Математика – абстрактная наука, для изучения предмет трудный и не всегда сразу понятный. А ведь именно от того, понимает ребёнок предмет изучения или нет, у него либо появляется желание им заниматься, или напротив, наступает полное его отрицание.
Решил ребёнок задачку – вот удача! Гордость за то, что смог, что сам! У него появится желание решить ещё одну такую же.
А сделал неверно, не понял тему, не понимает условие, не знает, как подступиться – ну полный мрак! Разве будет у него появляться желание этим заниматься?! Конечно, нет!
Значит от того, понимает ребёнок или нет, напрямую зависит его желание, его успешность.
А как объяснить так, чтобы он понял, чтобы заинтересовался? Чаще всего ученик понимает на жизненных примерах, вероятно, потому, что знания, добытые практикой, лучше усваиваются.
В 6 классе задаёшь пример: “ -3 – 5 = ?”. Как правило, в начале изучения темы ребята ошибаются. Говорю: “Я должна 3 рубля, задолжала ещё 5 рублей. Сколько всего должна стала?” Отвечают: “Долг 8 рублей, значит ответ: (– 8)”
В 8 классе при изучении дробно-рациональных уравнений и решений задач с дробно-рациональными уравнениями появляется понятие “производительность труда”, которое часто встречается в задачах экономического содержания.
С подобными задачами мы встречаемся и в 9 классе в теме: “Решение задач с помощью систем уравнений второй степени”. И, наконец, при подготовке к ЕГЭ, в задачах типа В5, ребята при рассмотрении жизненных ситуаций делают расчёт и находят наиболее выгодный вариант покупки. Решая такие задачи, которые непосредственно связаны с жизнью, они видят практическое применение математики и уже не считают её такой уж абстрактной и непонятной. И многие из них с интересом знакомятся с более трудными задачами, которые готовят их к выбору профессии в области экономического образования.
Сегодня Россия интегрируется в мировую экономическую систему, и в начале третьего тысячелетия жизнь требует изучения основных законов экономики уже в школе и как можно раньше. Развитие информационного общества, научно-технические преобразования, рыночные отношения требуют от каждого человека высокого уровня профессиональных и деловых качеств, предприимчивости, способности ориентироваться в сложных ситуациях, быстро и безошибочно принимать решения.
В связи с этим учителя математики ставят перед собой и детьми следующие цели и задачи:
- извлекать информацию из таблиц и графиков, анализировать полученные данные;
- решать основные задачи на вычисление прибыли, себестоимости, рентабельности, величины налога, простых и сложных процентов и так далее
- сформировать понимание значения экономики для развития общества;
- научить применять математические знания при решении экономических задач.
Решение таких задач позволит учащимся на конкретных примерах увидеть, как абстрактные математические понятия и факты можно эффективно применять в профильной для них дисциплине, что будет способствовать развитию положительной мотивации учащихся в математической подготовке. С некоторыми прикладными задачами экономического содержания я Вас хочу познакомить.
Задача 1.
При цене билета на футбольный матч в 450 рублей на стадион вместимостью 40 тысяч человек пришло 5 тысяч зрителей. При снижении цены билета до 200 рублей на матч с участием тех же команд число болельщиков, решивших посетить матч, увеличилось до 30 тысяч человек. На основании анализа статистических данных было установлено, что спрос на билеты задается линейной функцией. Определите, какую цену на билет должна установить администрация стадиона, чтобы во время игры данных команд стадион был заполнен полностью.
Решение:
Перед составлением математической модели данной задачи учащимся необходимо объяснить, что в курсе экономики функцией спроса на данный товар называют сложившуюся на определенный момент времени зависимость между ценой товара р и величиной спроса на него q Перейдем теперь к составлению математической модели ситуации, описанной в задаче.
Пусть q (тыс.шт.) количество купленных билетов, а р (р.) цена одного билета. По условию задачи зависимость количества купленных билетов от цены характеризуется линейной функцией, поэтому функция спроса на билеты имеет вид: q = kp + b.
Так как при р = 450, q = 5, а при р = 200, q = 30, то для нахождения k и b имеем систему
Решением системы являются k = -0,1 и b = 50.
Следовательно, спрос на билеты описывается следующей функцией: q = -0,1p + 50.
Теперь можем ответить на вопрос задачи. Для этого составим и решим уравнение:
-0,1p + 50 = 40
-0,1p = 40 – 50
p = -10:(-0,1)
p = 100.
Итак, q = 40 при р = 100.
Ответ: болельщики заполняют стадион полностью, если администрация установит за билет цену в размере 100 рублей.
Рассмотрим теперь примеры задач, позволяющих оценить возможные последствия и направления регулирования цен на различных рынках (на валютном рынке, рынке товаров и рынке труда), если известны соответствующие функции спроса и предложения.
Задача 2.
На валютном рынке сложилась следующая ситуация: при курсе 30 руб./долл. объем рыночного предложения валюты равен нулю, а величина спроса составляет 80 млн. долл. Кроме того, известно, что при курсе 35 р./дол. рынок находится в равновесии и равновесный объем продаж валюты составляет 60 млн. долл. Исследования финансовых аналитиков показали, что зависимости величины спроса и объема предложения валюты от ее цены характеризуются линейными функциями. Определите, какой объем валюты должен продать или купить. Центральный банк, чтобы снизить равновесный курс до
32 р./долл.?
Решение.
Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо знать объемы спроса и предложения при курсе 32 р./долл., то есть нужно определить значения функций спроса и предложения при данном валютном курсе. Для этого потребуется общий вид функций спроса и предложения.
Функция спроса на товар характеризует зависимость между ценой товара и величиной спроса на него. Функция предложения товара – это функция, описывающая сложившуюся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Состояние равновесия на рынке характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса на товар совпадает с величиной его предложения.
Так как по условию задачи спрос и предложение задаются линейными функциями, то можно записать, что функция спроса имеет вид q = k1 p + b1 , и функция предложения q = k2 p + b2 , где р – цена валюты в р./долл., q – объем покупки/продажи валюты в млн. долл.
Учитывая условие задачи, для нахождения значений k1 , k2 , b1 , b2 , составляем две системы:
Решив первую систему, получили, что k1 = -4, b1 = 200. Таким образом, функция спроса на валюту имеет следующий вид: q1 = -4p + 200.
Решением второй системы является пара k2 = 12, b2 = -360. Таким образом, предложение валюты задается функцией: q2 = 12p – 360.
Рассчитаем объем спроса и объем предложения при курсе валюты 32 р./долл.
Если р =32, то, подставив данное значение р в функцию спроса q = -4*32 + 200, имеем q = 72, то есть величина спроса на валюту при данном курсе составит 72 млн.долл. Аналогично, подставив р = 32 в функцию предложения q =1 2*32– 360 , получаем q = 24, то есть объем предложения валюты равен 24млн. долл.
Таким образом, при курсе 32р./долл. величина спроса на валюту превышает объем ее предложения на 72-24=48 млн. долл., то есть на рынке валюты наблюдается избыточный спрос. Откуда заключаем, что для того чтобы снизить равновесный курс доллара до 32р./долл., Центральному банку необходимо увеличить предложение валюты, продав для этого 48млн. долл.
Ответ: Центральному банку необходимо продать 48 миллионов долларов.
Задача 3.
В сентябре спрос на персики в супермаркете задается следующей функцией:
q = 600 – p, а предложение – функцией: q = 300 + 2p, где р – цена 1кг персиков в рублях, q – количество персиков в килограммах.
а) Определите параметры рыночного равновесия на рынке персиков.
б) Что произойдет на рынке данного товара, если дирекция супермаркета, заботясь о здоровье граждан, решит стимулировать потребление населением персиков и с этой целью зафиксирует верхний предел цены персиков на уровне 85 руб. за 1кг?
Решение.
а) Параметры рыночного равновесия определяем из системы:
Таким образом, равновесная цена персиков равна 100 р. за 1кг, а равновесный объем продаж составляет 500 кг.
б) Итак, если р = 85, то спрос q = 600 – 85 = 515 (кг), а величина предложения q = 300 + 2*85 = 470. Понижение цены до 85 р. за килограмм приведет к стимулированию потребительского спроса до 515кг и к одновременному снижению величины предложения до 470кг. Другими словами, при снижении цены потребители действительно захотят увеличить потребление персиков до 515кг, но купить смогут ровно столько, сколько продавцы им продадут, то есть 470 кг. При этом величина спроса на персики превысит величину их предложения на 45кг, то есть снижение цены приведет к тому, что в супермаркете возникнет дефицит персиков в размере 45 кг.
Задача 4.
Функция спроса на некоторый товар имеет вид q = 1200 – 3p, а предложение данного товара задается функцией q = 7p – 800, где р – цена единицы товара в рублях,
q – количество товара в штуках.
а) Чему равны равновесные значения цены и количества?
б) Допустим, что государственными органами контроля рыночных цен установлен верхний предел цены на данный товар в размере 150 р. Охарактеризуйте последствия данной меры качественно и в количественном выражении.
Решение:
а) Для определения равновесных значений количества товара и цены единицы товара составляем систему:
Итак, имеем, что равновесие достигается при цене 200 р. за единицу товара и количестве товара 600 штук.
б) Для ответа на второй вопрос задачи вычислим величину спроса и величину предложения при цене 150 р.
Если р = 150, то потребители готовы купить 750 шт., а производители готовы продать 250 шт.
Таким образом, в результате действий со стороны государства возникнет дефицит данного товара в количестве 500 штук.
Задача 5.
Исследования рынка труда города М показали, что на местном рынке труда низко-квалифицированной рабочей силы функция спроса на труд имеет следующий вид:
L = 50000 – 2w, а предложение труда характеризуется функцией L = 10000 + 2w, где w(p) – размер ежемесячной заработной платы, L (чел.) – количество работников.
а) Каковы равновесные значения зарплаты и численности работников на данном рынке труда?
б) Что произойдет на рынке труда, если размер минимальной заработной платы зафиксируют на уровне 12000 р. в месяц?
Решение:
а) Равновесные значения зарплаты и уровня занятости на рынке труда низко-квалифицированной рабочей силы найдём, решив систему:
Решением системы является пара w = 10000, L = 30000.
Следовательно, равновесный уровень заработной платы составляет 10000 р. в месяц при численности занятых 30000 человек.
б) В результате установления минимального размера оплаты труда на уровне 12000р, то есть w = 12000, работодатели смогут принять 26000 человек, так как
L = 50000 – 2*12000 = 26000, а количество желающих работать при данном уровне зарплаты увеличится до 34000 человек, L = 10000 + 2*12000 = 34000.
Таким образом, имеем, что при повышении минимального размера оплаты труда до 12000р появится дефицит рабочих мест, который составит 34000-26000=8000 единиц.
В заключении заметим, что учащиеся, желающие связать свою профессию с экономикой, решают подобные задачи с большим интересом.