Внеклассное мероприятие по математике для учащихся 6-8 классов найдет место при проведении предметной недели. Призвано способствовать повышению интереса к предмету математики, развитию мышления, познавательной и творческой активности учащихся. Построение магических квадратов является интересным и увлекательным занятием и одновременно служит хорошей гимнастикой для ума, а так же способствует большему интеллектуальному развитию учащихся. Использование групповой формы работы позволяет учащимся ставить вопросы, решать проблемы, распределять роли и сотрудничать, убеждать других, отвечать за себя.
Цели:
- пробуждение и развитие устойчивого познавательного интереса учащихся к предмету;
- формирование умение использовать знания в нестандартной ситуации;
- формирование товарищеского доброжелательного отношения к членам команды и соперникам,
- знакомство с различными магическими квадратами, их свойствами.
– Милостливый государь, я составил магический квадрат 21-го порядка!
– А я – рамочный 23-го!
(из переписки Баше де Мезириака и Рене Декарта)
Ход занятия
Вступительное слово учителя
Среди занимательных задач теории чисел в число интереснейших входят те, которые связаны с магическими (волшебными) квадратами. Учение о них занимало значительное место в древние времена. Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы, и эти знаки известны под названием ло-шу. В XI веке о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии. В XVI веке Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7-ми планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. В работах XVII века магические квадраты выступили в роли математических развлечений.
Обратимся к Большой Советской энциклопедии: "Магический квадрат — квадрат, разделённый на равное число n столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки первыми n2 натуральными числами, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число».
Разминка
Вставь недостающие цифры (цифры в квадрате от 1 до 9) в магический квадрат.
Своеобразная мозаика чисел действительно придает магическому квадрату волшебную силу произведения искусства. Этот факт привлек не только математиков, но и художников. В начале VI века выдающийся немецкий художник, математик, астроном и географ Альберт Дюрер (1471–1528), в одной из своих гравюр, названной «Меланхолия» (1514), за фигурой крылатой женщины воспроизвел магический квадрат из 16 клеток.
Рассмотрим внимательнее, изображенный магический квадрат. Интересно, что в двух средних клетках нижней строки указано время ее написания (1514 год).
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
В этом магическом квадрате таится немало загадочных свойств.
Задание 1. Работа в группах – 10 минут.
Найти как можно больше свойств магического квадрата.
Проверка и обсуждение.
Свойство 1. Сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на каждой из двух диагоналей одна и та же. Она равна 34.
Свойство 2. Сумма чисел, расположенных по углам квадрата, также равна 34.
Свойство 3. Суммы чисел в каждом из четырехклеточных квадратов, примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате из 4 клеток – одинаковы, каждая равна 34.
Свойство 4. В любой строке квадрата имеется два рядом стоящих числа, с суммами 15 и 19 соответственно.
При желании можно отыскать и другие свойства квадрата Дюрера.
Задание 2. Работа в группах – до 10 минут.
Клетки квадрата 4×4 пронумеровали так, что клетка в правом нижнем углу получила номер 1, а все остальные получили разные номера от 2 до 16. Оказалось, что суммы номеров клеток каждой строки, каждого столбца, а также каждой из двух диагоналей квадрата одинаковы («магический» квадрат). Клетки квадрата заполнили буквами некоторого сообщения так, что его первая буква попала в клетку с номером 1, вторая - в клетку с номером 2 и т. д. В результате построчного выписывания букв заполненного квадрата (слева направо и сверху вниз) получилась последовательность букв
Ы Р Е У С Т Е В Ь Т А Б Е В К П.
Восстановите магический квадрат и исходное сообщение.
Решение:
Сначала восстановим магический квадрат. Сумма чисел во всех клетках квадрата равна
1 + 2 + ... +16 = 16 · 17 / 2 = 136,
значит, в каждом столбце (а также в строке, на диагонали) сумма чисел составляет 136:4=34. Попытаемся построить магические квадраты с суммой на линии, равной 34, и единицей в правом нижнем углу. Имеется несколько таких квадратов.
Расставляя буквы в соответствии с условием, только в одном случае, отвечающем четвертому квадрату, получаем читаемый текст: ПЕРЕСТАВЬТЕ БУКВЫ.
Остроумие и терпение привели математиков к построению рамочных квадратов, т.е. таких, что если в них отбросить окаймляющие полосы шириной в одну или несколько клеток, то оставшийся квадрат не утратит своего свойства. Например: магический квадрат порядка 7 с магической суммой 175. Если удалить внешнюю рамку, то останется магический квадрат порядка 5 и магической суммой 125. При удалении второй рамки – квадрат окажется магическим с магической суммой – 75.
Широкое распространение в наши дни магические квадраты получили в виде популярной головоломки с числами – игра Судоку. Судоку развивает мышление и логику.
Итог занятия
Ответить на вопрос Магические квадраты – магия или наука? И почему?
Для ответа на вопрос можно использовать следующие шаблоны:
- сегодня я узнал…
- мне было интересно…
- мне было трудно…
- я выполнял задания…
- я понял, что…
- теперь я могу…
- я почувствовал, что…
- я приобрел…
- я научился…
- у меня получилось …
- я смог…
- я попробую…
- меня удивило…
- мне захотелось…
Список литературы:
- Большая советская энциклопедия enc-dic.com/enc_sovet/Magicheski-kvadrat-34831.html
- А.Е. Малых Магические квадраты. // Живая математика, 2008, №1.
- В.А. Файнштейн Заполним магический квадрат // Математика в школе, 2000, №3.