Тема урока: "Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена". 8-й класс

Цели урока:

• освоить способ выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена, заданного в стандартном виде; конструировать решения квадратного уравнения способом выделения квадрата двучлена;
• воспитывать познавательную активность, чувства ответственности и товарищества, культуры общения;
• развивать логическое мышление для сознательного восприятия учебного материала

Оборудование:

• план,
• проектор,
• компьютерная презентация,
• учебное пособие «Алгебра-8» под редакцией Теляковского С.А.,
• дидактические материалы по алгебре для 8 класса (В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк),
• таблицы устных упражнений,
• карточки-задания,
• исторические сведения, 
• стенгазета,
• алгоритм решения квадрат­ного уравнения выделением квадрата двучлена,    магнитофон.

ХОД УРОКА

I . Ориентировочно-мотивационный этап

Проверка домашнего задания через консультантов.  Актуализация знаний. 

Выполнение заданий творческого характера на доске.

1) (2 – 5х)² = 9                                     (Ответ: – 0,2;  1.)

2) х² – 4 | х | = 0,
| х | = а, а > 0,
а² –  4а = 0,
а(а – 4) = 0,   а = 0 или а – 4 = 0,
а = 4,

| x | = 0,  х = 0,         | x | = 4,  х = 4  или х = – 4.  Ответ: – 4; 0; 4.

3) | 3x² + 5x – 4 | = 3x² + 4

3х² + 4 > 0   верно при любых значениях переменной х

а) 3х²  + 5х – 4 = 3х² + 4,                      б) 3х² + 5х – 4  = – 3х² – 4,
5х = 8,    х = 1,6                                     6х² + 5х = 0,      х(6х + 5) = 0,     х = 0, х = –
Устная работа. Теоретическая изюминка (презентация)

1) Какие уравнения вы знаете? (Линейные, квадратные)
2) Определение квадратного уравнения. Почему а ≠ 0?
3) Вспомните классификацию квадратных уравнений  ( полные ,неполные , приведенные)
4) Какое уравнение называется неполным? Виды неполных квадратных уравнений.
5) Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?
6) Д/м, стр. 23, 1,2 задание
7)  (а + в)² = а² + 2ав + в² – квадрат суммы двух выражений .  Замените * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:
               а) ( * + 2в )² = а² + 4ав + 4в²
               б) (15 + * )² = 225у² + 1 2х³у + 0,16х⁶
               в) (3а – 2,5в)² = 9а² + 6,25в²  –  *

II. Операционально-исполнительный этап

Определение приведенного квадратного уравнения:

Квадратное уравнение ах² + вх + с = 0 с первым коэффициентом а = 1 называется приведенным

1) Определите вид уравнения х² + 2х + 1= 0 и решите это уравнение

(х + 1)² = 0,
х + 1= 0, х = – 1.

– Каким способом вы решили?

2) Нельзя ли решить уравнение   х² + 6х – 7 = 0 таким же способом? (Ответ  учащихся: «Нужно выделить квадрат двучлена» )
– Сформулируйте учебную задачу нашего урока. (Ответ  учащихся: «Учебная задача урока «Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена» )
– Итак, мы определили задачу нашего урока: научиться решать квадратные уравнения выделением квадрата двучлена.

3) Выделите квадрат двучлена: х² + 6х – 7 = х² + 2х * 3 + 9 – 9 – 7 = (х + 3)² – 16

4) Решите уравнение 

х² + 6х – 7 = 0,
(х + 3)² – 16 = 0,    (х + 3)² = 16
х + 3 = 4     или    х + 3 = – 4
х = 1     или        х = – 7
Ответ: – 7; 1.

Проговаривание способа решения уравнения.

Алгоритм решения квадратных уравнений выделением квадрата двучлена (презентация)

а)     определяем первое выражение;
б)    находим второе выражение: выражение с переменной (т.е.  удвоенное произведение двух выражений )  делим  на  удвоенное первое выражение
в)  прибавим и отнимем квадрат второго выражения;
г)  упростим выражения, выделив квадрат двучлена;
д)  решаем как неполное квадратное уравнение.

5) Решите уравнение    х² – 5х + 10 = 0,

х² – 2х* 5/2  + (5/2)² – (5/2)² + 10 = 0,
(х – 5/2 )² = – 15/4,  нет корней.

6) Ребята, как вы думаете, можно ли решить выделением квадрата двучлена следующее уравнение 2х² – 9х + 10 = 0, 5х² + 3х – 8 = 0? (Можно, но сначала надо разделить каждый член уравнения на 2  (5), так как а = 2 (а = 5))

а) х² – (9/2)х + 5 = 0,                                    б) х² + (3/5)х – (8/5) = 0

Решите данные уравнения в парах. 

(Проверка по образцу).

Ответ:  2; 2,5.

б) х² + 2х * 3/10 + 9/100 – 9/100 – 8/5 = 0,
(х + 3/10)² = 169/100,
| x + 3/10 | = 13/10,
х + 3/10 = 13/10 или  х + 3/10 = –13/10,
х = 1    или   х = – 1,6
Ответ: – 1,6; 1.

Проговаривание решения квадратного уравнения в парах.

Самостоятельная работа

1  вариант.

а) х² – 4х + 4 = 0 ,                      б) х² + 12х + 20 = 0
(х = 2)                                         (х = – 2;  х = – 10)

2  вариант.

а) х² + 14х + 49 = 0,                   б) х² – 8х – 9 = 0
(х = – 7)                                      (х = – 1; х = 9)

                             
3*вариант.

а) х² – х + = 0,                       б) 5y² – 6y + l = 0,
(х = )                                       (х = 1; х = )

4*вариант.

а) у² – у + 1 = 0,                     б) 5х² – 8х + 3 = 0
(х = 2)                                         (х = 1; х = 0,6 )

(Во время самостоятельной работы звучит классическая музыка) Взаимопроверка.
Учащиеся выставляют оценки карандашом.

Физминутка для глаз (компьютерная презентация)

7) При каком значении а уравнение  х² + 12х + 36 = а  имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?
(х + 6)²  = а    при а > 0 , 2 корня ;
при а = 0, 1 корень;
при  а < 0, нет корней.

8) При каком значении m уравнение имеет корни х² – 4х + 5 = m?
х² – 2х * 2 + 4 – 4 + 5 = m,
(х – 2)² + 1 = m,
(х – 2)² = m – 1,
при m > 1,    2 корня;
при m = 1,    1 корень.

9) Решите уравнение: у²  – 4| y | – 96 = 0.
Пусть | y | = b, b > 0,
b² – 4b – 96 = 0,
b² – 2b* 2 + 4 – 4 – 96 = 0,
(b – 2)² = 100, 
| b – 2 | = 10,
b – 2 = 10 или b – 2 = – 10,
b = 12    или b = – 8.
b = – 8 не удовлетворяет условию b > 0,
| у | = 12,
y = 12 или  у = – 12.

Ответ: –12; 12.

Домашняя работа

№526 – обязательный уровень;
№528, С-24, №7 – повышенный уровень;

Творческая работа

а) Заполни «окошки» х² – 7х + 8 = (х – ∆)²  +  8  – ∆²2  и придумать самим такие задания.
б) Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена ах² + вх + с = 0.

III. Рефлексивно-оценочный этап

Итог урока

– Что изучали на уроке?
– Как решали квадратные  уравнения?
– Что вы знаете об истории возникновения квадратных уравнений?

Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 году в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика 12 века Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

Уже в то время он знал о двузначности корней квадратных уравнений (х/8)²  +  12  =  х.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанная в 1202 году итальянским математиком Леонардом  Фибоначчи. И лишь в 17 веке , благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых , способ решения квадратных уравнений принимает современный вид , о котором мы с вами будем говорить на следующем уроке.