Элективный курс "Тайны треугольника"

Как показывает практика подготовки к ЕГЭ, решение планиметрических задач вызывает трудности у многих учащихся. Учащиеся большей частью заняты изучением конкретной темы и решением задач по этой теме. Большинство же задач требует применения разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений, справедливых лишь при определенном расположении фигуры, применение различных формул.

В отличие от школьного курса, последовательность материала данного курса определяется не тематикой и соответствием порядку изложения в учебнике, а уровнем сложности задач и степенью стандартности.

Цели курса:

• расширение и углубление знаний по теме « Треугольник»;
• создание условия для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности;
• повышение уровня математической подготовки учащихся.

Задачи курса:

• сформировать навыки применения знаний по данной теме при решении задач различной сложности;
• подготовить к сдаче ЕГЭ;
• приобщить учащихся к работе с математической литературой;
• обеспечить диалогичность процесса обучения математике

Основные требования к знаниям и умениям учащихся.

Данный курс предназначен для учащихся 10-11 классов, рассчитан на 34 часа.

В результате изучения данного курса учащиеся получат возможность

знать и понимать:

• наиболее известные и часто используемые теоремы;
• малоизвестные, но красивые факты по теме «Треугольник»;
• основные алгоритмы решения треугольников

Уметь:

• применять имеющиеся теоретические знания при решении задач.

Содержание курса

1. Элементарные и опорные задачи. Теорема косинусов.

Классификация треугольников относительно углов, если заданы стороны.

2. Прямоугольный треугольник.

Основные соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Прямоугольный треугольник и окружность. Высота в прямоугольном треугольнике. Биссектриса прямого угла. Соотношение между медианами прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника.

3. Описанная окружность. Теорема синусов.

4. Медианы треугольника. Точка пересечения медиан.

Теорема о точке пересечения медиан. Треугольник, составленный из медиан данного треугольника. Экстремальное свойство центроида треугольника. Вычисление медианы треугольника по трем его сторонам. Перпендикулярность медиан. Некоторые неравенства, связанные с медианами.

5. Высоты треугольника. Точка пересечения высот.

Ортоцентр треугольника. Два признака равностороннего треугольника. Расстояние между основаниями высот. Ортотреугольник остроугольного треугольника. Некоторые неравенства, связанные с высотами. Вычисление высоты.

6. Биссектрисы треугольника. Центр вписанной окружности.

Задачи на нахождение отношений отрезков. Формулы для вычисления биссектрисы. Треугольник с равными биссектрисами. (Теорема Штейнера-Лемуса). Некоторые неравенства, связанные с биссектрисами. Отношение площадей треугольника и треугольника, вершинами которого являются точки пересечения биссектрис с противоположными сторонами.

7. Вневписанная окружность.

Центр вневписанной окружности. Касательная в вневписанной окружности. Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных окружностей. Расстояние между центром описанной окружности и центрами вневписанных окружностей. Свойство отрезков, соединяющих вершину треугольника с точками касания сторон треугольника с вневписанными окружностями. Некоторые неравенства.

8. Площадь треугольника.

Вычисление площади треугольника

• по стороне и углам;
• по радиусу описанной окружности и углам;
• по полупериметру и углам;
• по углу и двум высотам, опущенным на стороны этого угла;
• по трем высотам;
• по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне;
• по трем медианам.

Некоторые неравенства, связанные с площадью.

9. Некоторые замечательные теоремы о треугольнике.

Теорема Менелая. Теорема Чевы. Теорема Ван-Обеля. Теорема Штейнера. Теорема Стюарта. Прямая Эйлера. Окружности Эйлера.

Тематическое планирование курса 

Задания для самостоятельной работы учащихся

Работа с рекомендованной литературой.

Самостоятельное решение предложенных задач с последующим обсуждением вариантов решения.

Самостоятельный подбор задач по теме элективного курса с использованием дополнительной математической литературы.

Самостоятельное конструирование задач по изучаемому курсу и их презентация.

Учебно-методическое обеспечение курса

1. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) (типовые задания С4) Прокофьев А.А. Корянов А.Г.
2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-4-е изд.-М.: Вита-Пресс, 2005.
3. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Доп. главы к учебнику 9 кл.: Учеб пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-3-е изд.-М.: Вита-Пресс, 2003.
4. И.Ф. Шарыгин. Геометрия. 9-11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учеб. пособие.-М.: Дрофа, 1997.
5. И.Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии. (Планиметрия).-2-е изд.,перераб. И доп.-М.:Наука. Гл.ред.физ.-мат. лит.. 1986 (Б-чка «Квант». Вып.17)
6. Гусев В.А. и др. Практикум по решению математических задач. – М.: Просвещение, 1985.
7. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Под ред. М.И. Сканави. Учеб. пособие. – С.-Петербург, 1994.
8. Я.П. Понарин. Геометрия: Учебное пособие Ростов- на-Дону: изд-во «Феникс», 1997.
9. М.А. Иванов. Математика без репетитора : 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов. - М.:Вентана-Графф, 2002.
10. Ю.А. Глазков, И.К. Варшавский, М.Я. Гаиашвили. ЕГЭ Математика. Решение задач группы В-2 изд. перераб. И доп.-М.: Издательство « Экзамен», 2009.