Пришедший XXI век охарактеризовался включением элементов теории вероятностей, математической статистики и комбинаторики в содержание обязательного минимума математической подготовки учащихся средней общеобразовательной школы. Как справедливо заметил известный венгерский методист Т. Варга, “мир, каким он видится через призму школьных учебников, строго детерминирован, в нем нет места случайности” [1] , тогда как в реальной жизни случаю отводится далеко не второстепенная роль. О важности стохастической составляющей в системе современного школьного образования говорит и то, что задания, предлагаемые школьникам в сравнительных международных исследованиях математической грамотности 15-летних учащихся, проводимых организацией экономического сотрудничества и развития (OECD) и направленные на проверку тех знаний, умений и навыков школьников, которые международная общественность считает необходимыми для формирования так называемого “человеческого капитала”, содержат среди прочих задания по теории вероятностей и математической статистике. Причем в рамках этой темы, наряду с другими разделами математики, значительное внимание уделяется вопросам, имеющим практическую значимость. Невысокие результаты российских школьников в решении подобных задач позволяют говорить о том, что “поставленная перед российской школой задача подготовить выпускников к свободному использованию математики в повседневной жизни в значительной степени не достигается на уровне требований международных тестов. Одна из причин этого - отсутствие должного внимания к практической составляющей содержания обучения в основной школе” [2] . Применение теории вероятностей и математической статистики в различных областях науки и техники приобретает все возрастающее значение. Например, в социологии и экономике, педагогике, психологии, демографии, лингвистике и литературоведении строят модели, применяя статистические и вероятностные методы; биология и физика, химия и география дают многочисленные поводы поговорить о статистических закономерностях, с которыми встречаются при изучении природных явлений, при осуществлении химических реакций, при изучении молекулярного строения вещества и т.д.
Многолетний опыт зарубежных систем школьного образования (Япония, Англия, Франция, США) доказал необходимость введения пропедевтического курса стохастики в младшей и средней школе. За это время у учащихся формируются навыки работы с эмпирическими данными, с таблицами и диаграммами, они обучаются работать с вероятностными моделями реальных ситуаций, сравнивать ожидаемые результаты с теми, которые получены в ходе эксперимента. Учащимся должны быть доступны все виды профессиональной деятельности, связанные со сбором и анализом данных, планированием, прогнозированием, умением выделять структурные связи в сложных системах и т.д. Ведь детям в повседневной жизни обязательно понадобится умение читать и составлять расписания, таблицы, графики, собирать и обрабатывать информацию. Нельзя забывать еще об одном важном факторе, который требует от нас целенаправленной работы с информацией, поданной в виде таблиц, графов, различных диаграмм, т.е. в “сжатом” виде. В последнее время, когда компьютер стал неотъемлемой частью нашей жизни, пользование им является повседневной практикой для современных детей. Сама же организация представления информации в компьютере требует от пользователя умения работать с таблицами, графами, ссылками.
Некоторые примеры пропедевтики стохастических понятий
Статистика.
Пример 1. Проследите за тем, как изменялась погода в течение недели (ясно, пасмурно, дождь, снег). Заполните таблицу 1.
Таблица 1
| Понед. | Вторник | Среда | Четверг | Пятница | Субб. | Воскр. | |
Утро |
|||||||
День |
|||||||
Вечер |
По результатам наблюдений определи:
а) сколько раз за неделю утро было ясным;
б) сколько раз за неделю день был пасмурным;
в) шанс того, что вечером наугад выбранного дня этой недели шел снег;
г) какая погода была чаще всего по утрам.
По данным таблицы постройте столбчатую диаграмму.
Пример 2. Проведите опрос среди одноклассников с целью выяснить, сколько книг они прочитали за летние каникулы. Полученные результаты занесите в таблицу 2.
Таблица 2
| Кол-во книг, прочитанных летом | Число учеников |
| Менее 3 | |
| 3-5 книг | |
| 5-7 книг | |
| 7-10 книг | |
| Более 10 книг |
Используя эти сведения, ответьте на вопросы:
а) Сколько учеников в классе?
б) Сколько из них прочитали за лето более 3 книг?
в) Сколько учеников прочитали за лето менее 7 книг?
г) Какое наименьшее количество книг было прочитано?
д) Сколько, в среднем, книг прочитал каждый ученик?
По данным таблицы постройте круговую диаграмму.
Графы.
Сам термин “граф” можно и не вводить, основная цель на начальном этапе – научить детей пользоваться графами для решения некоторых задач, а также читать информацию, записанную в виде графа, и записывать ее. Например, схема Московского метро, представленная всюду в виде графа. На первых занятиях учащиеся обучаются “читать” схему метро: находить необходимые станции, определять, на каких ветках они находятся. В последствие задания усложняются.
Пример 3. Вы находитесь на станции метро “Университет”. Выберите оптимальный маршрут, чтобы добраться до ВДНХ.
Пример 4. Точки С и К разбивают отрезок АВ на 3 части. Укажите все отрезки с концами в точках А, В, С и К. Сколько их?
Пример 5. Соедините линиями точки на координатном луче с соответствующими дробями (рисунок 1).
Рисунок 1
Кроме того, сжатая форма записи может играть роль опорного конспекта: выступать в качестве вспомогательной модели для понимания и запоминания информации. Еще одна неоспоримая ценность в работе с графами – эффективное использование их при решении ряда логических и комбинаторных задач.
Перебор.
Пример 6. Несколько косточек из одного набора домино уложили так, как показано на рисунке 2. Определите расположение косточек (т.е. покажите, где проходят границы между ними) (рисунок 2)
Рисунок 2
Пример 7. Отметьте 10 точек на рисунке 3 так, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой (рисунок 3).
Рисунок 3
Принцип объединения.
Пример 8. По какому принципу слова объединены в группы?
- муха, рама, замок, тополь, игла (два слога),
- три, семь, одиннадцать, восемь (числа или числительные),
- луч, треугольник, точка, прямоугольник (геометрические фигуры),
- 8, 27, 64, 125 (кубы чисел).
Пример 9. Какое слово является лишним?
- река, озеро, море, мост, болото,
- число, сложение, деление, вычитание, умножение,
- окружность, треугольник, пирамида, указка, квадрат,
- корень, уравнение, логарифм, переменная.
Расположения.
Пример 10. Расположите в виде “правильной (дедуктивной) цепочки:
- лес, кедр, дерево, хвойное дерево,
- ломаная, треугольник, замкнутая ломаная,
- экзамен, последний звонок, вуз, выпускной.
Пример 11. Расположите в виде “правильной (индуктивной) цепочки:
- футбол, человек, футболист, российский футболист, андрей аршавин,
- число, дробь, обыкновенная дробь, отрицательная обыкновенная дробь.
Лингвистические задачи.
Пример 12. Подсчитайте число однобуквенных слов русского языка.
Комментарий. При обсуждении решения учитель обращает внимание учащихся на то, что смысл этого задания - в показе преимущества организованного, систематического перебора вариантов. Не нужно перечислять однобуквенные слова произвольно, по принципу “что придет на ум”. Нужна система: учащиеся берут алфавит, просматривают буквы одна за другой и анализируют, употребляется ли данная буква как отдельное слово, или нет.
Пример 13.
Пример 14.
Задачи со спичками.
Из спичек можно составлять всевозможные прямолинейные фигуры; превращать одну фигуру в другую путём перекладывания спичек. Трудность решения задач этого вида в том, что они не алгоритмизируемы, т.е. каждая задача требует своего специфического подхода к нахождению решения. Однако эти задачи можно отнести к комбинаторным задачам, в которых требуется подтвердить или опровергнуть существование комбинации элементов. При “неформальном” методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. И ответ на вопрос “Сколько возможных вариантов?” получается из ответа на вопрос “Какие варианты могут получиться?”. Учащиеся 5-6 классов решают комбинаторные задачи “неформальным” методом, к которому относится прием перебора (хаотичного или системного).
Пример 15. Из 12 спичек выложено 4 одинаковых квадрата; при этом образовался ещё один (большой) дополнительный квадрат (рисунок 4). Требуется:
а) убрать 2 спички, чтобы получилось 2 неравных квадрата,
б) переложить 3 спички так, чтобы образовалось 3 равных квадрата,
в) переложить 4 спички так, чтобы образовалось 3 равных квадрата,
г) переложить 2 спички так, чтобы образовалось 7 квадратов (допускается наложение одной спички поперёк другой),
д) переложить 4 спички так, чтобы получилось 10 квадратов (допускается наложение одной спички поперёк другой).
Рисунок 4
Пример 16. Фасад “дома” выложен из 11 спичек (рисунок 5). Переложив 2 спички, можно получить 11 квадратов, а переложив 4 спички, можно тот же “дом” превратить в фигуру, содержащую 15 квадратов. Сделайте!
Рисунок 5
Использование подобных заданий на уроках математики в 5-6 классах формирует у учащихся первоначальные статистические, вероятностные и комбинаторные представления. Именно на данном этапе очень важна постоянная опора на жизненный опыт учащихся. Задания, в большей мере, должны носить практический характер, а отдельные понятия или их описания рассматриваться на доступных, интересных и адекватных примерах. Использование элементов стохастики в процессе обучения математике оказывает непосредственное влияние на формирование, развитие и совершенствование всех форм мышления у учащихся.
Как показал анализ учебно-методической литературы, стохастические задачи существенно отличаются от обычных математических задач, к которым привыкли школьники. Различия могут наблюдаться в постановке условия и вопроса задачи, в характере данных в задаче значений величин, в количестве исходных данных, в выборе возможного подхода к решению задачи и т.д. Кроме того, решая, задачи по стохастике, учащиеся сталкиваются с новыми для них понятиями — случайность, испытание, событие, вероятность события и т.д., которые не свободно используются в мышлении.
Правильный подбор и постановка задач в обучении математике во многом определяют современную методику обучения, так как с их помощью возможно достижение разнообразных конкретных целей.
[1] Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях [Текст] / Т. Варга, М. Глеман. -М.: Просвещение, 1979. - 176 с.
[2] Краснянская К.А. Сравнительная оценка математической грамотности 15-летних учащихся в рамках международного исследования [Текст] / К.А. Краснянская, Л.О. Денищева // Математика в школе. - 2005. - № 3. -С. 70-77.