Квадратный трёхчлен с полным правом можно назвать главной функцией всей школьной математики. Если не считать совсем простой линейной функции, то это, пожалуй, единственная функция, для которой в школьном курсе строго доказываются все свойства, необходимые для решения задач. Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трёхчлена требуется от каждого ученика. Такое особое положение квадратного трёхчлена, естественно, отражается на примерах, предлагаемых на выпускных экзаменах, где число задач, решаемых с помощью квадратного уравнения очень велико, а сами эти задачи чрезвычайно разнообразны. При этом наряду с задачами, решение которых получается сразу из известных корней (таким, как решение квадратных уравнений и неравенств, нахождения условия корней, определение знаков корней, отыскание наибольшего и наименьшего значения квадратного трёхчлена), встречаются задачи, где непосредственного применения простейших теорем оказывается недостаточно.
Среди стандартных школьных задач, перечисленных выше, есть задачи по определению знаков корней, иными словами, выяснить расположение корней относительно точки 0. Эта задача легко решается с помощью теоремы Виета. А как быть, если требуется выяснить расположение корней относительно другой точки?
Единственно, чем точка 0 отличается в этом смысле от других, это то, что для точки 0 есть теорема Виета, а для всех остальных аналогичную теорему необходимо ещё сформулировать.
Если придумать теоремы чтобы решать все задачи на расположение корней по
аналогии с теоремой Виета, то число этих теорем было бы слишком велико. В самом
деле, вполне естественно интересоваться расположением корней в некотором
заданном интервале c
xd
или в бесконечном интервале xc
или в бесконечном интервале x
d.
Относительно каждого из этих интервалов можно поставить, например, такие
вопросы: при каком условии на нём лежат оба корня или ни одного корня или есть
ровно один корень? Из названных вопросов мы можем составить 12 различных задач.
А если наряду с указанными интервалами рассматривать ещё интервалы с включёнными
концами типа c≤x≤d или x≥d? И, если учесть, что свойства кв. трёхчлена
существенно зависят от знака его старшего коэффициента (коэффициент при x2)?
Совершенно ясно, что количество требуемых теорем практически необозримо.
Остаётся только одно: научиться придумывать теорему каждый раз, в каждой
конкретной задаче.
Для придумывания этой теоремы нужно не только знание кв. трёхчлена, нужно умение мыслить на двух языках – алгебраическом и геометрическом. Это означает, что для любой поставленной задачи нужно давать геометрическую интерпретацию на графике. И наоборот: любое свойство графика надо описать словами и формальными алгебраическими условиями.
Например, старший коэффициент меньше нуля – значит, ветви параболы направлены
вниз; трёхчлен не имеет действительных корней – парабола не пересекает и не
касается оси абсцисс; график трёхчлена ax2 + bx + c находится выше
оси абсцисс – значит a0 и
b2 – 4ac0.
Последнее геометрическое утверждение можно высказать, по крайней мере, ещё тремя
различными способами: неравенство ax2 + bx + c0
выполняется при любых x; неравенство ax2
+ bx + c≤0 не имеет решений.
Прежде чем переходить к разбору конкретных задач необходимо разработать методику решения этих задач на нескольких примерах теоретического характера.
Пусть f(x)=ax2+bx+c. Все рассуждения будут проводиться в
предположении a0;
соответственно решая конкретные задачи, их можно переформулировать таким
образом, чтобы можно пользоваться такими свойствами трёхчлена с положительным
коэффициентом a. Обозначим корни трёхчлена через x1
и x2, а дискриминант через D.
Рис. 1
График, приведённый на рисунке, отвечает сформулированным условиям.
Во-первых, он пересекает ось абсцисс или касается её следовательно D≥0;
во-вторых, его значение в точке d положительно. Этих двух условий недостаточно.
Необходимо третье условие чтобы вершина параболы лежала правее точки d, т. е. –
d.
Необходимым и достаточным условием решения поставленной задачи будут в том
случае, когда D≥0; f(x)0 и
–
d.
Безусловно, эти рассуждения не строги и нужно провести строгие доказательства этого рассуждения. Оно достаточно просто.
Пусть оба корня больше d. Тогда D≥0, так как корни существуют; абсцисса
вершины –
больше d, так как она лежит между корнями и, наконец, f(d)0
т. к. d лежит вне интервала между корнями. Обратно, пусть выполнены указанные
три неравенства. Тогда в силу D≥0 трёхчлен имеет корни; условие f(d)0
означает, что точка d лежит вне интервала между корнями, а третье неравенство
обеспечивает то, что d меньше меньшего корня – в противном случае d было бы
больше большего корня и, следовательно, больше полусуммы корней, которая равна –
.
2. Задача формулируется следующим образом. При каких условиях корни
квадратного трёхчлена лежат по разные стороны числа d? Иными словами число d
лежит между корнями. А это утверждение равносильно неравенству f(d)0.
Требуемые условия будут: D0
и f(d)0.
3. При каких условиях один из корней кв. трёхчлена f(x), имеющего различные
корни, лежит на интервале dxc?
Это условие выполняется только в том случае, когда в точках d и c трёхчлен
имеет значения разных знаков. При этом если f(d)0,
f(c)0, то в
рассматриваемом интервале лежит, очевидно, больший корень, а если f(d)0,
f(c)0 – меньший корень.
Если же для решения задачи эти два случая различать не нужно, то требуемое
условие можно записать в более компактной форме – f(d)•f(c)0.
Необходимо подчеркнуть, что квадратный трёхчлен имеет два различных корня.
Если же трёхчлен имеет только один корень, или как иногда говорят, два равных,
то условие того, что корень лежит на интервале dxc,
выглядит по другому.
4. При каких условиях два (не обязательно различных) корня кв. трёхчлена f(x)
лежат на интервале dxc?
Во-первых, трёхчлен, обладающий требуемыми свойствами, должен иметь
действительные корни; во-вторых, должны быть положительные значения трёхчлена в
точках d и c; в-третьих, вершина параболы должна лежать между точками d и c. В
результате получаем, что оба коня (различные или нет) лежат на интервале d<x<c в
том и только в том случае когда: D≥0; f(d)0;
f(c)0; d–
c.
Из четырёх приведённых примеров уже достаточно ясен общий подход к задачам рассматриваемого типа. В большинстве задач, однако, далеко не всегда вопрос ставится не так прямо, как в разобранных теоретических примерах, и для того чтобы придти к нужной постановке, задачу чаще всего приходится переформулировать.