Вычисление площадей плоских фигур с определенным интегралом

Класс: 11 (базовый уровень)

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Цели урока:

• обучающие: повторить и обобщить типы задач на вычисление площадей фигур, в том числе фигур сложной геометрической конфигурации, классифицировать задачи, систематизировать способы решения, скорректировать знания, познакомиться с историей развития интегрального исчисления;
• развивающие: научить мыслить и оперировать математическими знаниями, стимулировать мышление учащихся;
• воспитательные: развивать у учащихся коммуникативные компетенции (умение работать в группе, культуру общения), способствовать развитию интеллектуальной деятельности учащихся.

Учебно-методическое обеспечение: Алгебра и начала анализа. 10 - 11 классы, учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и др. – М. Просвещение, 2013.

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, интерактивная доска, презентация для сопровождения урока.

Форма работы: групповая.

Структура презентации к уроку

Содержание слайдов

1. Тема урока. Слайд 1.

2. Цели урока. Слайд 2.

3. План урока. Слайд 3.

4. Блиц-опрос. (Вопросы для проверки теоретических знаний по теме).

При первом щелчке по слайду 4 появляется вопрос №1. При втором щелчке появляется ответ на вопрос №1 для проверки и коррекции ответа ученика. При третьем щелчке ответ удаляется. Аналогично выполняется работа со следующими вопросами.

5. Практическое применение теоретических знаний. Задайте аналитически фигуру. При первом щелчке по слайду 5 появляется рисунок, после ответа учащихся по второму щелчку появляется ответ для выполнения учеником самоконтроля своего ответа. При третьем щелчке ответ удаляется, одновременно появляется следующий рисунок. Аналогично выполняется работа со следующими рисунками.

6. Ответить на вопросы учителя по представленным рисункам. На слайде 6 все рисунки. По щелчку появляется вопрос, по следующему щелчку вопрос исчезает. Аналогично выполняется работа со следующими вопросами.

7. Выразить с помощью интеграла площади фигур, изображённых на рисунке.

8. Вычислить интегралы.

9. Защита домашних задач. Щелчками на слайд 9 поочередно выводится условие задачи для каждой группы.

10. На слайдах 10,11 – рисунок и решение задачи I группы. На слайдах 12,13 – рисунок и решение задачи II группы. На слайдах 14,15 – рисунок и решение задачи III группы.

11. Постановка проблемы (обобщение). Щелчками на слайд 16 выводится формулировка проблемы, ее решение.

12. Классификация задач. Щелчками на слайд 17 поочередно выводятся рисунки и описание задач (классификация задач).

13. Что поможет упростить вычисление площадей фигур. Щелчками на слайд 18 выводится результаты анализа решения.

14. Решение задач. Слайд 19.

15. Немного истории. Щелчками на слайды 20 - 25 выводятся портреты и текст исторической справки.

16. Итоги урока. Щелчками на слайд 26, 27 выводятся поочередно результаты планирования и выводы.

17. Лист самооценки. Слайд 28

18. Домашнее задание. Слайд 29.

Домашнее задание к уроку

Каждая группа учащихся должна подготовить и оформить в виде презентации решение задачи на вычисление площади фигуры.

Задание I группы. Вычислить площадь фигуры, расположенной между линиями у = х² – 2х, у = 4 – х².

Задание II группы. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х², у = , у = 2х.

Задание III группы. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = cosx, y = sinx на отрезке .

Подготовиться к теоретическим вопросам по теме (§59, учебник)

Организационный момент

(Объявление темы, постановка цели и задач урока).

Слайды 1-3

У ч и т е л ь: На предыдущих уроках мы рассмотрели различные примеры нахождения площадей плоских фигур с помощью интеграла. Сегодня мы обобщим и закрепим рассмотренные способы и задачи более высокого уровня сложности. Так как основной задачей урока является именно вычисление площади фигуры, а не построение графиков функций, то большинство задач решаются по готовым чертежам.

Слайд 4

У ч и т е л ь : Вычисление площадей фигур основано на геометрическом смысле интеграла.

Учитель задает вопросы по теории и фиксирует ответы на слайдах презентации.

Вопросы:

- В чем заключается геометрический смысл интеграла? (Интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.)

- Какую фигуру называют криволинейной трапецией? (Фигура, ограниченная отрезком оси абсцисс, отрезками вертикальных прямых x=a, x=b и графиком непрерывной, неотрицательной на функции, называется криволинейной трапецией)

- Как найти площадь фигуры в случае, если функция неположительная на .

( S =)

Слайды 5 - 8

У ч и т е л ь : Площади плоских фигур, не являющихся криволинейными трапециями, почти никогда не удается найти, не выполнив чертежа. Это требует от вас наряду с умением строить графики функций, отчетливо понимать соответствия между аналитическим и графическим заданием фигуры.

Задание 1. Задайте аналитически заштрихованную фигуру.

Учитель демонстрирует рисунки фигур на слайдах презентации. Учащиеся устно отвечают на вопросы. Учитель фиксирует результаты на слайдах.

Вопросы:

- Какие из заданных функций являются криволинейными трапециями? (На рисунках 1 и 6)

- Почему фигура на рисунке 4 не является криволинейной трапецией? Как найти ее площадь? (Функция у = cosx на промежутке неположительная, S=)

- Площадь, каких фигур можно найти как разность площадей криволинейных трапеций? (Фигуры на рисунках 2, 3, 5)

- Площадь, какой фигуры можно найти методами элементарной математики, то есть без помощи интеграла? ( Фигуру на рисунке 6 можно достроить до прямоугольника, получатся две симметричные относительно точки с координатами )

- Вычисление площадей фигур должно проводиться рационально. Какое свойство фигуры для этого можно использовать в примерах 1, 2, 3, 5? (Симметрию фигуры относительно оси ординат)

Задание 2. Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображённых на рисунке.

Задание 3. Вычислите интегралы.

У ч и т е л ь: Домашнее задание к этому уроку предусматривало решение задач на вычисление площади фигуры сложной конфигурации. Для этого вы должны были самостоятельно или с помощью подсказки учебника найти способ решения. Какие проблемы вы обозначили по ходу решения этих задач?

Учитель помогает учащимся сформулировать проблемы, направляя предложения учащихся по классификации заданных условий. По одному ученику от каждой группы защищают решение домашних задач по подготовленным презентациям, обозначая проблему.

Слайд 16

После прослушивания решения домашних задач, учитель совместно с учащимися обобщает и классифицирует задачи на вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла.

Слайды 17 – 19

Классификация задач. Что поможет упростить вычисление площади фигуры. Решение задачи.

Все группы получают задание на готовом чертеже. Учащиеся работают в группах, обсуждают решение. После этого представители групп показывают решение с помощью интерактивной доски. Учащиеся высказывают свое мнение, называют свойства, которые они применяли при решении.

Слайды 20 - 24

У ч и т е л ь : Строгое изложение теории интеграла появилось только в 19 веке. Но задачами на вычисление площадей занимались математики Древней Греции.

Методы вычисления площадей фигур, которые создал Архимед вслед за другим древнегреческим ученым Евдоксом Книдским, фактически предвосхитили идею интегрирования – за 18 веков до того, как дифференциальное и интегральное исчисление было построено Ньютоном и Лейбницем.

Архимед успешно находил площади фигур, несмотря на то, что в математике его времени не было понятия интеграла. Но лишь интегральное исчисление дает общий метод решения всех подобных задач. Недаром, даже поэты воспевали интеграл:

“Смысл там, где змеи интеграла,
Меж цифр и букв, меж d и f”
В.Я. Брюсов

Слайды 26 - 28

Учитель предлагает учащимся обобщить результаты работы, демонстрирует на слайдах итоги урока.

Подводя итоги, учитель еще раз напоминает, что в ходе решения задач на вычисление площадей фигур с помощью интеграла, они должны были показать необходимые для этого знания и умения: построение графиков функций, выделение площади искомой фигуры, определение пределов интегрирования и др.

Слайд 28

Учащимся предлагается заполнить лист самооценки.

Выставляются оценки за урок.

Слайд 29

Учитель выводит на экран домашнее задание, комментируя его.