Материал рассчитан на два урока. В конспекте урока не дается разбивка материала на первый и второй уроки в отдельности.
Этап 1. Введение нового материала.
Учащиеся записывают тему урока – «Пересечение событий» (1 слайд презентации). Учитель начинает объяснять тему, используя материал учебника «Теория вероятностей и статистика» (Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко, МЦНМО, ОАО «Московские учебники» Москва 2008) и работая с доской. Через проектор выводится второй слайд, включающий в себя определение и формульное обозначение ключевого понятия изучаемого материала (Пусть А и В – два события, относящиеся к одному случайному опыту. Взяв все элементарные события, которые благоприятствуют и событию А, и событию В, мы получим новое событие. Это новое событие называют пересечением событий А и В (в русском языке ему соответствует союз И). А ∩ В). Далее выводится третий слайд с продолжением теоретической части (Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта. Такие события называют несовместными, а их пересечение – пустое событие. Оно обозначается символом ᴓ ; можно написать А ∩ В = ᴓ).
Этап 2. Закрепление пройденного материала
Упражнение 1 (слайд 4).
Вначале выводится на экран текст «А – «четное число очков». Выпишите элементарные события, составляющие событие А ∩ В, и найдите Р (А ∩ В)».
Учитель: Мы ведем речь о броске игральной кости. Если событие А представляет собой выпадание четного числа очков, то какие же варианты при броске кости могут соответствовать этому событию?
Учащиеся: Если выпадет 2, 4 или 6 очков.
Учитель: Правильно.
На экране появляется табличка «А: 2, 4, 6» и текст «В - выпало число очков, кратное 3».
Учитель: Выпадение какого количества очков соответствует событию В?»
Учащиеся: 3 и 6 очков.
Учитель: Верно.
На экране появляется табличка «В: 3, 6».
Учитель: Давайте подумаем, какие из вариантов войдут в пересечение событий А и В? Как нам известно, это должны быть события, благоприятствующие и А и В одновременно.
Учащиеся: Это 6.
Учитель: Теперь найдем вероятность Р (А ∩ В). Каково общее количество событий?
Учащиеся: Шесть (может выпасть любая грань игральной кости).
Учитель: А благоприятствующих событий?
Учащиеся: Одно – выпадение 6 очков.
Учитель: Так какова вероятность Р (А ∩ В)?
Учащиеся: Одна шестая.
На экране появляется надпись: Выпало 6 очков. Р = 1/6
Учитель: Теперь решим следующую букву номера.
На экране появляется надпись: «б) В - выпало число очков, кратное 4».
Учащимся дается время подумать над решением. Затем на экране появляется табличка «В: 4» и надпись: «Выпало 4 очка. Р = 1/6».
Далее рассматриваются буквы в) и г) номера. На экране появляются надписи «В: 5, 6», «Выпало 6 очков. Р = 1/6», «В: 1,2», «Выпало 2 очка. Р = 1/6».
Учитель обращает внимание учащихся на то, что, невзирая на выпадение различных вариантов, вероятность все время оставалась равной 1/6.
Упражнение 2 (слайд 6)
На экране появляются надписи: «Бросают 2 игральные кости. Событие А – «на первой кости выпало меньше 3 очков». Событие В – «на второй кости выпало больше 4 очков». Пользуясь таблицей элементарных событий этого опыта, выделите цветом все элементарные события, благоприятствующие А, В и А ∩ В, а также найдите Р (А ∩ В)».
На экране появляется таблица всех возможных парных вариантов прокидки кости.
Учитель: Сколько элементарных событий благоприятствуют событиям А и В?
Учащиеся: 12 и 12. А – это все пары, где на первом мест стоит 1 или 2, а В – это все пары, где на втором месте стоит 5 или 6.
На экране данные пары событий выделяются зеленоватым и красноватым оттенками. Соответственно, появляется подсказка к ответу на следующий вопрос, задаваемый учителем.
Учитель: А сколько событий входят в пересечение событий А и В? Что это за события?
Учащиеся: 4 события: (1,5), (1,6), (2,5), (2,6).
Учитель: И какова же вероятность Р (А ∩ В)? Как ее найти?
Учащиеся: Число благоприятствующих событий – 4. Общее число событий – 36. Значит, Р = 4/36=1/9.
На экране появляется надпись: «Р (А ∩ В) = 4/36 =1/9».
Упражнение 4 (слайд 8)
Примечание: Упр. 3 пропускается.
На экран выводится надпись: «D – первый выбранный ученик – девочка; С – второй выбранный ученик – девочка» и таблички «D U С» и «D ∩ С».
Учитель: Итак, у нас дано два событий и требуется найти их объединение и пересечение. Как вы думаете, какой фразой можно выразить объединение данных событий? А пересечение?
Выслушав ответы учащихся, учитель открывает на слайде надписи: «Первый или второй выбранный ученик – девочка» и «Оба выбранных ученика – девочки».
Упражнение 5 (слайд 9)
Учитель: Это упражнение похоже на предыдущее.
На экране открываются надписи: «А – первый выбранный ученик – девочка; В – среди выбранных учеников есть только одна девочка», « А U В» и «А ∩ В».
Учитель дает время ученикам подумать над формулировками, предлагает им озвучить предполагаемые ответы и выводит на экран надписи: «Среди выбранных учеников есть только одна девочка» и «Первый выбранный ученик – единственная девочка, выбранная среди учеников».
Упражнение 6 (слайд 10)
Учитель: Еще одно похожее упражнение. Давайте поступим с ним так же, как с предыдущим.
По мере необходимости на экран выводятся следующие фрагменты слайда: «С – по дороге из школы домой вам встретится черная кошка; D – по дороге из школы домой вам встретится злая собака», «D U С» и «D ∩ С», «По дороге из школы домой вам встретится черная кошка или злая собака» и «По дороге из школы домой вам встретятся черная кошка и злая собака».
Упражнение 7 (слайд 11)
Аналогично трем предшествующим. По мере необходимости на экран выводятся следующие фрагменты слайда: «М – вас завтра вызовут к доске на уроке математики; G – вас завтра вызовут к доске на уроке географии», «M U G», «M ∩ G», «Вас завтра вызовут к доске на уроке математики или географии», «Вас завтра вызовут к доске на уроках математики и географии».
Упражнение 8 (слайд 12)
Вначале на экран выводится надпись: «А = 6, В = 8, А ∩ В = 2» и «Событие А наступает, а В – нет».
Учитель: Как вы думаете, сколько событий соответствует данному условию?
Учащиеся: 4 события.
На экране высвечивается табличка: «4 события». Затем появляется условие: «Событие В наступает, а А – нет».
Учитель: А сколько событий соответствует данному условию?
Учащиеся: 6 событий.
На экране высвечивается табличка: «6 событий».
Затем учитель предлагает учащимся изобразить соответствующую диаграмму Эйлера и по прошествии отведенного для этого времени открывает на слайде иллюстрацию.
Упражнение 9 (слайд 13)
На экран выводится надпись: «А = 6, В = 8, А U В = 10. Событие А наступает, а В – нет».
Учитель: Как вы думаете, сколько событий соответствует данному условию?
Учащиеся: 2 события.
На экране высвечивается табличка: «2 события». Затем появляется условие: «Событие В наступает, а А – нет».
Учитель: А сколько событий соответствует данному условию?
Учащиеся: 4 события.
На экране высвечивается табличка: «4 события».
Затем учитель предлагает учащимся изобразить соответствующую диаграмму Эйлера и по прошествии отведенного для этого времени открывает на слайде иллюстрацию.
Упражнение 12 (слайды 14-15)
Примечание: упр. 10-11 пропускаются.
На экран выводится надпись: «Изобразите на диаграмме Эйлера событие» и две таблички «А ∩`В» и «`А ∩`В ». Учитель специально предлагает к решению сразу два задания, чтобы сильные учащиеся за то время, покуда остальной класс будет обдумывать решение первого, сумели решить оба и (если учитель сочтет это возможным) донести решение второго задания до остальных учащихся.
По прошествии короткого времени учитель вызывает к доске одного из учащихся для решения задания, а затем открывает на слайде соответствующую иллюстрацию.
В отношении второго задания решение просто – можно даже не пытаться построить изображение, а ограничиться словом «отсутствует».
На слайде 15 задание выглядит таким образом: «`А ∩ В» и «`А `∩ `В ».
Учитель вновь дает учащимся время на размышления, а затем вызывает к доске двух учащихся для выполнения задания. На слайде имеются соответствующие иллюстрации:
Упражнение 13 (слайд 16)
Докажите, что Р (А ∩ В) ≤ Р(А) и Р (А ∩ В) ≤ Р(В).
Для выполнения данного упражнения учитель должен подвести учащихся к мысли, что при построении диаграммы Эйлера события А и В могут располагаться четырьмя способами. Вначале можно вызвать к доске какого-либо учащегося и попросить изобразить его события А и В с помощью диаграммы Эйлера. Скорее всего, на доске появится один из вариантов. Затем учитель должен спросить, могут ли события располагаться иначе и подтолкнуть учащегося к изображению всех четырех возможных вариантов.
Исходя из каждого из них, можно наглядно убедиться в том, что выражение Р (А ∩ В) ≤ Р(А) и Р (А ∩ В) ≤ Р(В) верно. Для первого рисунка пересечение – это центральная часть, для второго пересечение вообще пусто, для третьего – это множество А, а для четвертого – множество В. Все эти элементы несомненно меньше или равны множествам А и В (для первого – меньше, для второго – меньше, для третьего – равно А, для четвертого – равно В).
Для того, чтобы озвучить и отметить на диаграмме вышеизложенное, может быть вызван другой ученик или же учитель может предложить учащимся самостоятельно поработать над этим, чтобы проверить решение задания в конце урока.
Упражнение 14 (слайды 17, 18, 19)
На слайде 17 на экран выводится надпись: «Изобразите на диаграмме Эйлера событие» и две таблички «А ∩ В ∩ С» и «А ∩`В ∩ С».
Учитель вызывает к доске двух учащихся для решения задания, а после того, как те предложат решение, открывает ответы, находящиеся ниже на слайде. С остальными двумя слайдами работа ведется таким же образом.
На слайде 18 – «`А ∩ В ∩`С» и «А ∩ В ∩ С».
На слайде 19 – «А ∩ В ∩ С».
Упражнение 15 (слайды 20, 21, 22, 23, 24)
Учащиеся самостоятельно работают с учебником, заполняя требуемым образом диаграммы Эйлера. После завершения работы с очередным пунктом учитель выводит на экран верное решение, при необходимости поясняя, как оно получено, путем построения промежуточных диаграмм на доске.
Этап 3. Подведение итогов.
Учитель напоминает учащимся, какое понятие было рассмотрено; как выглядит диаграмма Эйлера, касающаяся этого понятия; как выглядит значок пересечения и какой союз в русском языке ему соответствует; чем отличается количество элементарных событий в А ∩ В в случае, если А и В имеют общие элементарные события или не имеют таковых. Возможно также пропустить часть слайдов презентации, дав пропущенные пункты в качестве домашнего задания, и рассмотреть их решение на следующем уроке.