Урок геометрии по теме "Сумма углов треугольника". 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Класс: 7

Цели урока:

  • образовательная: повторить открытие Евклида о сумме углов треугольника, организовать усвоение учащимися различных способов доказательства этой теоремы; сформировать умение применять полученные знания для решения типовых и творческих задач;
  • развивающая: развивать наблюдательность, геометрическую интуицию и глазомер, пространственное воображение, творческие способности и исследовательские навыки учащихся;
  • воспитательная: воспитывать самостоятельность и умение работать в соответствии с намеченным планом.

Тип урока: урок изучение нового материала.

Оборудование: интерактивная доска, модели треугольников.

План урока:

  1. Организационный момент. Приветствие.
  2. Теоретическая разминка.
  3. Проверка творческой части домашнего задания.
  4. «Открытие нового знания» (Изучение нового материала) .
    1. Выдвижение гипотезы.
    2. Совместная постановка цели.
    3. Решение подготовительной задачи.
    4. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника:
      – доказательство Прокла;
      – доказательство Евклида;
    5. Сравнение доказательств Прокла и Евклида.
    6. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника в школах Японии.
  5. Минутка отдыха.
  6. Применение полученных знаний для решения типовых и творческих задач (закрепление изученного материала).
    1. Решение задач по готовым чертежам.
    2. Решение задач по учебнику №224.
    3. Решение практической задачи
  7. Подведение итогов урока.
  8. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент.

(слайд №1 Приложение)

Учитель приветствует ребят и высказывает надежду, что совместная работа на уроке будет проникнута духом высказывания А.С. Пушкина: «Вдохновение нужно в геометрии как в поэзии», и предлагает перейти к теоретической разминке.

II. Теоретическая разминка.

(слайд №2,3)

1. Какой из треугольников №1-№7 остроугольный, прямоугольный, тупоугольный? Почему вы так считаете?

2. Сформулируйте для каждого из приведенных на слайде предложений обратное утверждение и установите, будет ли оно верным или нет.

  • Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.
  • Если три стороны одного треугольника соответственно равным трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.

Учитель: Сформулируйте ещё две теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, и к ним обратные утверждения. Верны ли они?

III. Проверка творческой части домашнего задания.

Учитель проводит беседу:

– Дома 3 творческие группы проводили исследование. В чем заключалось исследование, и какой результат вы получили? Кто хочет рассказать?

По желанию выступают участники групп:

I группа. (демонстрируя разноцветные модели) Мы измеряли углы остроугольных треугольников: разностороннего, равностороннего и равнобедренного. Сумма углов получилась…

II группа. Демонстрируя разноцветные модели прямоугольных разностороннего и равнобедренного треугольников, рассказывают об аналогичном исследовании и полученных результатах. Сумма углов получилась…

III группа. Демонстрируя разноцветные модели равнобедренного и разностороннего тупоугольных треугольников, также делает свой вывод о сумме углов треугольников.

Учитель предлагает проанализировать результаты исследования, обобщить и сделать вывод.

Ученики делают вывод, что сумма углов независимо от вида треугольника у большинства равна 180 градусам, и только у некоторых больше или меньше 180 градусов.

IV. Открытие нового знания. (Изучение нового материала).

Учитель продолжает беседу:

1. – Какую гипотезу мы можем выдвинуть по результатам исследования?

Ученики: Сумма углов треугольника равна 180°.

Учитель: Да, эта гипотеза имеет право на существование. В каком случае гипотеза становится открытием, ведь у некоторых получились результаты отличные от 180°?

– Если мы докажем ее истинность.

2. – Какую цель мы перед собой поставим?

– Наша цель – доказать, что сумма углов треугольника равна 180°.

3. – Замечательно, но прежде чем перейти к доказательству этой теоремы решим задачу №1 (слайд №4).

Учащиеся по готовому чертежу на слайде №4 оформляют решение в тетради. После чего один из учеников комментирует решение задачи, остальные учащиеся проводят zкоррекцию, используя интерактивную доску.

Учитель продолжает беседу, предлагая доказать теорему.

– Итак, какую теорему мы сейчас докажем?

– Сумма углов треугольника равна 180°.

– Что нам дано? Какой факт мы будет доказывать?

(учитель записывает на доске, ученики в тетради).

Дано: ∆ABC

Доказать: A+B+C = 180°

Доказательство:

– Как вы думаете, что нужно сделать, чтобы доказать теорему?

– По аналогии с решением задачи №1 через вершину B провести прямую параллельную AC.

– Можем ли мы взять линейку и просто «на глазок» через точку B провести прямую, параллельную AC?

Ученики отвечают.

Вне зависимости от ответа ученика, учитель ставит вопрос: «Почему?», и приводит учеников к мысли, что геометрия наука точная, а человеческий глаз способен видеть иллюзии, в чем все недавно убедились, посетив сектор «Оптические Иллюзии» физико-математического эксперементариума. Поэтому искомую прямую нужно построить по законам геометрии.

  1. Разделим отрезок BC пополам: BM = MC.
  2. Соединим точку A с точкой M и на продолжении AM отложим отрезок MD = AM. Соединим точку D с точкой B.
  3. Рассмотрим ∆AMC и ∆BMD. Что мы можем сказать об этих треугольниках?
    BM = MC, т.к. AM – медиана;
    AM = MD по построению;
    BMD= AMC как вертикальные.
    Следовательно, ∆AMC = ∆DMB по двум сторонам и углу между ними. Что из этого следует?
  4. В равных треугольниках соответственные элементы равны: MAC = BDM, а они накрест лежащие при прямых AC и BD и секущей AD. Значит, BD || AC.

Учитель продолжает беседу:

– Итак, мы провели BD || AC. Как вы думаете, какой будет ход доказательства теоремы?

Ученики: «Аналогично решению задачи №1».

– Кто желает доказать?(один ученик выходит к доске, остальные доказывают теорему в   тетрадях, учитель по мере необходимости задает вопросы,

привлекает учеников класса к доказательству, слайд №5)

  1. Обозначим углы 1, 2, 3, 4, 5.
  2. 1 = 4 как накрест лежащие при BD ǁ AC и секущей AB
  3. 3 = 5 как накрест лежащие при BD ǁ AC и секущей ВС
  4.  4+2+5=180° образуют развёрнутый угол
  5. 1+2+3 = 180° т.е  А + В + С = 180° ,что и требовалось доказать.

– Молодцы!Это доказательство еще в V веке привёл математик Прокл в комментариях к «Началам» Евклида. Это же доказательство приводится и в наших учебниках. Сам Евклид в первой книге «Начала» доказывает эту теорему по-другому. Посмотрите на чертеж (слайд №6). Используя рисунок, обдумайте доказательство теоремы Евклида. Кто хочет доказать теорему? (Один ученик выходит к доске, остальные доказывают на своих карточках).

Доказательство:

  1. СЕ ǁ АВ
  2. 2 =5 (как накрест лежащие при АВ ǁ СЕ и секущей ВД)
  3. 1=4 (как соответственные при АВ ǁ СЕ и секущей ВД)
  4. 3+5+4 = 180° (образуют развёрнутый угол)
  5. 3 +2+1 = 180° т.е. А+ В+С= 180°, что и требовалось доказать.

– Давайте подумаем, есть ли принципиальная разница в доказательствах Евклида и Прокла?Какая основная идея лежит в оснве этих доказательств?

– Принципиальной разницы нет, в основе доказательства лежит аксиома о параллельных прямых

– Дома один человек выполнял специальное задание, сейчас он покажет нам, как доказывают теорему о сумме углов треугольника в школах Японии.

Ученик выходит к доске.

– Возьмите модель треугольника, верхний угол сгибаем так, чтобы его вершина коснулась основания треугольника, получаем точку В1. Углы А и С сгибаем таким образом, чтобы точка А и С совпали с точкой В1. Тогда  A,  B и  C образуют развернутый угол, а значит их сумма равна 180°.

Учитель: Кому понравилось это доказательство?

V. Минутка отдыха.

– А теперь – минутка отдыха (звучит музыка).

VI. Применение полученных знаний для решения типовых и творческих задач. (Закрепление изученного материала).

  1. Решение задач на закрепление теоремы о сумме углов треугольника по готовым чертежам (устный разбор задач по карточкам с готовыми чертежами на столах учащихся). (слайд 7)
  2. Решение задач по учебнику: №224 (Ученики решают самостоятельно, а один, по желанию, у доски, взаимопроверка) (В зависимости от хода урока этот пункт может быть дан на выбор с пунктом №3)
  3. Решение практической задачи (слайд № 8-9).

Учитель: Четыре семьи получили вместе участок земли в форме правильного треугольника. На этом участке имеется 4 колодца. Как разделить этот участок на 4 участка одинаковые по форме, равные по площади, и, чтобы на каждом из них, был колодец?

– Подумайте, как можно переформулировать условие задачи?

– Какие у кого идеи решения?

Дополнительные вопросы учителя:

– Какой дан треугольник (Равносторонний)

– Какими должны быть 4 треугольника? (Равными)

– Как разделить участок, чтобы на каждом было по колодцу? (МN, МР, PN)

– Где поставить точки М, N и Р? (М, N и Р – середины сторон АВ, ВС и АС – соответственно)

Учитель: Кто хочет решить задачу у доски? (Доказательство подробно разбирается на доске с участием класса)

Дано: ∆АВС, АВ = ВС = АС, точки М, N и Р – середины сторон АВ, ВС и АС.

Доказать: ∆АМР = ∆МВN = ∆РМN = ∆РNС

Доказательство:  

  1. ∆ABC – равносторонний по условию.
  2. Рассмотрим ∆MAP, т.к. M и P – середины равных сторон AB и AC по условию, то AM=½AB, AP=½AC, значит AM=AP
  3. AM=AP => ∆MAP – равнобедренный,  A=60° по условию, тогда  AMP= APM=(180°-60°):2=60°,значит ∆MAP – равносторонний и AM=AP=MP.
  4. Аналогично доказываем, что ∆MBN и ∆NCP – равносторонние, поэтому BM=BN=MN, CN=CP=NP.
  5. Получаем, что MP=MN=NP, т.е. ∆PMN – равносторонний.
  6. Итак, все стороны равносторонних треугольников ∆MAP, ∆MBN, ∆NCP равны, следовательно, ∆MAP = ∆MBN = ∆NCP = ∆PMN по трем сторонам, что и требовалось доказать.

Учитель: Молодцы! Подведем итог урока.

VII. Итог урока.

Учитель: Какое великое открытие мы сегодня сделали?

Ученики отвечают на вопрос учителя.

Учитель: У кого остались какие-либо сомнения? Спросите.

В зависимости от запросов учеников, учитель дает пояснения.

Учитель: Проанализируйте сегодняшний урок. Что вам понравилось? Что бы вы хотели изменить? Учащиеся высказывают свое мнение.

– Оцените свою работу на уроке. Кто почувствовал себя первооткрывателем, ощутил, что стал интеллектуально богаче? У кого все получилось? Кто не смог раскрыть всех своих возможностей на данном уроке? Кто испытывал трудности и почему? Ответьте себе на эти вопросы. Учащиеся проводят рефлексию.

– Какую оценку вы бы поставили себе за работу на уроке? Учащиеся ставят в тетрадях оценку и сравнивают ее с той, которую озвучивает учитель. В случаях расхождения каждый аргументирует свою позицию.

VIII. Домашнее задание:

а) базовая часть – стр. 70 пункт 30, №223(а, в, г) стр. 89, вопрос 1;

б) творческая часть (на карточках)

  • Проведите теоретическое исследование и найдите ответ на вопросы:
    – могут ли в треугольнике все углы быть острыми, прямыми? Тупыми? Почему?
    – если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то каковы два других угла? Почему?
  • Проведите поиск других доказательств теоремы (по желанию)

Учитель: Урок окончен, спасибо за работу!

Информационные источники:

  1. Е.Е. Семенов – Изучаем геометрию. Москва, Просвещение, 1987.
  2. В.Д. Чистяков – Старинные задачи по элементарной математике. Минск, Высшая школа, 1978.
  3. И.Ф. Шарыгин – Геометрия 7, теория, задачи. Москва, МИРОС, 1995.
  4. Л.С. Атанасян – Геометрия 7. Москва, Просвещение, 2012.