Цель: Ознакомление и овладение способами действий по решению логарифмических уравнений и неравенств.
I. Актуализация знаний.
1. Что значит решить уравнение? Неравенство?
2. Что называется корнем уравнения?
3. Определение логарифма. Свойства логарифмических функций.
II. Изучение нового материала.
1. Определение логарифмического уравнения.
2. Виды логарифмических уравнений:
loq2 х = 1 – х loq2 (х – 6) = 3 loqх( х –
1) = 2 lqх = lq
Обратить внимание учащихся на то, что в рассмотренных ниже способах решения логарифмических уравнений применяются только такие преобразования, которые не приводят к потере корней, а могут лишь привести к приобретению посторонних корней, поэтому проверка каждого из полученных корней обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений.
III. Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.
1. loq3(2х+1) = 2
Решение: 2х+1 = 32, 2х = 8, х=4. Ответ: х=4
2. loq х+1(2х2 + 1) = 2.
2х2+1= (х+1)2, х2-2х=0, х=0, х=2
Проверка. х+1 >0, х+1
1.
х=0 посторонний корень
х=2, loq2+1(2 * 22+1) = loq39 = 2 Ответ: х=2.
3. loqп loq2loq33х = 0.
Применяя последовательно определение логарифма, имеем:
loq 2loq3 3х = п0,
loq2loq33х=1,
loq33х =2,
3х = 32,
х=3.
Проверкой убеждаемся, что х=3 корень уравнения.
Задания для самостоятельной работы:
а) loq2(3х+7)=4,
б) loqх-1(3х2-8х+1) =2,
в) loq2loq3loq4(6х+4)=0.
IV. Метод потенцирования.
4. loq5х = loq5(6-х2).
Решение: х=6-х2,
х1=-3, х2 = 2 .
ОДЗ: х>0, 6-х2> 0.
Проверка. Ответ: х=2
5. loq5(х+4) – loq5(1-2х) = - loq5(2х+3).
Решение. Потенцируем данное равенство.
loq5
= loq5(2х+3)-1,
= 
,
х = -1, х = -5,5
Проверка.
loq53 –loq53 = - loq51,
0=0,
х=-1 корень.
2) loq5(-1,5)5 не существует.
Ответ: х= -1.
6. loq х-6 (х2-5) = loqх-6(2х+19).
х2-5=2х+19, х=-4, х=6.
Проверка.
1) х=-4 loq-10 11 не существует, х=-4 не корень.
2) х=6 loq0 31 не существует, х=6 не корень.
Ответ: корней нет.
Задания для самостоятельной работы:
а) loq2(х+13) = 2loq2(х+1),
б) loq3 (х+2) + loq3 (х+1) = loq3(х+3).
V. Приведение логарифмического уравнения к квадратному.
7. lq2 х = 3 - 2lqх.
Обозначим lq х = у, у2 = 3-2у, у = -3, у = 1,
| lq х = -3, | или lq х = 1, |
| х = 0,001 | х =10. |
Проверка.
1) х=0,001,
lq20,001 = 9,
3-2lq 0,001 = 9,
х=0,001 корень,
х=10,
lq210 =1,
3-2lq10 = 1,
х=10 корень.
Ответ: х=0,001, х=10.
Задания для самостоятельной работы:
а) loq23 х - loq3х = 2,
б) loq224х + loq2 
= 8.
VI. Уравнения, решаемые приведением логарифмов к одному и тому же основанию.
8. loq16 х + loq2 х + loq4 х = 7.
Loq24 х +loq2 х + loq22х = 7
loq2 х + 
loq2 х + loq 2х
= 7,
loq2х =
7, loq2 х = 4, х=16.
Проверка. loq16 16 + loq416 + loq216 = 1 + 2 +4 = 7.
Ответ: х = 16.
9. loq3х 3 = loq х2 3. ОДЗ: х>0, х
.
loq33 = loq33
loq33х loq3х2, 3х = х2, х=0, х=3.
Проверка. loq 333 = loq93 = loq93
Ответ: х=3.
Задания для самостоятельной работы:
а) loq3 х - 2loq
х = 3,
б) loq х2 9 + loq3х81 = 3.
Уравнения, решаемые логарифмированием обеих частей.
10. хlqх + 2 = 1000.
(lqх+2)lqх = lq1000,
lq2х + 2lqх -3 = 0, lqх = у,
y2 + 2у – 3 = 0, у= - 3, у = 1,
lqх = -3, х = 10-3 = 0,001,
lqх = 1, х = 10.
Проверка.
1) 0,001lq0,001+2 = 0,001-3+2 = 0,001-1 = 1000, х = 0,001 корень.
2) 10lq10 + 2 = 103 = 1000, х = 10 корень.
Ответ: х = 10, х = 0,001.
VII. Графическое решение логарифмических уравнений.
11. loq2х = 3 – х.
Строим графики функций y = loq2х и у = 3 – х, находим абсциссу их пересечения.
Ответ: х=2.
Задания для самостоятельной работы:
Решить графически.
а) loq
х = х – 3,
б) loq3х = 0,5х – 0,5.
Решение неравенств.
12. loq5( х - 3) < 2.
loq5(х -3) < loq 525, loq5t – функция возрастающая, т.к. 5>1,значит
0 < х -3< 25, 3< х < 28. Область допустимых значений х-3>0.
Ответ: (3; 28).
13. loq0,5 (2х – 4)>-1.
loq0,5(2х-4) > loq0,50,5-1, 0,5 < 1, loq0,5 t функция убывающая, значит 0<2х-4<2, 2<х<3.
Область допустимых значений 2х-4>0.
Ответ: (2; 3).
Задания для самостоятельной работы:
loq2(5х - 2) > 1,
loq0,5(5х - 2) >1.
VIII. Итог урока. Домашнее задание: решить уравнения I-III типа и неравенства из заданий для самостоятельной работы, остальные задания по желанию.