Цели: изучить теорему Виета; показать зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами; формировать умение применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых квадратных уравнений.
Ход урока
I. Организационный момент
Разбить класс на пять групп для дальнейшей работы на уроке
II. Устная работа
1. Назовите полные, неполные и приведённые квадратные уравнения:
| а) 3х2 – 2х = 0; | е) –21х2 + 16х = 0; |
| б) 7х2 – 16х + 4 = 0; | ж) х2 = 0; |
| в) х2 – 3 = 0; | з) х2 + 4х + 4 = 0; |
| г) –х2 + 2х – 4 = 0; | и) х2 = 4; |
| д) 2 – 6х + х2 = 0; | к) –7х2 + 6 = 0. |
2. Преобразуйте квадратное уравнение в приведённое:
| а) 3х2 + 6х – 12 = 0; | г) 4х2 + 16х – 2 = 0; |
| б) 2х2 = 0; | д) 3х2 – 7 = 0; |
| в) –х2 – 2х + 16 = 0; | е) –5х2 + 10х – 2 = 0. |
III. Изучение нового материала
1. “Открытие” теоремы Виета.
Организуем лабораторную исследовательскую работу. Для этого каждая группа решит приведённое квадратное уравнение. После его решения один представитель от каждой группы выходит к доске и заполняет соответствующую строку в таблице:
| Уравнение | b | c | Корни | Сумма корней | Произведение корней |
| х2 – 3х + 12 = 0 | |||||
| х2 – х – 12 = 0 | |||||
| х2 + 5х + 6 = 0 | |||||
| х2 + 3х – 10 = 0 | |||||
| х2 – 6х – 7 = 0 |
После этого учитель предлагает учащимся сравнить сумму и произведение полученных корней с коэффициентами b и c. Какое предположение можно сделать? Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Сформулируйте утверждение и запишите его. Учитель подтверждает сделанное предположение, сообщая, что данное утверждение называется теоремой Виета, обращая внимание учащихся, что эта теорема справедлива для приведенных квадратных уравнений.
Историческая справка. Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540 – 1603). Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была всего лишь увлечением, благодаря упорному труду, он добился в ней больших результатов. В 1591 году он ввел буквенные обозначения для коэффициентов при неизвестных в уравнениях, что дало возможность записать общими формулами корни уравнения, а также его свойства. Виет сделал множество открытий, сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которое называется теоремой Виета.
Рассмотреть доказательство теоремы можно по учебнику (с. 127– 128), поскольку оно не является сложным. После доказательства на доску выносится запись:
Теорема Виета Если х1, х2 – корни уравнения x2 + px + q = 0, то х1 + х2 = –р; х1 * х2 = q. |
Для первичного усвоения теоремы Виета можно предложить учащимся выполнить устно упражнение на нахождение суммы и произведения корней квадратного уравнения:
№ 580 (а, б, в, г) – устно.
2. Теорема Виета для не приведённого квадратного уравнения.
При выполнении устной работы в начале урока учащиеся вспомнили, как преобразовать квадратное уравнение в приведённое. Следует предложить им самостоятельно вывести формулы для не приведённого квадратного уравнения, используя теорему Виета. После этого на доску выносится запись:
Теорема Виета Если х1, х2 – корни уравнения аx2 + bx + c = 0, то х1 + х2 = |
; х1 * х2 = 
.Приводится стихотворение:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого –
Умножишь ты корни, и дробь уж готова:
В числителе “с”, в знаменателе “a”.
И сумма корней тоже дроби равна,
Хоть с минусом дробь та, ну что за беда:
В числителе “b”, в знаменателе “а”.
3. Теорема, обратная теореме Виета.
Обращаем внимание учащихся, что по теореме Виета мы можем только убедиться в правильности нахождения корней с помощью дискриминанта. Возникает вопрос, а если мы подберем такие числа, которые в сумме будут равны второму коэффициенту с противоположным знаком, а в произведении – свободному члену, то не будут ли они являться корнями уравнения? Подчеркиваем, что мы хотим воспользоваться утверждением, обратным теореме Виета, значит, мы должны его доказать. Работа с теоремой Виета и обратной ей теоремой позволяет формировать элементы математической культуры учащихся.
После рассмотрения (по учебнику) доказательства теоремы привести примеры нахождения корней квадратного уравнения подбором.
IV. Формирование умений и навыков
1. № 580 (д, е, ж, з) – устно.
2. № 581 (а, в), № 582 (а, б, г, д).
3. Решите квадратное уравнение по формуле и сделайте проверку, используя теорему Виета:
| а) х2 + 7х – 8 = 0; | в) х2 – 4х – 5 = 0; |
| б) х2 – 5х – 14 = 0; | г) х2 + 8х + 15 = 0. |
4. № 583 (а, в).
5. Найдите подбором корни уравнения:
| а) х2 – 11х + 28 = 0; | г) х2 + 3х – 28 = 0; |
| б) х2 + 11х + 28 = 0; | д) х2 + 20х + 36 = 0; |
| в) х2 – 3х – 28 = 0; | е) х2 + 37х + 36 = 0. |
V. Проверочная работа
Каждое из следующих уравнений имеет по два корня: х1 и х2. Не находя их, найдите значение выражений х1 + х2 и х1 · х2:
Вариант 1
| а) х2 – 7х – 9 = 0; | в) 5х2 – 7х = 0; |
| б) 2х2 + 8х – 19 = 0; | г) 13х2 – 25 = 0. |
Вариант 2
| а) х2 + 8х – 11 = 0; | в) 4х2 + 9х =0; |
| б) 3х2 – 7х – 12 = 0; | г) 17х2 – 50 = 0. |
VI. Итоги урока
Вопросы учащимся:
– Сформулируйте теорему Виета.
– Что необходимо проверить, прежде чем находить сумму и произведение корней приведённого квадратного уравнения?
– Как можно применить теорему Виета для не приведённого квадратного уравнения?
– В чём состоит теорема, обратная теореме Виета? Когда она применяется?
VI. Домашнее задание:
№ 581 (б, г), № 582 (в, е), № 583 (б, г), № 584.
Дополнительно: найти подбором корни уравнения:
| а) х2 – 12х + 27 = 0; | в) х2 + 9х – 36 = 0; |
| б) х2 + 6х – 27 = 0; | г) х2 – 35х – 36 = 0. |