применения вычисления к реальным предметам и, таким образом, расширяет сферу всех наук”. Поэтому тема нашего журнала выбрана не случайно. В этом проекте мы еще раз убедились в том, что математика — это универсальный язык, используя который, как инструмент познания мира, можно увидеть в нем гармонию, красоту, а самое главное проявление закономерности в вещах, на первый взгляд никак между собой не связанных. Возможно, язык математики станет универсальным ключом к познанию мирозданья и перевернет представление человечества о пространстве и времени.