Задачи на смеси, сплавы, растворы

Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед.
А.Нивен.

Цель урока: Создание условий для выработки алгоритма решения задач на смеси, сплавы, растворы.

Задачи урока:

Обучающие:

• Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся по теме “Решение задач на смеси, сплавы, растворы”;
• Формирование умений и навыков применения знаний в нестандартной ситуации.

Развивающие:

• Способствовать развитию внимания, логического мышления, самостоятельной учебно-познавательной деятельности.

Воспитывающие: Воспитывать математическую культуру, ответственность, настойчивость в учебе.

Тип урока: практикум по решению задач.

Формы работы учащихся: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: Компьютер, мультимедиа-проектор, дидактический раздаточный материал.

Ход урока

1. Организационный момент.

Эпиграф СЛАЙД 2

- Сообщение темы урока. СЛАЙД 3

- Постановка цели урока.

2. Подготовительный этап.

Повторение теоретического материала о процентах: СЛАЙД 4

- Что такое процент? (Сотая часть числа)

- Как перевести проценты в дробь? (Разделить количество процентов на 100)

- Как перевести дробь в проценты? (Умножить данную дробь на 100)

- Как найти проценты от данного числа? (Проценты перевести в дробь и умножить данное число на эту дробь)

- Как найти число по его процентам? (Проценты перевести в дробь и разделить данное число на эту дробь)

- Как найти процентное отношение двух чисел? (Первое число разделить на второе и результат умножить на 100)

- Что такое концентрация вещества? (Это величина, которая определяет содержание компонента в сплаве, смеси, растворе)

3. Закрепление материала. Решение задач.

Рассмотрим способы решения задач: арифметический, с помощью уравнения и с помощью систем уравнений. СЛАЙД 5

Арифметический способ.

СЛАЙД 6. Задача 1. В сосуд, содержащий 5 литров 12 процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Рассмотрим три способа решения этой задачи.

Первый способ.

объем получившегося раствора

объем чистого вещества в первом растворе.

концентрация получившегося раствора.

Второй способ. По формуле.

где концентрация первого и второго растворов соответственно.

объемы первого и второго растворов соответственно

Третий способ.

Объем раствора увеличился в 2,4 раза (было 5 л., стало 12 л. 12:5 = 2,4),

содержание вещества не изменилось, поэтому процентная концентрация получившегося раствора уменьшилась в 2,4 раза.12:2,4=5(%)

Ответ: 5 %.

СЛАЙД 7. Задача 2. Сколько литров воды нужно добавить в 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, чтобы получить 20 процентный раствор кислоты?

Объем чистой кислоты в растворе не меняется, процентное содержание кислоты в растворе уменьшится в 3 раза (60:20=3)

Объем раствора увеличится в 3 раза: 2 * 3=6(л)

6 – 2 = 4 (л) воды нужно добавить.

Ответ: 4 л.

СЛАЙД 8. Задача 3. Смешали 4 литра 15 процентного водного раствора с 6 литрами 25 процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Рассмотрим два способа решения этой задачи.

Первый способ. По формуле.

где концентрация первого и второго растворов соответственно.

объемы первого и второго растворов соответственно.

Второй способ.

объем получившегося раствора.

объем чистого вещества в четырех литрах раствора.

объем чистого вещества в шести литрах раствора.

объем чистого вещества в получившемся растворе.

концентрация получившегося раствора.

Ответ: 21%

СЛАЙД 9. Задача 4. Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со склада было отправлено 400 кг.

воды в цементе на складе.

сухого вещества в цементе на складе.

сухого вещества в цементе в 328 килограммах.

масса привезенной смеси.

Ответ: 410 кг.

Минута отдыха.

Напишите в воздухе кончиком носа свою фамилию и имя.

Решение задач с помощью уравнения.

СЛАЙД 10. Задача 5. Сколько надо взять 5 процентного и 25 процентного раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 процентного раствора кислоты?

0,1· 4=0,4(л) – кислоты в новом растворе.

Пусть х л надо взять первого раствора. Тогда второго – (4 – х) л, а количество получившегося раствора 2х.

0,05х л – кислоты в первом растворе.

0,25· (4 – х) л – кислоты во втором растворе.

0,05х + 0,25· (4 – х) = 0.05х + 1 – 0,25х = (1 – 0,2х) л.

Получим уравнение

3 л надо взять первого раствора.

4 – 3 = 1 л – второго.

Ответ: 1 л, 3 л.

СЛАЙД 11. Задача 6. В сосуд емкостью 6л налито 4л 70% раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же емкости налито 3л 90% раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился 74% раствор серной кислоты? Найдите все допустимые значения процентного содержания раствора серной кислоты в 6л раствора в первом сосуде.

Пусть х литров раствора кислоты нужно перелить из второго сосуда в первый. Тогда в нем станет (4 + х) литров 74 процентного раствора.

кислоты в первом сосуде.

(0,9х) литров – кислоты нужно перелить.

(2,8 + 0,9х) литров – кислоты в новом растворе.

Учитывая, что новый раствор 74% и его объем (4 + х) литров, то кислоты в нем (0,74·(4 + х )) литров.

Получим уравнение:

Найдем допустимые значения процентного содержания.

Так как в первый сосуд налит 70 процентный раствор серной кислоты, а будем доливать 90 процентный раствор, то процентное содержание раствора будет увеличиваться.

Из второго сосуда в первый можно перелить максимальное количество раствора кислоты – 2 литра.

кислоты в двух литрах.

кислоты будет в первом сосуде.

Тогда процентное содержание раствора серной кислоты в шести литрах раствора в первом сосуде может быть

Ответ: 1;

СЛАЙД 12. Задача 7. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Пусть х кг масса первого сплава. Тогда масса второго сплава (х + 3) кг, а масса третьего сплава (х + (х + 3)) = (2х + 3) кг.

Масса меди в первом сплаве (0,1х) кг, во втором – (0,4·(х + 3)) кг, а в третьем – (0,3· (2х +3)) кг.

Получим уравнение:

3 кг масса первого сплава.

2 · 3 + 3 = 9 (кг) – масса третьего сплава.

Ответ: 9 кг.

СЛАЙД 13. Задача 8. Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2:3, а в другом – в отношении 3:7. Сколько килограммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11?

Пусть х кг масса куска, взятого от первого сплава. Тогда масса куска, взятого от второго сплава (8 – х) кг.

Масса золота в первом куске

Масса золота во втором куске

Масса золота в новом сплаве

Получим уравнение

1 кг нужно взять от первого сплава.

8 – 1 = 7 (кг) – от второго сплава.

Ответ: 1кг; 7 кг.

В этой задаче можно было бы составить и другие уравнения

*

*

*

Решение задач с помощью систем уравнений

СЛАЙД 14. Задача 9. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй- 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть х кг масса первого сплава, у кг – второго.

Так как масса третьего сплава 200 кг, то получим уравнение

Масса никеля в первом сплаве (0,1х) кг, во втором – (0,3у) кг, а в новом - 200·0,25=50 кг. Получим второе уравнение

Получим систему уравнений:

50 кг – масса первого сплава.

150 кг – масса второго сплава.

150 – 50 = 100 (кг)

Ответ: на 100 кг.

СЛАЙД 15. Задача 10. При смешивании 30 процентного раствора серной кислоты с10 процентным раствором серной кислоты получилось 400 г 15 процентного раствора. Сколько граммов 30 процентного раствора было взято?

Пусть х г масса 30 процентного раствора серной кислоты, а у г – 10 процентного. Получим уравнение х + у = 400.

кислоты в новом растворе.

кислоты в первом растворе.

кислоты во втором растворе.

Получим второе уравнение

Получим систему уравнений:

100 г 30 процентного раствора было взято.

Ответ:100 г.

Слайд 16. Задача 11. Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 360г серебра и 40г олова, а второй слиток – 450г серебра и 150г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200г сплава, в котором оказалось 81% серебра. Определите массу (в граммах) куска, взятого от второго слитка.

Первый слиток имеет вес 400 г, второй – 600 г.

серебра в первом слитке (соответственно и в первом куске).

серебра во втором слитке (соответственно и во втором куске).

Пусть х г масса куска, взятого от первого слитка, а у г – от второго.

0,9х (г) – серебра в первом куске;

0,75у (г) – серебра во втором куске;

200 * 0,81 = 162 (г) – серебра в новом сплаве.

Получим систему уравнений:

120 г нужно взять от второго слитка.

Ответ: 120 г.

СЛАЙД 17. Задача 14. Первый раствор содержит 40% кислоты, а второй - 60% кислоты. Смешав эти растворы и добавив 5 л воды, получили 20 процентный раствор. Если бы вместо воды добавили 5 л 80 процентного раствора, то получился бы 70 процентный раствор. Сколько литров 60 процентного раствора кислоты было первоначально?

Пусть х л было 40 процентного, а у л – 60 процентного раствора кислоты. Тогда нового, 20 процентного раствора – (х + у + 5) л.

0,4х (л) – кислоты в первом растворе;

0,6у (л) – кислоты во втором растворе;

0,2·(х + у + 5) (л) – кислоты в новом растворе.

Получим уравнение

кислоты в 80 процентном растворе;

кислоты в новом, 70 процентном растворе.

Получим второе уравнение

Получим систему уравнений:

2 л 60 процентного раствора было первоначально.

Ответ: 2 л.

Контроль знаний. Самостоятельная работа.

Учащиеся выполняют работу по карточкам и сдают на проверку.

Приложение 1

Домашнее задание.

Даются карточки с дифференцированными заданиями.

Приложение 2