Урок математики по теме "Многогранники"

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: объяснительно-демонстрационный с элементами практикума.

Продолжительность урока: 2 урока по 45 минут.

Цели урока.

1. Дать понятия правильного многогранника, полуправильных и звездчатых многогранников.
2. Рассмотреть свойства многогранников.
3. Познакомить учащихся с историей возникновения и развития теории многогранников.
4. Расширить представления учащихся об окружающем мире с точки зрения теории правильных многогранников.

Задачи урока.

Обучающие:

• Познакомить с историей возникновения и развития теории многогранников.
• Ввести понятие правильного многогранника.
• Рассмотреть свойства правильных многогранников.

Развивающие:

• Формирование пространственных представлений учащихся.
• Формирование умения обобщать, систематизировать, видеть закономерности.
• Развитие монологической речи учащихся.
• Развитие стремлений к активной познавательной деятельности.

Воспитательные:

• Воспитание эстетического чувства.
• Воспитание умения слушать.
• Формирование интереса к предмету.

В ходе урока

Учащиеся должны знать:

1. Определение правильных многогранников.
2. Виды правильных многогранников.
3. Знать свойства правильных многогранников.
4. Знать формулу Эйлера.

Учащиеся должны уметь:

1. Различать пять видов правильных многогранников.
2. Пользоваться формулой Эйлера для определения свойств правильных многогранников.

Оборудование:

• Учебник. Геометрия, 10-11 классы.
• Компьютеры.
• Проектор или интерактивная доска.
• Модели правильных и полуправильных многогранников, развертки правильных и полуправильных многогранников.
• Репродукции картин Сальвадора Дали “Тайная вечеря”, “Гиперкубическое распятие”, А. Дюрера “Меланхолия”, портрет И. Кеплера, изображение скульптуры “Платон”.
• Таблицы, изображение “Космический кубок” Кеплера (модели Солнечной системы)
• Заготовки для выполнения моделей правильного многогранника.

Подготовительная работа: учащиеся готовят рефераты и сообщения на 5-6 минут по предложенным темам под руководством учителей математики, физики, химии, биологии.

Ход урока

1. Орг.момент (2 минуты).

2. Целеполагание (2 минуты).

Учитель: Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? Какие тела носят название тел Кеплера-Пуансо? И многие - многие другие… И, наконец, где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? Данный материал пригодится нам при изучении темы "Объемы многогранников” и при решении задач на комбинацию геометрических тел.

3. Изучение нового материала.

Объяснение нового материала учителем. (15 минут).

Учитель: Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: "Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”. Название "правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Правильные многоугольники – это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, правильные многогранники – это многогранники, ограниченные правильными и одинаковыми многоугольниками.

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК - выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

В природе известны, пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Изучая любые многогранники, необходимо, конечно же, определить его свойства, для этого предлагаю определить количество граней, ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты в таблице 1.

Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: “нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет. Вот в столбце “грани” все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность “провалилась” (8 + 2). В столбце “вершины” нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце “ребра” закономерности тоже не видно. Но не будем сдаваться. У нас еще есть поле для эксперимента. Ведь мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (таблица. 2).

Вот теперь закономерность видна.

Сформулируем ее так: “Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2”: Г + В = Р + 2.

Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. (Рисунок 1). Приложение

Конечно, кроме этого свойства необходимо отметить, что ребра правильного многогранника равны между собой и что равны также все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром. Следовательно, радиус вписанной и описанной сферы многогранника совпадают.

Зададимся теперь вопросом о том, сколько правильных многогранников существует. Рассматривая многогранник, видим, что каждая вершина может принадлежать трем и более граням, иначе не получается пространства.

Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324° - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует. Таким образом, мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.

ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников.

ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов

ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников.

ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:

“эдра” - грань

“тетра” - 4

“гекса” - 6

“окта” - 8

“икоса” - 20

“додека” - 12

Рисунок 2. Приложение

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых "Начал” Евклида. Как говорилось раньше, эти многогранники часто называют также платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли 4 стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.

Приложение 1.Приложение

Учитель: А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571–1630).

Приложение 2. Приложение

Учитель: Луи Кэрролл писал: "Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

В глубины каких наук пробрались правильные многогранники? Где в жизни мы можем их повстречать? Рисунок 14, Рисунок 14-1, Рисунок 14-2, Рисунок 14-3.

4. Выступления учащихся с докладами. (по 5-6 минут).

5. Практическая работа (15 минут).

Работа в группах. Деление на группы производится заранее, учитывая уровень подготовки детей, так же их желание. Задания дифференцированные. Более подготовленные учащиеся входят в 1 и 3 группу, 4-5 группа- ученики, которые хорошо работают в графическом редакторе. Можно разделить между 4 и 5 группой многогранники (2 одной группе и 3 другой). Развертки, которые получатся, необходимо распечатать учащимся для выполнения дом. задания.

1 группа - доказать, что правильных многогранников 5.

2 группа - заполнить таблицы и сделать вывод.(модели).

3 группа - вывести формулы полной поверхности правильных многогранников.

4-5 группы - нарисовать развертки (на компьютере).

6. Отчет групп о работе (15 минут).

Один представитель группы отчитывается о результатах у доски (3-4 минуты каждой группе).

Учащиеся делают соответствующие записи в тетради.

7. Рефлексия (7-8 минут).

При наличии времени учитель проводит компьютерное тестирование (рефлексия усвоения учебного материала), если времени мало, то только рефлексию учебной деятельности, а на следующем уроке – тест, рефлексию усвоения учащимися учебного материала.

Тест первичного закрепления. (Учащиеся занимают места за компьютерами по 2)

Тест

1. Какие многогранники называются правильными.
1. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – правильные многоугольники.
2. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер
3. Выпуклый многогранник называется правильным, если в основании лежит правильный многоугольник и основание высоты совпадает с центром многогранника
2. Апофема это -
1. Высота призмы
2. Высота основания пирамиды
3. Высота боковой грани.
3. Сколько у тетраэдра граней, ребер, вершин
1. Г-4; Р-4; В-6.
2. Г-4; Р-6; В-4.
3. Г-6; Р-4; В-4.
4. Ребро куба 2 см. Чему равна площадь полной поверхности.
1. 24
2. 16
3. 48
5. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна
1. периметр основания на апофему
2. полупериметр основания на высоту
3. Периметр основания на высоту.
6. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?
1. Да
2. Нет
7. На какие многогранники рассекает треугольную призму плоскость, проходящая через вершину верхнего основания и противоположную ей сторону нижнего основания?
1. треугольную и четырехугольную пирамиды.
2. две треугольные призмы.
3. две треугольные пирамиды.
8. Космонавт сообщил на базу, что обнаружил странный космический объект. Это геометрически правильное твердое тело, которое выглядит одинаково, какой бы гранью ни повернулось. Так было до тех пор, пока космонавт до него не дотронулся. После чего три грани космического тела пульсируют красными огнями, три - голубыми, а остальные шесть - зелеными. Ученые на базе до сих пор пытаются определить, что это за огни. Однако теперь они знают форму всех граней космического объекта. А вы знаете?
1. Икосаэдр
2. Додекаэдр
3. архимедово тело

Рефлексия деятельности учащихся на уроке.

- Что понравилось на уроке?

- Какой материал был наиболее интересен?

- Оцените свою работу на уроке: плохо работал, хорошо, отлично. Поднимите руки, кто работал плохо? Почему? И т.д.

- Связь геометрии, с какими науками вы увидели сегодня на уроке?

- В каких еще областях деятельности можно встретиться с правильными многогранниками?

- Как вы думаете, пригодятся ли вам знания данной темы в вашей будущей профессии?

8. Подведение итогов. Выставление оценок (2 минуты).

9. Домашнее задание.

Изготовить модели 5 правильных многогранников. По желанию - полуправильных и звездчатых (дополнительная оценка). (Учащимся можно распечатать развертки многогранников, которые нарисовали 4 и 5 группы). Рисунок 15.