Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
Учащиеся должны знать:
- определение вероятности случайного события;
- уметь решать задачи на нахождение вероятности случайного события;
- уметь применять теоретические знания на практике.
Задачи урока:
Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями вероятности события.
Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение
Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.
Методы организации учебно-познавательной деятельности:
- наглядные,
- практические,
- по мыслительной деятельности: индуктивный,
- по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный,
- по степени самостоятельности: самостоятельная работа,
- стимулирующие: поощрения,
- виды контроля: проверка самостоятельно решенных задач.
План урока
- Устные упражнения
- Изучение нового материала
- Решение заданий.
- Самостоятельная работа.
- Подведение итогов урока.
- Комментирование домашнего задания.
Оборудование: мультимедийный проектор (презентация), карточки (самостоятельная работа)
Ход урока
I. Организационный момент.
Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.
Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.
Определить значимость изучаемого материала, как в данной теме, так и во все курсе.
II. Повторение
1. Что такое вероятность?
Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь.
2. Какое определение дает основатель современной теории вероятностей А.Н. Колмогоров?
Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях.
3. Какое классическое определение вероятности дают авторы школьных учебников?
Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов испытания.
Р(А) = m/n
Вывод: в математике вероятность измеряется числом.
Сегодня мы с вами продолжим рассматривать математическую модель “игральная кость”.
Предметом исследования в теории вероятностей являются события, появляющиеся при определенных условиях, которые можно воспроизводить неограниченное количество раз. Каждое осуществление этих условий называют испытанием.
Испытание – бросание игральной кости.
Событие – выпадение шестерки или выпадение четного числа очков.
Выпадение каждой грани при многократном бросании кубика имеет одинаковую вероятность (игральная кость правильная).
III. Устное решение задач.
1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало 4 очка?
Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все события: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит п = 6. Событию А = {выпало 4 очка} благоприятствует одно событие: 4. Поэтому т = 1. События равновозможные, поскольку подразумевается, что кубик честный. Поэтому Р(А) = т/п = 1/6 = 0,17.
2. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 4 очков?
Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = {выпало не более 4 очков} благоприятствует 4 события: 1, 2, 3, 4. Поэтому т = 4. Поэтому Р(А) = т/п = 4/6 = 0,67.
3. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?
Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = {выпало менее 4 очков} благоприятствует 3 события: 1, 2, 3. Поэтому т = 3. Р(А) = т/п = 3/6 = 0,5.
4. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало нечетное число очков?
Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = {выпало нечетное число очков} благоприятствует 3 события: 1,3,5. Поэтому т = 3. Р(А) = т/п = 3/6 = 0,5.
IV. Изучение нового
Сегодня рассмотрим задачи, когда в случайном эксперименте используются две игральные кости или выполняются два, три броска.
1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых.
Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, второе – на втором. Множество исходов удобно представить таблицей.
Строки соответствуют количеству очков на первом кубике, столбцы – на втором кубике. Всего элементарных событий п = 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Напишем в каждой клетке сумму выпавших очков и закрасим клетки, где сумма равна 6.
Таких ячеек 5. Значит, событию А = {сумма выпавших очков равна 6} благоприятствует 5 исходов. Следовательно, т = 5. Поэтому, Р(А) = 5/36 = 0,14.
2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.
Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Всего событий п = 36.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Событию А = {сумма равна 3} благоприятствуют 2 исходов. Следовательно, т = 2.
Поэтому, Р(А) = 2/36 = 0,06.
3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет более 10 очков. Результат округлите до сотых.
Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Всего событий п = 36.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Событию А = {в сумме выпадет более 10 очков} благоприятствуют 3 исхода.
Следовательно, т = 3. Поэтому, Р (А) = 3/36 = 0,08.
4. Люба дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.
Решение Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет при первом броске, второе – при втором. Множество исходов удобно представить таблицей.
Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска.
Всего событий, при которых сумма очков 9 будет п = 4. Событию А = {при одном из бросков выпало 5 очков} благоприятствует 2 исхода. Следовательно, т = 2.
Поэтому, Р(А) = 2/4 = 0,5.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
5. Света дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 1 очко.
Решение.
Первое бросание |
|
Второе бросание |
|
Сумма очков |
1 |
+ |
5 |
= |
6 |
2 |
+ |
4 |
= |
6 |
3 |
+ |
3 |
= |
6 |
4 |
+ |
2 |
= |
6 |
5 |
+ |
1 |
= |
6 |
Равновозможных исходов – 5.
Благоприятствующих исходов – 2.
Вероятность события р = 2/5 = 0,4.
6. Оля дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 3 очка.
Решение.
Первое бросание |
Второе бросание |
Сумма очков |
||
1 |
+ | 4 |
= | 5 |
2 |
+ | 3 |
= | 5 |
3 |
+ | 2 |
= | 5 |
4 |
+ | 1 |
= | 5 |
Равновозможных исходов – 4.
Благоприятствующих исходов – 1.
Вероятность события р = 1/4 = 0,25.
7. Наташа и Витя играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу.
Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Наташа выиграла.
Решение
Наташа |
Витя |
Сумма очков |
||
2 |
+ | 6 |
= | 8 |
3 |
+ | 5 |
= | 8 |
4 |
+ | 4 |
= | 8 |
5 |
+ | 3 |
= | 8 |
6 |
+ | 2 |
= | 8 |
Равновозможных исходов – 5.
Благоприятствующих исходов – 2.
Вероятность события р = 2/5 = 0,4.
8. Таня и Наташа играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что Таня проиграла.
Решение.
| Таня | Наташа | Сумма очков | ||
1 |
+ | 5 |
= | 6 |
2 |
+ | 4 |
= | 6 |
3 |
+ | 3 |
= | 6 |
4 |
+ | 2 |
= | 6 |
5 |
+ | 1 |
= | 6 |
Равновозможных исходов – 5.
Благоприятствующих исходов – 2.
Вероятность события р = 2/5 = 0,4.
9. Коля и Лена играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Коля, у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Лена не выиграет.
Решение.
У Коли выпало 3 очка.
У Лены равновозможных исходов – 6.
Благоприятствующих проигрышу исходов – 3 (при1 и при 2 и при 3).
Вероятность события р = 3/6 = 0,5.
10. Маша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что все три раза выпадут чётные числа.
Решение.
У Маши равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216.
Благоприятствующих проигрышу исходов – 3 · 3 · 3 = 27.
Вероятность события р = 27/216 = 1/8 = 0,125.
11. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.
Решение.
Первая |
Вторая | Третья | Сумма очков | |||
4 |
+ | 6 |
+ | 6 |
= | 16 |
6 |
+ | 4 |
+ | 6 |
= | 16 |
6 |
+ | 6 |
+ | 4 |
= | 16 |
5 |
+ | 5 |
+ | 6 |
= | 16 |
5 |
+ | 6 |
+ | 5 |
= | 16 |
6 |
+ | 5 |
+ | 5 |
= | 16 |
Равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216.
Благоприятствующих исходов – 6.
Вероятность события р = 6/216 = 1/36 = 0,277… = 0,28. Следовательно, т = 3. Поэтому, Р (А) = 3/36 = 0,08.
V. Самостоятельная работа.
Вариант 1.
- Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков? (Ответ:0,5)
- В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,11)
- Аня дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 1 очко. (Ответ:0,5)
- Катя и Ира играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что Ира проиграла. (Ответ:0,5)
- В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,05)
Вариант 2.
- Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 3 очков? (Ответ:0,5)
- В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,08)
- Женя дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка. (Ответ:0,25)
- Маша и Даша играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 11 очков. Найдите вероятность того, что Маша выиграла. (Ответ:0,5)
- В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 17 очков. Результат округлите
VI. Домашняя работа
- В случайном эксперименте бросают три игральные кости. В сумме выпало 12 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 5 очкаов Результат округлите до сотых.
- Катя трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что все три раза выпадут одинаковые числа?
VII. Итог урока
Что нужно знать для нахождения вероятности случайного события?
Для вычисления классической вероятности нужно знать все возможные исходы события и благоприятные исходы.
Классическое определение вероятности применимо только к событиям с равновозможными исходами, что ограничивает область его применения.
Для чего в школе изучаем теорию вероятности?
Многие явления окружающего нас мира поддаются описанию только с помощью теории вероятностей.
Литература
- Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый уровень / [Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др.]. – 16-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2010. – 464 с.
- Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство “Экзамен”, 2012. – 543с.
- Высоцкий И.Р., Ященко И.В. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь /Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – М.: МЦШМО, 2012. – 48 с.