Курс по выбору "Решение логических задач"

Пояснительная записка

Программа курса построена в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта по математике.

Курс рассчитан на 8 часов.

Цель курса: продолжить формирование представления о методах решения логических задач, способствующих развитию логического мышления.

Задачи:

• Расширить представление учащихся о способах решения задач;
• Развивать творческий подход к решениям задач;
• Сформировать у учеников интерес к задачам и к самой математики.

В процессе решения задач у обучающихся формируются умения определять тип задач, выбирать метод решения, выстраивать логическую цепочку, делать выводы.

Курс вызовет интерес к изучению математики. Результатом обучения послужит приобретение опыта в решении нетрадиционных задач. Задачи интересны и доступны, они вызывают желание узнать больше, расширить свой кругозор, так как связаны с ситуациями из жизни.

Программа предусматривает лекционные занятия, решение задач составление и оформление творческих работ, выполнение диагностического теста.

Содержание курса:

1. Логические задачи – 3 часа. Понятие логических задач. Виды логических задач. Логические задачи в стихах. Задачи на шахматной доске. Логические задачи на спичках.
2. Геометрические задачи – 2 часа. Нестандартные задачи с практическим содержанием. Задачи на разрезание.
3. Старинные задачи – 2 часа. Текстовые задачи с практическим содержанием.
4. Диагностический тест – 1 час.

В путь по тропинкам математики

“Торопись, ведь дни проходят,
Ты у времени в гостях,
Не рассчитывай на помощь,
Помни: всё в твоих руках.”

Юстас Палецкис

Нет нужды в точной классификации и перечислений всех тропинок в математике – их много. Главная из них та, которая начинается за школьным столом и учебной книгой, вливающаяся затем в основную, широкую тропу систематического, вдумчивого изучения раздела за разделом одно из древнейших и прекраснейших наук – математики. Не уходите с этой тропы далеко и надолго, время от времени прогуливайтесь по ней. В путь!

Для разминки “на привале” выбирайте упражнения по вкусу из восьми последующих занятий.

Обучающимся предоставляются устные упражнения:

1. Два сына и два отца
Съели три яйца
По скольку яиц съел каждый? (По одному).

2. На столе лежали конфеты в кучке,
Две матери и две дочери, да бабушка с внучкой
Взяли конфеты по одной штучке –
И не стало этой кучки.
Сколько было конфет в кучке? (3)

3. Мельница двенадцать мер овса
Размелет в полтора часа.
Теперь скажи: в какой же срок
В шестнадцать мер исполнить ей урок? (2)

1. Осенний кросс.
Кросс осенний вспоминая,
Спорят белки два часа:
Победил в забеге заяц.
А второй была лиса!
– Нет, – твердит другая белка, –
Ты мне шутки эти брось.
Заяц был вторым, конечно,
Первым был, я помню, – лось!
– Я, – промолвил филин важный, –
В спор чужой не стану лезть.
Но у вас в словах у каждой
По одной ошибки есть.
Белки фыркнули сердито.
Неприятно стало им.
Вы уж взвесив всё, решите,
Кто был первым, кто вторым. (Ответ: Первым – лось, второй – лиса, третий – заяц.)

2. В универмаге
В универмаге встретил я
Осла, козу и кошку,
Они купили красный миг
И жёлтую гармошку.
Зайдя потом, увидел я
Осла, козу и белку,
Они купили красный плащ
И белую тарелку.
Зашёл я в третий, встретил там
Опять осла и кошку.
Они купили в этот раз
Лишь жёлтую матрёшку.
Мне срочно нужен твой совет,
Задумайся немножко.
Скажи: какой любимый цвет
У белки и у кошки.
И кто не сделал ни одной
Покупки в магазинах.
Поскольку не было, увы,
Товаров ярко-синих. Ответ: (Белка – белый, кошка – жёлтый, ни одной покупки не сделал осёл.)

3. Кто где?
Дуб, клён, сосна, берёза, пень!
За ними спрятались, таятся
Бобр, заяц, белка, рысь, олень!
Кто где? Попробуй разобраться!
Где рысь, ни зайца, ни бобра
Ни слева нет, ни справа – ясно.
И рядом с белкой – вот хитра –
Их также не ищи напрасно.
С оленем рядом рыси нет,
И зайца справа нет и слева.
А белка справа, где олень!
Теперь берись за поиск смело.
И хочет дать тебе совет
Поросшим мхом высокий пень:
– Кто где? Напасть на верный след
Помогут белка и олень.Ответ: (Дуб, клён, сосна, берёза, пень, заяц, бобр, олень, белка, рысь)

4. Колючая задача
Вот симпатичные ежи
Какого как зовут, скажи,
От Пэта слева Физа нет,
От Физа справа нет Чучачу,
Мак рядом с Физом. Пэт
Мне эту предложил задачу.
Её решил я в пять минут
А ты? Ежи ответа ждут! Ответ (Чучачу, Пэт, Физ, Мак)

5. Рыбалка царя Кощей.
На рыбалке был Кощей
И поймал он пять лещей.
Весит весь его улов
Столько, сколько рыболов.
(Царь Кощей, напомним всем,
Весит сорок килограмм)
На рисунке поскорее
Отыщи улов Кощея.
В эти сказочные дни
Много весили они,
Говорят, что и ерши – то
Были чуть ли не с корыто.
Не забудь, что вес лещей,
В сумме сорок – как Кощей. (Ответы; а) 4, 5, 6, 11, 14; б) 4, 5, 8, 9, 14; в) 7, 8, 14, 5, 6; г) 5, 7, 8, 9, 11.)

6. Боги Правды, Лжи, Дипломатии.
(Бог Правды – говорит только правду,
Бог Лжи – говорит только ложь,
Бог Дипломатии – говорит то так, то эдак)
В старинном храме, говорят,
Стоят на чердаке
Бог Правды, Лжец и Дипломат,
Все – с лотосом в руке.
Бог Правды, лотосом кланясь,
Лишь истину твердит.
Бог Лжи, нимало не смутясь,
Неправду говорит.
А Дипломат даёт ответ
По прихоти своей –
То правду говорит, то – нет,
Но всякий раз ”ей-ей”
Пришёл в этот храм мудрец, Рашид
И к первому: – Привет!
С тобою рядом кто стоит?
– Бог Правды! – был ответ.
– Теперь скажи мне о себе, –
Второго он спросил.
– Я – Дипломат, служу судьбе, –
Второй проговорил.
Шагает к третьему Рашид
(Рашид был стар и сед)
– Мой Бог, сомненье разреши,
Скажи, кто твой сосед?
– О, досточтимый мудрец,
Не бей напрасно ног.
Могу сказать: он страшный лжец, –
Ответил третий Бог.
Теперь, читатель, разбери –
Узнать я был бы рад:
Кто лжец, кто правду говорит
И кто же – Дипломат? (Ответ: 1 – Бог Дипломатии, 2 – Лжи, 3 – Правды.)

Тема 2 “Задачи на шахматной доске”

1. Шахматный конь начинает свой маршрут из левого нижнего угла доски, и кончает его в правом верхнем. Может ли конь при этом побывать на всех полях доски в точности по одному разу. Ответ (не может).
2. Какое наиболшее число полей можно отметить на шахматной доске так, чтобы с любого из них на любое отмеченное поле можно было пройти ровно двумя ходами коня? Ответ (8)
3. На шахматной доске расставлено восемь ладей так, что никакие две из них не бьют друг друга. Докажите, что на чёрных клетках доски стоит чётное число людей.
4. На каждую шахматную доску положили по несколько монет так, что суммы на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличаются на копейку. Известно также , что ни одной из клеток лежат 3 копейки , а на другой 17 коп. Какую сумму образуют монеты, лежащие на обеих диагоналях? Ответ: Искомая сумма 160 коп.
5. На шахматной доске размером 1000/1000 находятся чёрный конь и 499 белых ладей. Чёрные и белые фигуры ходят по очереди. Доказать, что как бы ни ходили ладьи, король всегда может за несколько ходов встать под бой одной из них.
6. Белая ладья преследует чёрного слона на доске 3/1969 клеток (они ходят по очереди по обычным правилам). Как должна играть ладья, чтобы взять слона. Первый ход делают белые. (Ладья должна двигаться по средней линии доски, отставая от слона на ход коня)
7. На всех клетках шахматной доски 8/8 расставлены натуральные числа. Разрешается выделить любой квадрат размером 3/3 или 4/4 и увеличить все числа в нём на 1. Мы хотим в результате нескольких таких операций добиться, чтобы числа во всех клетках делились на 10. Всегда ли этот удастся сделать? (Не всегда)

Тема 3 “Логические задачи на спичках”

1. Переложите 2 спички так, чтобы получилось 5 равных квадратов. (Рис. 1)
2. Переложить 5 спичек так, что бы получилось 2 квадрата. (Рис. 2)
3. Из 10 спичек сложен ключ. Переложить 4 спички так, чтобы получилось три квадрата. (Рис. 3)
4. Из 9 спичек сложен фонарь. Переложить 6 спичек так чтобы получилось 4 равных треугольника. (Рис. 4)
5. Из 9 спичек сложен топор. Переложить 4 спички так, чтобы получилось 3 равных треугольника. (Рис. 5)
6. Снять 8 спичек так, чтобы получилось 2 квадрата. (Рис. 6)
7. Снять 8 спичек так, чтобы получилось 4 равных квадрата. (У этой головоломки 2 решения) (рис. 7)
8. Спичка лежит рядом с совком. Переложить 2 спички так, чтобы спичка оказалась на совке. (Рис. 8)

1. Два параллелограмма расположены так, как показано на рисунке, (рис. 9) имеют общую вершину и ещё по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что площади параллелограммов равны.
2. Поверхность кубика с ребром 1 можно оклеить шестью можно ли поверхность такого кубика целиком оклеить 12 бумажными квадратами, каждый из которых имеет площадь 0,5? (Можно)
3. В прямоугольнике вырезали дырку прямоугольной формы. Проведите прямую линию которая делит образовавшуюся фигуру на две части с равными площадями. (Рис. 10)
4. В четырехугольнике ABCD угол B и D прямые, а стороны AB и BC равны. Определите его площадь, если известно, что его высота BH=1. (Рис. 11) (S=1)
5. Можно ли на листе бумаги в клетку размером 20 на 30, провести прямую, так чтобы она пересекла 50 клеток. (Нет)

1. Дан прямоугольник 7/8. Разрежьте его на фигуры так, чтобы каждая фигура состояла из не более чем 5 клеток и суммарная длина разрезов была минимально. Резать можно только по границам клеток. (Рис. 12)
2. Квадрат разрезан на остроугольные треугольники. Докажите что их не меньше восьми.
3. Из бумажного треугольника вырезали параллелограмм. Доказать, что площадь параллелограмма не превосходит половины площади треугольника.
4. Фигура на рисунке получена объединением трех равных фигур. Покажите разбиение фигур на рисунке (рис. 13).
5. Разрежьте квадрат со стороной три сантиметра на 4 равных треугольника по диагоналям. Складывая их сторонами одинаковой длины, можно получить разные фигуры. Нарисуйте.
6. Квадратный лист бумаги разрезают по прямой на 2 части. Одну из частей снова разрезают на 2 части. Один лист снова разрезают на 2 части и т.д. Какое наименьшее число разрезов нужно сделать, что бы получить 78 фигур.
7. Разрезать куб на 3 равные пирамиды.

1. Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: “Здравствуйте, 100 гусей!” “Нас не сто гусей, – отвечает ему вожак стада, – если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да полстолька, да четверть столько, да ещё ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей”. Сколько было в стае гусей? (36 гусей)
2. Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор ответил так: “Половина моих учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу, а седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы”. Сколько учеников было у Пифагора? (28 учеников)
3. В клетке находятся фазаны и кролики. У всех животных 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов? (кроликов – 12, а фазанов – 23)
4. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в сколько дней жена его особо выпьет ту же кадь (за 35 дней).
5. Один путник идет от града в дом, а ходу его 17 дней, а другой от дома во град тот же путь творяше, может пройти в 20 дней, оба же сии человека пойдоша во един и тот же час от мест своих, и ведательно есть, в колико дней сойдутся. (За 15 мин.)
6. Одному курьеру приказано прибыть к назначенному месту в 12 дней, к которому он прежде, ехав всякие сутки по 228 верст (1 верста приблизительно равна 1,07 км), прибыл в 15 дней. Спрашивается, по сколько верст должен он проезжать в сутки, дабы поспеть к тому месту в назначенное время ( По 285 верст )
7. Юноша некий пошел с Москвы к Вологде и идет на всякий день по 40 верст. А другой пошел после его на следующий день, а на всякий день идет по 45 верст. Во сколько дней тот юноша постиг прежнего юношу, сочти. (8 дней).

1. В полночь шел проливной дождь. Можно ли сказать, что через 72 часа тоже не будет хорошей солнечной погоды?
2. Алеша живет на 3-ем этаже, а Петя – в том же доме вдвое выше. На каком этаже живет Петя?
3. Самолет из пункта А в пункт В прилетел за 1 ч. 20 мин, а из пункта В в пункт А за 80 минут. Как это могло случиться?
4. В троллейбусе, шедшем из пригорода, ехало 23 человека. У моста вышло 7 человек, вошло 5 чел., у водокачки вышло 4, а вошло 3 чел. На следующих 9 остановках вышло 17 чел, вошло 19. У вокзала вышли все, причем было обнаружено, что один пассажир ехал “зайцем”. Сколько остановок сделал троллейбус?
5. Может ли сектор быть сегментом?
6. Сможешь ли ты поднять 1 м (в кубе) пробки? (масса 1 см в кубе пробки – 0,24 г.)
7. Сколько на рисунке треугольников? (рис.14) ( )
8. Начертить фигуру, не открывая карандаша от бумаги и не прочерчивая линии дважды. (Рис. 15)

Литература:

1. З. Веселая. Игра принимает всех. Минск “Полымя” – 1985, С. 176.
2. Б.А. Кордемский, А.А. Ахадов. Удивительный мир чисел. М. – “Просвещение”, 1984 г., с. 144.
3. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин. Математическая шкатулка. М. – “Просвещение”, 1984 г., с. 160.
4. М.В. Ткачева. Домашняя математика. М. – “Просвещение” 1993 г., с. 192.
5. Ф.М. Шустеф. Материал для внеклассной работы по математике. Минск “Народная Асвета” 1984г., с. 224.
6. Газета. Приложение к “Первому сентября” “Математика”:
   № 27-28 – 2002, стр. 27-30, 31-34.
   № 31 -2002, стр.25-28,35
   № 33 – 2002, стр.12-14, 19-23
   № 22 – 1994, стр.8
   № 3 – 1994, стр.8
   № 1 – 1994, стр. 8.
7. Методика составления учебных программ ИУУ г. Кемерово. 2012 г.

Рисунки к задачам