Обобщающий урок по теме "Соотношения между сторонами и углами треугольника". 9-й класс

Цель урока:

• повторить определения синуса, косинуса, тангенса, основные тригонометрические тождества, формулы приведения;
• повторить теорему о площади треугольника, теорему синуса, теорему косинуса;
• решить треугольник, по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник;
• закрепить и проверить знание основных формул раздела;
• умение применять их при решении задач;
• развивать логическое мышление, умение делать выводы, обобщать;
• развивать навыки самостоятельной работы;
• воспитывать аккуратность, наблюдательность, самостоятельность.

Форма урока: урок-беседа.

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, экран.

ХОД УРОКА

Учитель: Ребята! Сегодня у нас обобщающий урок по теме: «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Исходя из формулировки темы, какие цели вы должны поставить перед собой на сегодняшний урок?

Ученик: Необходимо повторить весь теоретический материал и применить его при решении задач. (Слайд 2), для этого поставим перед собой следующие цели:

• Знать определения синуса, косинуса, тангенса, тангенса.
• Знать теорему о площади треугольника, теорему синуса, теорему косинуса.
• Уметь решить треугольник, по каким - нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.
• Уметь применять основные формулы раздела при решении задач.

Учитель: Для достижения этой цели будем идти по следующему маршруту (слайд 3):

Этапы урока:

1. Разминка.
2. Актуализация имеющихся знаний
3. Решение задач. Практическая работа.
4. Историческая справка
5. Где можно применить полученные знания на практике в жизни.
6. Домашнее задание.

Учитель (показывает на слайде 3): В прямоугольном треугольнике  ∆АВС, примем < С=  90º, АВ = с, АС = b, ВС = a. <А = α, < В = β. Как называются стороны прямоугольного треугольника, и что означают эти названия?

Ученик: Катет – одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. Название «катет» происходит от греческого слова katetos – перпендикуляр, опущенный, отвесный. Название «катет» встречается также в архитектуре и означает отвес через середину задка ионической  капители.

Ученик: Гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположенная прямому углу. Название «гипотенуза» происходит от греческого слова, в переводе означает натянутая. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Ученик: С катетами и гипотенузой связаны тригонометрические функции острого угла α. (показывает на слайде 4)

sinα = a/с;
cosα = b/с;
tgα = а/b
сtgα = b/а
secα = c/b
cosecα = c/a

• синус α — отношение катета, противолежащего углу α, к гипотенузе.
• косинус α — отношение катета, прилежащего углу α, к гипотенузе.
• тангенс  α — отношение катета, противолежащего углу α, к катету прилежащему углу α.
• котангенс α — отношение катета, прилежащего углу α, к катету противолежащему углу α.
• секанс α — отношение гипотенузы к катету прилежащему углу α.
• косеканс α — отношение гипотенузы к катету противолежащему углу α.

Учитель: Как найти длину катета.

Ученик: Длина катета может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, которая утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

Длина катета равна произведению длины гипотенузы и косинуса прилежащего угла:

Длина катета равна произведению длины гипотенузы и синуса противолежащего угла:

Длина катета равна произведению длины другого катета и тангенса противолежащего угла, относительно искомого катета:

Длина катета равна произведению длины другого катета и котангенса прилежащего угла, относительно искомого катета. Длина катета равна среднему геометрическому длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу:

Квадрат высоты, выходящей из прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:
Где

 — катеты
 — гипотенуза
 — угол, противолежащий a
 — угол, противолежащий b
 — проекции катетов a и b на гипотенузу.

С катетами совпадают две из трёх высоты прямоугольного треугольника.
По катету и гипотенузе или по двум катетам можно судить о равенстве двух прямоугольных треугольников.
Вращая прямоугольный треугольник вокруг катета можно получить прямой круговой конус. (Слайд  5)

Учитель: Решим  теперь   задачи,  в  каждом    случае   объяснить   как  найти х  и дать
определение геометрическому понятию. Найти х. (Слайд 6)

Ученик: Так как х – противоположенный катет углу α, то воспользуемся  определением синусов. Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе, т.е. sinα= х/0,05, так как х нужно найти в метрах, получаем х = 0,05 • sinα.

Учитель: Хорошо. Следующая задача. Найти х. (Слайд 7)

Ученик: Так как по условию задачи знаем прилежащий катет и нужно найти гипотенузу, то из определения  косинуса, можем записать  cosα = 3/х. Т.е. х = 3/ cosα  (так как  косинусом острого угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе ).

Учитель: Хорошо. Решите задачу. Найти х. (Слайд 8)

Ученик: Зная угол и прилежащий катет, можно найти противолежащий катет, исходя из определения тангенса,  так как тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему, т.е. tgα = х/2, отсюда х = 2 tgα .

Учитель: И так мы дали определения и записали формулы. А для чего все – таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180º. Знаем соотношения между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: 

а² + b² = c²

Получается, что зная два угла в треугольнике можно найти третий угол. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике можно найти третью. Значит, для углов – свое соотношение, для сторон – свое. А что делать если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона,  а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника. Синус, косинус и тангенс – их еще называют тригонометрическими функциями угла, дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам.  А зная  синусы, косинусы, тангенсы углов треугольника и одну из его сторон можно найти остальные элементы.
Как же развивался раздел математики, где изучаются эти понятия.

Ученик: Этот раздел математики называется тригонометрией. Тригонометрия прошла интересный жизненный путь.

Доклад ученика. (Приложение 1)

Учитель: Таким образом, тригонометрия возникла как наука о решении треугольников.   Способы   решения   треугольников  впервые  были  письменно изложены греческим  астрономом Гиппархом в середине II века до н.э. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия      обязана астроному Птолемею  (II век до н.э),  создателю
геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника.
Решить треугольник означает определить стороны, углы и другие элементы треугольника, если даны некоторые из них. Какие теоремы, свойства и определения используем при этом? Ответы мы получим, решая задачи. В каждой задаче объясните какая теорема использована.

Продолжение урока (решение задач)

Учитель:  Подведем итог урока, ответим на вопросы:

1. Что называют решением треугольников?

2. Какие теоремы применяются при решении треугольников?

3. Чему равна сумма углов треугольника?

4. Какие задачи при этом можно выделить? (по стороне и двум прилежащим к ней углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам; по стороне, прилежащему к ней углу и стороне противолежащей данному углу) (слайд 19)

5. Запишите, пользуясь теоремой косинусов, квадрат стороны с треугольника АВС, если: 1)  γ = 60º; 2)  γ = 30º; 3) γ = 45º. (с² = а² + в² – ав;  с² = а² + в² – ав;  с² = а² + в² – ав)

6. Чему равен sin(180º – α)? (sinα)(sinα = )

7. Каким может быть α?  Ответ: α = 30º или α = 150º. 

1) sinα = , γ – тупой. Тогда  α = 30º;

2) sinα = , а < b, то α = 30º;
3) sinα = , а > c, то α = 30º или α = 150º.

8. Почему теорема косинусов является обобщённой теоремой Пифагора? (Rогда треугольник АВС прямоугольный с прямым углом при вершине С; C = 90º, cos 90º = 0 => а² + b² = c²).

9. Как, используя теорему косинусов определить вид треугольника? (достаточно определить знак косинуса, соответствующего наибольшему углу, если сторона а наибольшая, то достаточно определить знак величины в² + с² – а²)

10. В треугольнике АВС,  АВ = 8,4 cм,  ВС = 13,2 см,  АС = 7,5 см. Какой угол треугольника наибольший, какой наименьший?

11. Стороны треугольника 12 см, 15 см, 9 см. Может ли угол, противолежащий стороне 9 см, быть тупым? Почему?

12. Стороны треугольника 9 см и 12 см. Может ли угол, противолежащий стороне равной 9 см, быть прямым? Почему?

– Итак, где можно применить полученные знания на практике и в жизни?

Ученик:  Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и тригонометрические функции. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звезд, в географии для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах. Синус и косинус имеют фундаментальное значение для теории периодических функций, например при описании звуковых и световых волн.
Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразву), в аптеках, в химии, в теории чисел (следовательно, и в криптологии), в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Ученик:   

Треугольник

В старших классах каждый школьник
Изучает треугольник.
Три каких-то уголка,
А работы – на века.

Учитель:  Сегодня мы с вами обобщили тему «Решение треугольника». Узнали много интересного из истории развития тригонометрии как науки, кроме того узнали где можно применить полученные знания на практике и в жизни. Запишите домашнее задание.
– Спасибо за урок!