Тема урока: "Рациональные решения квадратных уравнений". 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:

  • образовательная: обобщить и систематизировать знания и умения решения квадратных уравнений;
  • развивающая: формировать умения определять тип квадратного уравнения и выбирать рациональное решение по его коэффициентам;
  • воспитательная: воспитывать внимательность и краткость изложения решений.

Тип урока: обобщение знаний и умений решения квадратных уравнений.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, карточки с заданиями, доска.

Эпиграф

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
(Г.Лейбниц) 

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Учитель настраивает учащихся на урок и даёт установку на внимательность в подходе к решению квадратных уравнений.

2. Проверка домашнего задания.

Учащиеся сдают тетради на проверку. Учитель отвечает на возникшие вопросы у учащихся.

3. Формулирование цели и задачи урока.

Рассмотрим несколько вариантов решения квадратных уравнений, сравним их и научимся выбирать рациональное решение.

4. Классификация квадратных уравнений.

На интерактивной доске учащимся представляется таблица классификации квадратных уравнений и предлагается её прокомментировать.

Полное квадратное уравнение Частные случаи полного квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0, где х – переменная,

a, b, c – некоторые числа, причем a 0.

D = b2 – 4ac (дискриминант);

если D > 0, то уравнение имеет два корня

х1 ; х2 ;

если D = 0, то уравнение имеет один корень (или ещё говорят, имеет два равных корня)

х (х1 х2 = );

если D < 0, то уравнение не имеет корней.

(D не всегда обязательно вычислять, иногда достаточно сравнить с нулём).

 а) если b=2k, то ax2 +2kx + c =0,

D = 4(k2 –ac) = 4D1 (дискриминант), где D1 = k2 –ac;

если D1 >0, то D >0, уравнение имеет два корня

х1 ; х2;

если D1 = 0, то D = 0, уравнение имеет один корень х ;

б) D > 0, если a+b+c=0, то

х1 = 1; х2 = ;

D = 0, если a+b+c=0, то

х=1;

в) D > 0, если a-b+c=0, то

х1 = -1; х2 = ;

D = 0, если a-b+c=0, то

х = -1.
Приведенное квадратное уравнение Частный случай приведенного квадратного уравнения
x2 + px + q = 0, если D > 0, уравнение имеет два корня и решается по теореме, обратной теореме Виета  х1+х2 = -p, х1·х2 = q. Если p – четное, D = 4(– q)= 4D2 (дискриминант),

где D2 = (– q);

D2 > 0, то D > 0, уравнение имеет два корня

х1 + , х2 - .

Неполное квадратное уравнение
а) ax2 + c = 0, где с0;

если - > 0, то

х1 - , х2 =   ;

если - < 0, то уравнение не имеет корней.

 б) ax2 + bx = 0, где b0; уравнение имеет два корня

х1 = 0, х2 = - .

 в) ax2 = 0; уравнение имеет один корень

х = 0.
Метод “переброски”

ax2 + bx + c = 0, для решения данного квадратного уравнения составим и решим вспомогательное квадратное уравнение путём умножения свободного члена на первый коэффициент и запишем это произведение в новом уравнении свободным членом, т.е. получим квадратное уравнение вида

у2 + by + ac = 0. Полученное квадратное уравнение можно решать любым рациональным способом (как правило, по теореме, обратной теореме Виета). Его корни - у1 и у2. Корни исходного квадратного уравнения:

х1 = и х2 = .

5. Ознакомившись с таблицей классификации, трём учащимся предлагается составить свои уравнения для каждого случая и решить их на доске с последующими комментариями.

Например:

1. 5х2 – 11х + 2 = 0;

D = b2 – 4ac = (-11)2 - 45·2 = 81; D > 0, уравнение имеет два корня;

х1 = = = 0,2;

х2 = = = 2.

Ответ: 0,2; 2.

2. 3х2 – 14х + 16 = 0;

D1 = k2 –ac = (-7)2 - 316 = 1; D > 0, уравнение имеет два корня;

х1 = = = 2;

х2 = = = 2.

Ответ: 2; 2.

3. 15х2 +22х - 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как 15 + 22 – 37 = 0, то х1 = 1, х2 = = - 2 .

Ответ: 1; - 2 .

Следующим трём учащимся предлагается аналогичное задание, но для других случаев.

4. -15х2 + 22х + 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как -15– 22 + 37 = 0, то х1 = -1 , х2 = = 2 .

Ответ: -1; 2 .

5. х2 – 5х + 6 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по теореме, обратной теореме Виета х1+х2 = 5, х1·х2 = 6.

Значит, х1 = 2, х2 = 3.

Ответ: 2; 3.

6. х2 – 6х + 7 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом имеем

х1 + , х2 - .

Ответ: - , + .

Следующему учащемуся предлагается решить квадратное уравнение методом “переброски”.

7. 5х2 + 37х - 24 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

составим вспомогательное уравнение

у2 + 37y – 120 = 0; по теореме, обратной теореме Виета у1+ у2 = -37, у1·у2 = -120.

Значит, у1 = -40, у2 = 3, тогда корни исходного уравнения

х1 = - 8, х2 = .

Ответ: - 8, .

6. Устные упражнения:

(учащимся предлагается прокомментировать возможные способы рационального решения квадратного уравнения).

1. 2х2 + 3х + 1 = 0; (D > 0, a – b + c = 0);

2. х2 + 5х - 6 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

3. 3х2 - 7х + 4 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

4. 5х2 + 8х + 3 = 0; (D1 > 0, значит, D > 0, a – b + c = 0);

5. у2 - 10y – 24 = 0;  (D2 > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

6. у2 + y – 90 = 0; (D > 0, по теореме, обратной теореме Виета);

7. у2 - 8y – 84 = 0; (D2 > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

8. 3х2 - 8х + 5 = 0; (D1 > 0, значит, D > 0, a + b + c = 0);

9. 3х2 + 6х = 0;  (неполное квадратное уравнение; случай б));

10. 4х2 - 16 = 0;  (неполное квадратное уравнение; случай а));

11. 3у2 - 3y + 1 = 0;  (D < 0, уравнение не имеет корней);

12. 14х2 - 5х - 1 = 0;  (D > 0, метод “переброски”).

7. Творческая самостоятельная работа

(по карточкам; в двух вариантах; с последующей устной проверкой).

8. Домашнее задание.

1. Повторите таблицу классификации квадратных уравнений.

2. Решите квадратные уравнения наиболее рациональным способом:

3. Составить пять квадратных уравнений с недостающими коэффициентами.