Урок-лекция «Свойства функции»

Ключевые слова: функция, область определения, промежутки знакопостоянства, монотонности.

Оборудование: маркерная доска, компьютер, мультимедиа-проектор.

Тип урока: урок-лекция.

Цели урока:

• образовательные: систематизировать имеющиеся знания, научиться исследовать графики функций по их свойствам.
• развивающие: формировать умения анализировать свойства функций на основе имеющихся знаний, формировать коммуникативные умения, развивать навыки по применению знаний в различных ситуациях, анализировать и делать выводы.
• воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, развивать коммуникативные умения; формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Формы обучения: фронтальная, индивидуальная.

Изучение новой темы

Сегодня на уроке мы вспомним определения основных свойств функции, их геометрическую интерпретацию, символическую запись и посмотрим, как эти знания использовать при выполнении заданий.

Пусть дан график некоторой функции .

Рассмотрим следующие свойства:

Область определения функции (слайд 2)

Определение: 1. Область определения функции - это множество значений аргумента, при которых функция определена.

Или: это те значения, которые принимает независимая переменная.

На графике: Проекция графика функции на ось ОХ.

Проецируем крайние точки графика на ось ОХ. Заключённый между проекциями числовой промежуток и будет являться областью определения.

Задание (устно): Укажите область определения данной функции

Ответ запишем в виде:

Область значений функции (слайд 3)

Определение: Область значений функции – это множество чисел, состоящее из всех значений функции

Или: это те значения, которые принимает зависимая переменная

На графике: Проекция графика функции на ось ОУ

Задание (устно): Укажите область значений данной функции

Ответ запишем в виде:

Промежутки монотонности, или промежутки возрастания и убывания функции (слайд 4)

Определение: Функцию f называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента x₁ и x₂ из этого промежутка таких, что x₂ > x₁, выполняется неравенство f (x₂) > f (x₁).

Функцию f называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента x₁ и x₂ из этого промежутка таких, что x₂ > x₁, выполняется неравенство f (x₂)< f (x₁).

Определение можно сформулировать и так: Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

На графике: это интервалы оси ох, на которых график функции идёт вверх или вниз

Рассмотрим части графика, где он идёт вверх. Спроецируем начало и конец каждой такой части на ось ОХ. Заключённый между проекциями числовой промежуток и будет являться промежутком возрастания.

Задание (устно): Укажите промежутки возрастания и убывания данной функции

Ответ запишем в виде:

Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (слайд5)

Определение: Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке - это ординаты точек, в которых функция на данном промежутке принимает наибольшее и наименьшее значения

На графике: Ординаты самой высокой и самой низкой точек графика функции.

Задание (устно): Посмотрите на график. Укажите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках:.

Сравним результаты и сделаем вывод: при выполнении этого задания необходимо указать промежуток, на котором рассматривается наибольшее и наименьшее значения функции. Если в условии отрезок не указывается, то наибольшее и наименьшее значения функции рассматриваются на всей области определения. Записывается так:

Нули функции (слайд 6)

Определение: Нули функции - это точки пересечения графика с осью ОХ

На графике: Абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ

Задание (устно): Укажите нули данной функции

Ответ запишем в виде:

Точки экстремума (слайд 7)

Определение: Точка х₀ называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х₀ выполнено неравенство:

Точка х₀ называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х₀ выполнено неравенство:

Точки минимума и максимума называются точками экстремума

На графике: Точки, около которых график функции выгибается выпуклостью вверх или вниз

Задание (устно): укажите на графике точку минимума и точку максимума

Ответ запишем в виде:

точки экстремума: х = - 2 и х = 2,2

Промежутки постоянного знака функции (слайд 8)

Определение: Промежутки постоянного знака функции - это промежутки, на которых функция принимает положительные (отрицательные) значения

На графике: Интервалы оси ОХ, соответствующие точкам графика, лежащим выше (ниже) этой оси.

Рассмотрим части графика, расположенные выше оси ОХ. На оси абсцисс им соответствуют числовые промежутки, на которых функция принимает положительные значения.

Задание (устно): Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

Ответ запишем в виде:

Значения х на заданном интервале функции (слайд 9)

Укажите значения х, при которых -3< f(x) < 2

Нам нужно указать такие значения х, при которых части графика заключены между прямыми у = -3 и у = 2. Проведём эти прямые. Между ними заключены три части графика. Проецируем каждую на ось ОХ и записываем ответ:

Закрепление:

Укажите значения х, при которых f(x) 1,5

Ответ проверяем по слайду (слайд 10)

Домашнее задание:

Дан график функции .(слайд11)

Перерисуйте его и укажите следующие свойства:

1. Область определения функции
2. Область значений функции
3. Промежутки монотонности, или промежутки возрастания и убывания функции
4. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке
5. Нули функции
6. Точки экстремума
7. Промежутки постоянного знака функции

Список литературы

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и среднего профессионального. Образования/ М.И. Башмаков. – М.: Академия, 2010
2. Дорофеев Г.В. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике/ Г.В. Дорофеев. - М.: Дрофа, 2010. – 160 с.
3. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для общеобразовательных учреждений для 10-11 классов/ А.Н. Колмогоров. - М.: Просвещение, 2010. – 383 с.
4. Островский C.Л. Как сделать презентацию к уроку?/ С.Л. Островский: Первое сентября, 2010.