Цель урока: систематизировать различные подходы к решению задач на "Сплавы, смеси и концентрации".
Задачи:
- Познакомить с основными положениями, формулами, теоретическими обоснованиями и методическими комментариями к решению задач на сплавы.
- Сформировать умения решения задач на сплавы.
- Показать различные способы решения задач.
- Научить анализировать условие задачи в плане выбора оптимального способа решения.
- Подготовить учащихся к решению задач названного типа из КИМов ЕГЭ.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний учащихся.
Вступительное слово учителя: В школьных учебниках тема «Сплавы, смеси и концентрации" практически не затрагивается. Ограниченное число решенных задач не позволяет всем выпускникам самим увидеть закономерности и осуществить «перенос» знаний на другую ситуацию. Большое внимание решению таких задач уделено на различных сайтах Интернета, где виртуальные репетиторы и сайты по подготовке к ЕГЭ дают различные подходы к решению задач названного типа и предлагают выпускникам не отказываться от решения таких задач, так как трудности при их решении вполне преодолимы. Предлагаю вам сегодня поработать над данной темой и оценить свои возможности при решении задач.
Решите задачи:
А) На базу привезли 96 т капусты. 20% всей
капусты отправили в магазин. Сколько тонн
капусты осталось? Ответ: 76,8 т.
Б) Тракторная бригада вспахала 24 га земли, что
составило 15% площади всего поля. Какова площадь
поля? Ответ: 160 га.
В) В цехе работают 60 рабочих, из них 36
фрезеровщиков. Сколько процентов от всего числа
рабочих составляют фрезеровщики? Ответ: 60%.
Вопросы классу:
- Что является алгебраической основой решения таких задач? (Ответ: знания о пропорции и ее свойствах, понятие процента, простейшие задачи на проценты).
- Какие еще умения и навыки вам потребуются для решения задач по теме «Сплавы»? (Ответ: умение составлять уравнения или системы уравнений, исходя из условия задачи и решать их).
3. Основная часть. Решение задач по теме «Сплавы»
3.1. Вопросы классу:
1) Что будет являться предметом изучения нашей темы? (Ответ: текстовые задачи по математике по теме "Сплавы, смеси и концентрации".)
2) Объектом изучения темы? (Ответ: систематизация способов решения задач названного типа.)
3) К какому результату мы с вами должны прийти? Предложите гипотезу.
(Ответ: Гипотеза: если систематизировать предлагаемые способы решения задач и выработать алгоритм по их анализу и решению, то изучение данной темы позволит нам освоить данную тему.)
Содержание КИМов по математике подтверждают необходимость изучения этого материала в программе по математике в старшей школе.
3.2. Задачи на сплавы
Рассмотрим смесь двух компонент А и В.
Масса смеси складывается из масс чистых
компонент:m = mA + mB.
Отношения СА = 
, CB = 
показывают,
какую часть полной массы смеси составляют массы
отдельных компонент и называются массовыми
концентрациями этих компонент. Концентрация –
это безразмерная величина; сумма
концентраций всех компонент, составляющих смесь,
очевидно, равна единице
СА + СB = 1.
Процентным содержанием компонент А и В называются величины
РА = СА . 100 %,
РB = СB . 100 %,
т.е. концентрации этих веществ, выраженные в процентах.
Задача 1. Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, в во втором меди в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди.
Решение
В I-ом сплаве массы меди и цинка находятся в отношении 2:1, а во втором – в отношении 1:5. Следовательно, концентрации меди и цинка в первом сплаве:
С'м = 
, С'ц = 
.
Аналогично для второго сплава имеем:
С"м=
;
С"ц=
.
Если взять хкг первого сплава и укг
второго сплава, то в новом сплаве будет 
кг меди и 
кг цинка.
По условию, в новом сплаве цинка будет в 2 раза больше, чем меди, т.е. =>
т.е. 2х = у =>.
Следовательно, у > х в 2 раза. Ответ: в 2 раза больше следует взять II-го сплава.
Задача 2. В двух сплавах медь и цинк относятся как 4:1 и 1:3. После совместной переплавки 10 кг первого сплава и 16 кг второго сплава, и нескольких кг чистой меди получили сплав, в котором медь и цинк относятся как 3:2. Определить вес нового сплава.
Решение:
С – массовая концентрация
Сcu = 
в
I сплаве, а во II сплаве Сcu = 
Сzn = 
в I сплаве,
а во II сплаве Сzn = 
10 . = 8 кг – Cu в I сплаве
16 . = 4 кг – Cu во II сплаве
10 . 
= 2 кг – Zn в I сплаве
16 . 
= 12 кг – Zn во II сплаве
Пусть х чистой меди добавили в III сплав.
8 + 4 + х = (12 + х) кг Cu в III сплаве
Зная, что в III сплаве медь и цинк относятся как 3:2,
можно составить уравнение:
х = 9 кг чистой меди добавили в III сплав
10 + 16 + 9 = 35 кг. Ответ: 35 кг вес нового сплава.
Задача 3. В двух сплавах медь и цинк относятся как 5:2 и 3:4 (по весу). Сколько кг каждого сплава надо взять, чтобы после совместной переплавки получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?
Решение.
Пусть I сплава х кг, тогда II сплава (28 – х)
кг.
– содержание
меди в I сплаве
– содержание
цинка в I сплаве
– содержание
меди во II сплаве
– содержание
цинка во II сплаве
– попало
меди в III сплав
– попало
цинка в III сплав
Т.к. в третьем сплаве равное содержание медь и
цинка, составим уравнение:
5х + 3(28 – х) = 2х + 4(28 – х)
5х + 84 – 3х = 2х + 112 – 4х
2х + 84 = 112 – 2х
4х = 28
х = 7 кг
Первого сплава нужно взять 7кг.
28 – 7 = 21 кг нужно взять II сплава. Ответ: для
совместной переплавки нужно взять 7 кг I сплава и
21 кг II сплава.
Задача 4. Сплав меди с серебром
содержит серебра на 1845 г больше, чем меди. Если к
нему добавить некоторое количество чистого
серебра, по массе равное 
серебра, первоначального содержания
в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5%
серебра. Какова масса сплава?
Решение.
Пусть Cu – х кг, тогда Ag – (х + 1845) г.
Весь сплав – (2х + 1845) г.
К сплаву добавили (х + 1845) . = (х + 615) г Ag.
Стало (х + 1845 + х +
615) = (
х + 2460) г Ag.
Получили новый сплав:
(2х + 1845 + х + 615) = (
х + 2460) г.
Массовая концентрация Ag – 83,5% = 
.
Составим уравнение:
х .
200 + 2460 . 200 = х .
167 + 2460 . 167
х = 2460 .
33
х = 
х = 660 г – Cu в сплаве
2 . 660 + 1845 = 3165 г – весь сплав. Ответ:
масса сплава 3165 г.
Задача 5. Вычислить вес и процентное содержание серебра в сплаве с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав, содержащий 84% серебра.
Решение.
Пусть х (кг) – серебро в первоначальном
сплаве,
у (кг) – медь,
(х + у) кг – I сплав,
(х + у +3) кг – II сплав, добавили 3 кг серебра.
1) 
–
содержание серебра во II сплаве
х = 9у – 3
2) 2 . 0,9 = 1,8 кг – количество
серебра в 2 кг III сплава
3) 
–
количество серебра в IV сплаве
у = 0,6 кг – медь в I сплаве
х = 9 . 0,6 – 3 = 2,4 кг – серебро
4) Cag = 
.
100% = 80%. Ответ: 2,4 кг серебра, Cag = 80%.
3.3. Рассмотрим еще один из способов решения задач методом "прямоугольников", который соответствует представлениям о процессе сплавливания. Метод позволяет компактно и наглядно представить эти процессы, упрощая составление уравнения.
Задача 6. Имеется два сплава с различным процентным содержанием свинца. Вес одного 6 кг, вес другого 12 кг. От каждого отрезали по куску равного веса, после чего их сплавили с остатком другого куска. В результате процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый отрезанный кусок?
Решение.
Пусть х – масса каждого отрезанного
куска.
Обозначим хА – массу куска, отрезанного от
сплава А, а хВ – от сплава В.
Нарисуем схему.
Одинаковое процентное содержание свинца в обоих полученных сплавах возможно только при условии, когда количество сплава А и сплава В в слитках пропорционально. Составим пропорцию:
(6 – х) . (12 – х) = х2
х2 – 18х + 72 = х2
18х = 72
х = 4 (кг) – масса каждого отрезанного куска. Ответ:
4 кг.
Задача 7. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить новый сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?
Решение
х – количество первого сплава в новом
куске.
у – количество второго сплава в новом куске.
х – количество
первого металла в первом сплаве.
у – количество
первого металла во втором сплаве.
х + у – количество первого
металла в новом куске.
(х + у) –
количество первого металла в новом куске.
Получаем уравнение:
х + у = (х + у)
Решаем его:
220х + 264у = 255х + 255у
220х + 264у – 255х – 255у = 0
– 35х = – 9у
у = 
х
Ответ: чтобы
получить новый сплав, надо взять 9 частей первого
сплава и 35 частей второго сплава.
Выводы. Видим, что в основном при решении задач все уравнения — линейные. Никаких квадратов, никаких дискриминантов и тем более дробно-рациональных выражений. Вот почему задачи на сплавы считаются доступными.
4. Задачи для самостоятельного решения
1. Имеются три сплава. Первый содержит 30% никеля и 70% меди, второй – 10% меди и 90% марганца, третий – 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40% марганца. В каком соотношении следует взять эти сплавы, чтобы в новом сплаве содержание меди было 40%?
2. Из двух сплавов меди, первый из которых содержит 7 кг меди, а второй 8 кг. Меди получили новый сплав, содержащий 18% меди. Каково процентное содержание меди в первом сплаве на 20 больше, чем во втором?
Литература к уроку.
- Бесчетнов В.М. Математика. Курс лекций для учащихся 7-11 классов. Т.1,2. М., 1994.
- Залогин Н.С. Конкурсные задачи по математике. Киев., 1994.
- Сборник задач по математике для поступающих во втузы. В 2-х кн. Кн.1 Алгебра/ Под ред. Сканави. М.,1995.
- Семенко Е.А. и др.Обобщающее повторение курса алгебры и начал анализа. Краснодар: «Просвещение-Юг», 2005.Ч.1. – 156с
- Семенко Е.А. и др.Тестовые задания для подготовки к ЕГЭ – 2008 по математике.. Краснодар: «Просвещение-Юг», 2008.Ч.2. – 103с
- Черкасов О., Якушев А. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. М., 1999.
- Сайты Интернета: