Цель урока: формирование понятия арифметической прогрессии как одного из видов последовательностей, вывод формулы n-го члена, знакомство с характеристическим свойством членов арифметической прогрессии.
Задачи урока:
- Образовательные - ввести понятия арифметической прогрессии; формулы n-го члена; характеристическое свойство, которым обладают члены прогрессий.
- Развивающие - способствовать формированию умений сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умений наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности.
- Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.
Оборудование: презентация (Приложение 1)
План урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний. Устный счет.
3. Изучение нового материала.
4. Первичное закрепление в устной и письменной речи.
5. Блиц-контроль (первичный контроль знаний).
6. Подведение итогов урока. Рефлексия результативности.
7. Домашнее задание.
Ход урока
1. Организационный момент.
Приветствие, организация учащихся на учебную деятельность (сообщение темы и плана урока).
2. Актуализация опорных знаний. Устный счет.
1) Приведите примеры числовых последовательностей.
2) Является ли конечной или бесконечной последовательность делителей числа 1200?
3) Является ли конечной или бесконечной последовательность кратных числа 8?
4) Последовательность (хп) задана формулой: хп = п2 . Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168? Как называется такой способ задания последовательности?
5) О последовательности (ип ) известно, что и1 = 1, и2 = 1, ип +1 = ип + ип -1 при п>2. Как называется такой способ задания последовательности? Найдите первые шесть членов этой последовательности.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... . Эта последовательность описана в работах итальянского математика Леонардо из Пизы, известного под именем Леонардо Фибоначчи (1180 -1240). Члены этой последовательности называют числами Фибоначчи.
3. Изучение нового материала.
Числовая последовательность задана формулой ап = 2п + 5. Заполните таблицу.
| а1 | а2 | а3 | а4 | а5 | а6 | а7 |
Чему равен третий член первой последовательности?
Последующий член?
Предыдущий член?
Чему равна разность между вторым и первым членами?
Третьим и вторым членами?
Четвертым и третьим?
Каким свойством обладает эта последовательность? Сформулируйте это свойство.
Назовите два последующих члена последовательности. Почему Вы так считаете?
Числовая последовательность, обладающая этим свойством, называется арифметической прогрессией. (Предложить учащимся самим попробовать сформулировать определение).
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом:
(ап ) - арифметическая прогрессия, если ап +1 = ап + d, где d - некоторое число.
Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью арифметической прогрессии: d = ап +1 - ап .
Термин "прогрессия" имеет латинское происхождение (progression, что означает "движение вперед") и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин "прогрессия" в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий - арифметическая и геометрическая - сохранили свои названия.
Примеры арифметических прогрессий
Составьте последовательности, применяя определение арифметической прогрессии.
а1 = 1, d = 1
1; 2; 3; 4; 5; ...
последовательность натуральных чисел.
а1 = 1, d = 2
1; 3; 5; 7; 9; ...
последовательность положительных нечётных чисел.
а1 = -2, d = -2
-2; -4; -6; -8; -10; ...
последовательность отрицательных чётных чисел.
а1 = 7, d = 0
7; 7; 7; 7; 7; ...
Какой вывод вы можете сделать из предложенных примеров?
Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно.
Вывод формулы п-го члена арифметической прогрессии.
Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила бригада в июне? В декабре?
Чтобы ответить на поставленные вопросы необходимо последовательно вычислять количество изделий ежемесячно. Для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ не удобен. Давайте выведем способ, требующий наименьшей вычислительной работы.
По определению арифметической прогрессии:
а2 = а1 + d;
а3 = а2 + d = (а1 + d) +d = а1 + 2d;
а4 = а3 + d = (а1 + 2d) +d = а1 + 3d;
а5 = а4 + d = (а1 + 3d) +d = а1 + 4d;
а6 = а5 + d = (а1 + 4d) +d = а1 + 5d;
аn = а1 + d(n-1) - формула n-го члена арифметической прогрессии.
Используя полученную формулу, получаем ответ на поставленные вопросы.
а1 = 80, d =17
а6 = а1 + 5d
а6 = 80 + 5 · 17= 165 - количество изделий, изготовленное бригадой в июне
а12 = а1 + 11d
а12 = 80 + 11 ·17 =267 - количество изделий, изготовленное бригадой в декабре
4. Первичное закрепление в устной и письменной речи.
Выполнение заданий из учебника №575 (а,б), 576, 577 (решение у доски с объяснением).
5. Блиц - контроль (первичный контроль знаний).
Самостоятельная работа (с последующей самопроверкой по предложенным ответам) на карточках проводится в виде теста, как подготовка к итоговой аттестации в новой форме.
1 вариант.
1. Первый член арифметической прогрессии 2, разность 4. Укажите ее третий член.
А. 12 Б. 10 В. 8 Г. 14
2. Первый член арифметической прогрессии 5, второй 8. Укажите четвертый член.
А. 13 Б. 16 В. 14 Г. 11
3. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?
А. 2; 4; 8; 16; Б. -5; 5; -5; 5; В. 1; 3; 5; 7; Г. 1; 4; 9; 16.
2 вариант.
1. Первый член арифметической прогрессии 1, разность 3. Укажите ее третий член.
А. 9 Б. 6 В. 8 Г. 7
2. Первый член арифметической прогрессии 3, второй 7. Укажите четвертый член.
А. 15 Б. 16 В. 14 Г. 13
3. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?
А. 1; 4; 9; 16; Б. 3; -3; 3; -3; В. 5; 3; 1; -1; -3; Г. 1; 8; 27; 64.
3 вариант.
1. Первый член арифметической прогрессии 5, разность 4. Укажите ее третий член.
А. 12 Б. 11 В. 13 Г. 14
2. Первый член арифметической прогрессии 6, второй 3. Укажите четвертый член.
А. -3 Б. -2 В. -1 Г. 1
3. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?
А. 2; 4; 8; 16; Б. -6; 6; -6; 6; В. 1; 2; 4; 7; Г. 4; 1; -2; -5.
4 вариант.
1. Первый член арифметической прогрессии 3, разность 5. Укажите ее третий член.
А. 13 Б. 12 В. 11 Г. 10
2. Первый член арифметической прогрессии 4, второй 1. Укажите четвертый член.
А. -3 Б. -4 В. -5 Г. -6
3. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?
А. -2; 2; -2; 2; Б. 5; 2; -1; -4; В. 5; 3; 0; -4; Г. 1; 8; 14; 19.
Самопроверка осуществляется с помощью мультимедийного проектора.
| 1 вариант Ответы: 1. Б 2. В 3. В |
2 вариант Ответы: 1. Г 2. А 3. В |
3 вариант Ответы: 1. В 2. А 3. Г |
4 вариант Ответы: 1. А 2. В 3. Б |
6. Подведение итогов урока. Рефлексия результативности.
Что нового мы узнали на уроке?
Достигли ли вы поставленной цели?
Всё ли вам удалось?
Как вы думаете, всё ли мы узнали об арифметической прогрессии?
Попробуйте оценить свою работу на уроке?
Довольны ли вы своим результатом?
7. Домашнее задание:п.25, №575 (в,г), 578.
Закончить наш урок я хочу словами великого учёного Фалеса:
"Что есть больше всего на свете? - Пространство.
Что быстрее всего на свете? - Ум.
Что мудрее всего? - Время.
Что приятнее всего? - Достичь желанного".
Литература:
- Алгебра: Учебник для 9кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, П.Г. Миндюк, К.И.
- Нешков, С.Б, Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - М.:Просвещение, 2009г.
- Алгебра.9кл.:поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева и др./ авт.-сост. С.П. Ковалева
- Информационно-образовательные ресурсы Интеренет.