Математическое образование как составная часть общей системы образования определяется социально-экономической обстановкой в стране, вхождением России в современную информационную цивилизацию, переходом к демократическому и правовому обществу, возрастанием роли человеческого капитала. Общество нуждается в образованных компетентных людях, обладающих не только высоким уровнем профессиональной квалификации, но и способностью самостоятельно принимать решения, творчески подходить к любому делу, умением постоянно самостоятельно учиться. В документе “Национальная образовательная инициатива – “Наша Новая школа” прямо указано, что образованность и интеллект становятся важнейшим фактором экономического развития, конкурентоспособности на рынке образовательных услуг.
Современному человеку в течение жизни приходится неоднократно менять сферу занятости и осваивать новые профессии. Конкурентоспособность на современном рынке труда во многом зависит от способности человека приобретать и развивать умения, навыки, или компетентности, которые могут применяться и трансформироваться применительно к целому ряду жизненных ситуаций. Принципиально меняются цели образования. Теоретические по сути и энциклопедические по широте знания, которые долгое время были главной целью образовательного процесса в школах, теперь должны стать средством. Другими словами, отечественная школа нуждается в смещении акцентов со знаниевого на компетентностный подход к образованию.
“В настоящее время цель изучения школьного курса математики состоит не столько в усвоении учащимися математических теорий на современном научном уровне, сколько
в овладении умением применять математику в окружающей действительности”. С.И. Шварцбурд, 1975 год. На сколько слова известного математика актуальны сегодня?
Целью обучения математике учащихся в данных условиях является обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки, отвечающего требованиям современного общества, открывающего каждому выпускнику возможности свободной самореализации и продуктивной деятельности в его последующей взрослой жизни. Различают два уровня математической подготовки. Первый фиксирует те возможности, которые должна предоставить учащимся школа в усвоении курса математики. Условно этот уровень может быть назван уровнем возможностей. Второй – это уровень обязательной подготовки. Он характеризует тот безусловный минимум, который должны получить все учащиеся, и определяет нижнюю допустимую границу результатов математического образования.
Естественно, что каждому уровню математической подготовки будут соответствовать разные уровни математической компетентности.
Принято три уровня математической компетентности: уровень воспроизведения, уровень установления связей, уровень рассуждений.
- Первый уровень (уровень воспроизведения) – это прямое применение в знакомой ситуации известных фактов, стандартных приёмов, распознавание математических объектов и свойств, выполнение стандартных процедур, применение известных алгоритмов и технических навыков, работа со стандартными, знакомыми выражениями и формулами, непосредственное выполнение вычислений.
- Второй уровень (уровень установления связей) строится на репродуктивной деятельности по решению задач, которые, хотя и не являются типичными, но всё же знакомы учащимся или выходят за рамки известного лишь в очень малой степени. Содержание задачи подсказывает, материал какого раздела математики надо использовать и какие известные методы применить. Обычно в этих задачах присутствует больше требований к интерпретации решения, они предполагают установление связей между разными представлениями ситуации, описанной в задаче, или установление связей между данными в условии задач.
- Третий уровень (уровень рассуждений) строится как развитие предыдущего уровня. Для решения задач этого уровня требуются размышления и творчество в выборе математического инструментария, интегрирование знаний из разных разделов курса математики, определённая интуиция, самостоятельная разработка алгоритма действий. Задания, как правило, включают больше данных, от учащихся часто требуется найти закономерность, провести обобщение и объяснить или обосновать полученные результаты.
Компетенция - это способность структурировать данные, вычленять математические соотношения, создавать математическую модель ситуации, анализировать и преобразовывать её, интерпретировать полученные результаты.
Компетентность - совокупность компетенций, наличие знаний и опыта, необходимых для эффективной деятельности в заданной предметной области.
На сегодняшний день одна из важных задач обучения - развитие у детей логического мышления. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определённым правилам – необходимое условие успешного усвоения учебного материала.
Логическое мышление не является врождённым, поэтому его можно и нужно развивать различными методами. Логика помогает доказывать истинные суждения и опровергать ложные, она учит мыслить чётко, лаконично, правильно. Логика нужна всем людям, работникам самых разных профессий. В первую очередь преподавателям, ибо они не смогут эффективно развивать мышление учащихся, не владея логикой. Юристам, которые строят свои обвинения или защиту в соответствии правилами логики. Врачам, ставящим диагноз, на основании проявления той или иной болезни. Логика необходима людям как интеллектуального, так и физического труда
Виды задач по логике.
- Математическое лото.
- Геометрические и оптические иллюзии.
- Геометрические упражнения с листом бумаги.
- Математические игры и фокусы.
- Задачи с удивительными числами.
- Математические чудеса и тайны.
- Математические головоломки, шарады, ребусы, курьёзы.
Для проверки компетентности используют следующие типы задач:
1. чисто математические;
2. контекстные (практико-ориентированные);
3. задания исследовательского характера – наиболее трудные.
Поступающие в 10 класс учащиеся обладают различной математической подготовкой. Поэтому, приступая к изучению новых тем алгебры и начал анализа, особое внимание уделяем доступности понятий функции, предела и непрерывности функции, производной. Достижение доступности осуществляем за счёт сочетания достаточно высокого теоретического уровня изложения материала с большим числом графических иллюстраций. При этом подбор задач “на картинках” для усвоения перечисленных математических понятий производим так, чтобы сформировать образ понятия, раскрывающий его содержание, смысл, идею. В частности, при усвоении понятия предела функции - это идея “близости”, при усвоении понятия производной – идея линеаризации.
При решении задач “на картинках” много внимания уделяется формированию умения объяснять, рассказывать по рисунку. Такая работа помогает снять “страх” и развивать интуицию учащихся при усвоении сложных и абстрактных математических понятий.
ЗАДАЧА. Представьте правильную четырёхугольную пирамиду. Мысленно разрежьте её плоскостью, проходящей через высоту и перпендикулярной одному из рёбер основания. Сложите две полученные пирамиды так, чтобы совпали неразрезанные грани исходной пирамиды. Нарисуйте полученный многогранник. Сколько граней он содержит?
Парадокс об Ахиллесе, догоняющем черепаху.
Пусть между ними имеется начальное расстояние в 1 км и пусть Ахиллес, догоняя черепаху, движется в 10 раз быстрее, чем черепаха. Догонит ли Ахиллес черепаху?
Площадь вписанного правильного многоугольника.
Чему равна площадь правильного многоугольника, если число сторон стремится к бесконечности? Площадь такого многоугольника стремится к площади круга, в который будут вписываться правильные многоугольники.
Задача из популярной медицинской энциклопедии.
Размеры палочковидных бактерий могут быть от1 до 8 микрометров (мкм) в длину и от 0,5 до 2 мкм в ширину; средний диаметр шаровидных 0,5-1 мкм (1 мкм = 0,001 мм) Вырази все величины в метрах; представь числа в стандартном виде.
Психологами доказано, что использование средств предметной и изобразительной наглядности при решении практических задач создаёт благоприятные условия для усвоения новых знаний. Поэтому целесообразно текст учебной задачи дополнять таблицей, плакатом, диапозитивом, профессиональным инструментом, приборами, моделями производственных объектов.
Задача. Сравните следующие здания: Московский цирк на проспекте Вернадского, СЭВ на Новом Арбате, Эйфелеву башню в Париже, ваш дом. Какое из них имеет форму призмы? В каких случаях и какой из признаков, определяющих призму, не выполняется?
Задача. Требуется оштукатурить две колонны одинаковой высоты, но с различными поперечными сечениями: круглым и квадратным. Наружный диаметр круглого сечения и сторона наружного квадрата равны 30 см. На какую колонну расходуется штукатурки больше и во сколько раз?
Задача. План комнаты сделан в масштабе 1:200. Определить расход меловой пасты на побелку потолка и фриза, если длина комнаты на плане 30 мм, ширина 40 мм, высота фриза 0,5 мм и на 100 кв. м требуется 24 кг пасты. Фриз – окрашиваемая поверхность стен между потолком и панелью с минимальной высотой 50 мм.
Задача.
ОПЕРАЦИЯ “Тайфун”.
Расклад сил перед битвой под Москвой. Наполеон сказал: “Бог всегда на стороне сильной армии”. Разгром немецко-фашистских войск в битве за Москву.
Составить задачу, используя данные таблицы.
| Силы советских войск | Силы немцев |
| 12 дивизий народного ополчения | 77 дивизий |
| 160 000 солдат | 1 090 000 солдат |
| 740 танков | 1700 танков |
| 450 самолётов | 900 самолётов |
Работа с научным текстом из популярной медицинской энциклопедии
Общая длина двенадцатиперстной кишки 27-30 см, диаметр от 3 до 5 см.
Протяжённость тонкой кишки в среднем 4,5 м, диаметр её постепенно суживается по направлению к тонкой кишке – от 4,5-5 до 2,7-3 см.
Толстая кишка имеет длину в среднем 150 см, диаметр в начальном отделе 7-14 см, в конечном отделе 4-6 см.
1) Выразите все измерения в метрах в виде десятичной дроби.
2) Составь задачу по данным текста.
3) Попытайся составить сравнительную характеристику данных органов.
Эрудиция учителя поможет ему создать новую, необычную ситуацию из почти любого задания. Вот самая обычная задача о стоимости альбомов. Но учащимся предлагается дать как можно больше способов решения. Можно ввести элемент игры. Побеждает тот, кто предложит решение задачи последним. Каждый участник сам для себя вырабатывает тактику: нужно не спешить, но и не опоздать.
12 альбомов стоят 360 руб. Сколько стоят 10 таких альбомов?
1способ:
1) 360:12=30 (руб.)-стоимость одного альбома.
2)30*10=300(руб.)-стоят 10 альбомов.
2 способ:
1 альбом стоит 30руб., стоимость 2-х альбомов 60руб. 360-60=300(руб.)
3 способ:
12 альбомов стоят 360руб., 2 альбома стоят в 6раз дешевле, т.е. 360:6=60руб. Тогда 10 альбомов будут стоить в 5 раз дороже, чем 2 альбома.
4 способ:
число12 альбомов больше 10 во столько же раз, во сколько 6 больше 5 и во столько же раз, во сколько 360 больше300.
5 способ:
число 120 больше 12 в 10 раз. Поэтому120 альбомов будут стоить 360 руб., а 10 альбомов –300руб.
Задача. Сегодня в мире около 400 млн. автомобилей. Ежегодно автомобиль в среднем рассеивает в воздухе около 10 кг резины, расходует около 4350 кг кислорода и загрязняет воздух, выбрасывая 3250 кг углекислого газа. Подсчитайте, сколько всего за год: а) рассеивается резины в воздухе; б) выбрасывается углекислого газа в воздух; в) забирается кислорода из воздуха.
Задача. Последнее полное солнечное затмение, видимое в Москве, было 25 февраля 1746 года. Следующее полное солнечное затмение в Москве произойдёт 16 октября 2126 года. Через какое время в Москве повторится это природное явление?
Задача. Площадь водной поверхности Каспийского моря в 1930 году составляла 422000 кв. км, а в 1990 году она равнялась 371000 кв. км. На сколько в среднем за год уменьшалась площадь поверхности моря? 850 кв. км.
Задача. После 7 стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок осталось оставшегося куска? (1)
Задача. Почему водопроводные и канализационные люки круглые, а не квадратные?
Фронтальный опрос - это такой этап урока, на котором, как правило, учитель опрашивает учащихся всей группы. Можно предложить учащимся игру “Учитель против класса”. Опрашивает не учитель детей, а наоборот ученики задают учителю вопросы по теме. Отвечая на вопросы, учитель сознательно может допустить ошибку, завуалировать её. А дело учащихся – заметить это, поправить педагога. Это возможно только при хорошей подготовке учащихся к уроку. Такой приём формирует коммуникативную грамотность, предполагающую свободное владение способностью адекватно понимать чужую речь ( в данном случае - устную) и самостоятельно выражать свои мысли в устной речи.
ЭПИЛОГ
Экспериментатор подвесил в комнате бананы, желая узнать, догадается ли шимпанзе составить из разбросанных как попало ящиков пирамиду и достать бананы, взобравшись на неё. Обезьяна тихо сидела в углу, наблюдая, как он расставляет ящики. Она терпеливо ждала, пока экспериментатор не оказался под бананами, внезапно вспрыгнула ему на плечи и схватила бананы.