Введение в комбинаторику

Цель урока: формирование знаний о разделе “Комбинаторика”

Задачи:

Образовательные:

• ввести понятие комбинаторика;
• познакомить с правилом умножения для комбинаторных задач;
• рассмотреть межпредметные связи истории, русского языка, математики.

Развивающие:

• развивать вычислительную культуру учащихся, применяя правило умножения для комбинаторных задач;
• развивать логическое мышление.

Воспитательные:

• воспитывать сознательное отношение к учебному труду, к учителю, друг к другу.

Тип урока: урок-введение нового материала с использованием электронных образовательных ресурсов, 1 урок в теме “Введение в комбинаторику”.

Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, ноутбуки.

Организационный этап. Здравствуйте, ребята. Сегодня урок мне хотелось бы начать со слов Владимира Мономаха “Что умеете хорошего, то не забывайте, а чего не умеете, тому учитесь…” (слайд 2). А знаете ли вы, кто такой Владимир Мономах? Владимир Всеволодович Мономах (1053–1125) – полководец и государственный деятель Древней Руси, князь смоленский (с 1073 г.), черниговский (с 1078 г.), переяславский (с 1094 г.), великий князь киевский (с 1113 г.)

Этап актуализации знаний учащихся. А чему мы будем учиться на уроке, узнаем чуть позже. А прежде, проверим свою грамотность, повторив правописание некоторых математических терминов.

Вам нужно вставить пропущенные буквы в следующие слова:

Множ…тель (И)

Пр…изведение (О)

Д…лимое (Е)

Д…литель (Е)

Час..ное (Т)

Ум…ньшаемое (Е)

Ц..фра (И)

К..мбинаторика (О). (Cлайд 3). Презентация

Последнее слово оказалось для вас новым. Вот сегодня на уроке мы с вами и познакомимся, что такое комбинаторика и какие задачи называют комбинаторными. Запишем тему урока “Введение в комбинаторику”.

Этап введения новой информации. (слайд 4). Рассмотрим задачу. К колодцу ведут три тропинки. Сколькими способами можно пройти к колодцу и вернуться обратно?

Задачи, содержащие вопросы типа: “Сколькими способами?”, “Сколько всего существует вариантов” называются комбинаторными. Раздел математики, занимающийся комбинаторными задачами, называется комбинаторика. Комбинаторные задачи – это задачи, требующие осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа.

С комбинаторными задачами (слайд 5) люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. В дальнейшем появились игры, требовавшие умение планировать, рассчитывать свои действия, продумывать различные комбинации. Приспособления для таких игр археологи находили в древних захоронениях, например, в пирамиде египетского фараона Тутанхамона. А позже появились нарды, шашки, шахматы.

Термин “комбинаторика” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять”. Термин “комбинаторика” был введён в математический обиход немецким философом, математиком Лейбницем.

Долгие времена комбинаторика развивалась в недрах арифметики, геометрии, алгебры. Однако как ветвь математики комбинаторика возникла только в XYII в. А толчком к этому послужили азартные игры, прежде всего игра в кости. (Два или три кубика с нанесенными на них очками выбрасывали на стол, и выигрывал тот, у кого сумма очков оказывалась больше).

Но не только азартные игры послужили толчком к исследованию математиков. Еще одна причина – тайна переписки. Шифрами пользовались короли, дипломаты и заговорщики, а также сами ученые. Изобретались все более и более сложные шифры, а для кодирования и расшифровки информации привлекались математики. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилась с появлением компьютеров.

А теперь, ребята, давайте вместе с вами попробуем решить комбинаторную задачу (слайд 6). Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут испытать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг? (Ребята пытаются подсчитать количество стран). При переборе всех возможных вариантов, нарисовав флаги, мы получили количество, равное -6. Значит, 6 стран, могут использовать свою символику, при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг (слайд 7). Давайте попробуем изобразить наше решение с помощью дерева вариантов (слайд 8). (Учащиеся строят дерево вариантов в тетрадях). А есть ли среди полученных флагов флаг нашей страны? (Да, синий-белый-красный)

Этап первичного закрепления материала. Рассмотрим задачу № 2 (слайд 9). Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8? Пожалуйста, проиллюстрируйте свой ответ, построив дерево возможных вариантов. (Работают индивидуально в тетрадях, один ученик у доски). Ответ – 20 чисел (слайд 10).

Физминутка. Мы с вами немного подустали, настало время отдохнуть (слайд 11).

Мы руками хлоп, хлоп,
Мы ногами топ, топ,
Мы глазами миг, миг,
Мы плечами чик, чик.
Раз – сюда, два – туда,
Повернись вокруг себя.
Раз – присели, два – привстали,
Сели – встали, сели – встали,
И подскоки делать стали.
Снова выстроились в ряд
Будто вышли на парад.
Раз – два, раз – два,
Заниматься нам пора!

Во всех предложенных задачах (слайд 12) для подсчёта числа комбинаций мы использовали простой способ подсчёта – прямое перечисление (опираясь на “дерево возможных вариантов”). Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами.

Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления. Мы с вами рассмотрим одно из таких правил – правило умножения.

Если некоторое действие можно осуществить а различными способами, после чего другое действие можно осуществить в различными способами, то два этих действия вместе можно осуществить а*в различными способами.

Используя это правило, давайте решим следующие задачи.

Этап применения полученных знаний в стандартных или новых ситуациях. Задача № 3 (слайд 13). В 5а классе в четверг 4 урока: математика, ОБЖ, природоведение и физкультура. Сколько можно составить вариантов расписания на четверг? (Один ученик работает у доски, остальные в тетрадях). 4^.3^.2^. 1=24

Задача № 4 (слайд 14, работают самостоятельно). “Вороне где-то бог послал кусочек сыру”, а также брынзы, колбасы, белого и черного хлеба. “На ель ворона взгромоздясь, позавтракать было совсем уж собралась…”, да призадумалась: “Сколькими способами можно составить бутерброд из этих продуктов?”. Ответ 6.

Далее продолжим нашу работу на ноутбуках. Будете работать парами. Предлагаю вашему вниманию Практический модуль № 1, который содержит 3 задачи. (Работают самостоятельно, учитель оказывает помощь, анализирует результаты работы учащихся)

№ 1. Из города А в город В ведут 33 дороги, а из города В в город С – 22 дороги. Сколько есть различных маршрутов поездки из города А в город С через город В? (33^.22=726)

№ 2. Человек идет по городу. Подходя к каждому перекрестку, он имеет три варианта продолжения пути. Сколько разных маршрутов он может пройти, если он пересекает 10 перекрестков? (3^.3^.3^.3^.3^.3^.3^.3^.3^.3=59049)

№ 3. Ученик сдает зачеты по алгебре и геометрии. По алгебре он должен решить 4 примера, по геометрии – доказать 3 теоремы. Каждый пример ученик может решить или верно, или нет, каждую теорему он может доказать правильно, или неточно, или с ошибкой. Сколько существует вариантов ответов ученика на зачете? (2^.2^.2^.2^.3^.3=144)

Этап формулирования выводов урока. Настало время подвести итоги нашей работы.

Что нового вы сегодня узнали на уроке?

Какие задачи называются комбинаторными?

Какие способы решения комбинаторных задач вы узнали на уроке?

Сформулируйте правило умножения для комбинаторных задач.

Этап информации учащихся о домашнем задании. Ребята, давайте запишем домашнее задание (слайд № 15): с. 7 № 8 (устно), с. 15 №59; найти сообщение из истории комбинаторики; для желающих - решить комбинаторные задачи либо с помощью дерева вариантов, либо с помощью правила умножения для комбинаторных задач (Приложение 1).

Выставление оценок учащимся.

Рефлексия. У вас на партах лежат геометрические фигуры. Если вам урок понравился, то положите на мой стол круг, если не очень - квадрат, ну а если вам было неуютно - треугольник.

Спасибо всем. Благодарю за внимание!

Для работы с практическим модулем на ноутбуках необходимо установить ОМС-плеер для воспроизведения ЭУМ из коллекции fcior.edu.ru

Список литературы

• Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.:Мнемозина, 2012. – 280 с.
• Дидактические материалы по математике: 5 класс:к учебнику Н.Я. Виленкина и др. “Математика. 5 класс” /М.А. Попов. – М.: Издательство “Экзамен”,2013 – 143с.
• Зубарева И.И. Математика. 5класс. Самостоятельные работы: учебное пособие для общеобразовательных учреждений / под ред. И.И. Зубаревой. – М.:Мнемозина, 2007. – 143 с.
• Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов http://fcior.edu.ru/
• http://www.openclass.ru
• http://ru.wikipedia.org

Приложение 1

Карточка для домашнего задания.

1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

2. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофеем, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

3. Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?

Приложение 2