Решение однородных тригонометрических уравнений

Цели и задачи урока:

• сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения других видов тригонометрических уравнений, урок закрепления пройденного материала, закреплениетеории практическими занятиями;
• развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;
• воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности, эстетическое воспитание, нравственное, развитие самостоятельности, любовь к труду.

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков, учащихся по решению тригонометрических уравнений.

Оборудование урока: проектор, слайды,  тетради, стенды по тригонометрии: а) значения тригонометрических функций, б) основные формулы тригонометрии; учебник математики под ред. Башмакова.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

Взаимное приветствие, проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, кто отсутствует).

II. Этап проверки домашнего задания

Всему классу представляется устный диктант (на слайдах в презентации). В течение всего устного диктанта учащимся, за правильный ответ, выдаются жетоны, в конце урока, при подведении итогов, по количеству набранных жетонов выставляется оценка.

1. Вычислить (слайд 3):

arcsin ; arccos 0; arccos1; arccos ; arcsin 0; arcsin ; arсcos ; arccos (– 1); arcsin (– ); arccos ; arcsin (– 1) .

Следить за правильностью ответов, активизировать мыслительную деятельность учащихся, зрительную память.

2. Вычислите устно (работа с формулами приведения) (слайд 4):

1) sin(π – х)
2) cоs(2π + х)
3) tq(3π/2 – х)
4) arcsin √2/2
5) sin(2π – х)
6) tq(π + х)
7)cоs(3π/2 – х)
8)  sin (π + х).

3. Выбери правильный ответ (слайд 5):

arcsin                                         arccos
1) π/6                                                        1) π/6
2) π/3                                                        2) π/3
3) π/2                                                        3) π/2
4) – π/33) π/2                                          4) – π/3

4. Выбери правильный ответ (слайд 6):

arccos 1 1) 0 2) π/3 3) – π/2 4) – π

arcsin 1 1) 0 2) – π/2 3) π/2 4) – π

5. Выбери правильный ответ (слайд 7):

arcsin 0 1) 0 2) π/3 3) – π/2 4) – π

arccos 0 1) 0 2) – π/2 3) π/2 4) – π

6. Выбери формулу для решения уравнения (слайд 8):

cos t = a

sin t = a

1) t = ± arccos a + πn, n є Z.
2) t = (– 1)n arcsin a + πn, n є Z.
3) t = ± arccos a + 2πn, n є Z.
4) t = (– 1)n arcsin a + 2πn, n є Z.

7. Найдите область допустимых значений выражения (слайд 9):

arccos х

arcsin х

1) – 1  <  х  <  1
2)  0  <  х  <  π
3) – π/2 < х <  π/2
4) 0 < х < 1

III. Повторение правил решения простейших тригонометрических уравнений (слайд 10, устно вместе с учителем)

IV. Рассмотрение примеров решения уравнения (слайд 11)

Ответить на вопросы: (слайд 12)

– Какие из уравнений не имеют решения?
– Назовите уравнения, которые являются частными случаями?
– Дайте решение оставшимся уравнениям (устно).

V. Усвоения новых знаний

– Рассмотрим другие способы решения тригонометрических уравнений:

• уравнения, приводимые к квадратным уравнениям;
• однородные уравнения;
• разложение на множители;
• замена переменной;
• метод вспомогательного угла;
• понижение степеней.

1. Решение простейших уравнений вместе с учителем (слайд 14)

1) tg2x = – 1                                  2) cos(x + π/3) = 1/2

2x = arctg (–1) + πk, kЄZ             x + π/3 = ± arccos1/2 + 2πk, k Є Z
2x = – π/4 + πk, k Є Z                  x + π/3 = ± π/3 + 2πk, k Є Z
x = – π/8 + πk/2, k Є Z                 x = – π/3 ± π/3 + 2πk, k Є Z

Ответ: – π/8 + πk/2, k Є Z           Ответ: – π/3 ± π/3 + 2πk, k Є Z

3) sin(π – x/3) = 0

упростим по формулам приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, k Є Z
x = 3πk, k Є Z.

Ответ: 3πk, k Є Z.

2. (слайд 15)

3. Решаем в тетрадях вместе с учителем:

• Уравнения, приводимые к квадратным уравнениям

2cos²x + sinx + 1 = 0
2 * (1 – sin²x) + sinx + 1 = 0
2 – 2sin²x + sinx + 1 = 0
– 2sin²x + sinx + 3 = 0
Пусть a = sinx
– 2a² + a + 3 = 0
a1 = – 1, a2 = 1,5
sinx = – 1      sinx = 1,5
x = – π/2 + 2πn,  нет корней

• Однородные уравнения

3sin²x + sinx  cos x = 2cos²x
Делим на sin²x обе части уравнения
3 + cosx/sinx = 2cos²x/sin²x
Известно, что ctg  x = cos x/sin x
Получим 3 + ctgx = 2ctg²x
Пусть a = ctg x
3 + a = 2a²
2a² – a – 3 = 0
a1 = 1,5   a2 = – 1
Получим  ctg x = 1,5    ctg x = – 1
x = arcctg1,5 + πn    x = 3 π/4 + πm

• Разложение на множители

4sin²x – sin2x = 0
4sin²x – 2sinx cosx = 0
2sinx(2sinx – cosx) = 0
sinx = 0 или 2sinx – cosx = 0
x1 = πn         2sinx – cosx = 0
sinx      sinx
2 – ctgx = 0
ctgx = 2
x2 = arcctg2 + πk

• Замена переменной

  2(1 + tgx) –   = 5

  Пусть y = 1 + tgx

  2y –  = 5

  2y² – 3 = 5y y ≠ 0

  2y² – 5y – 3 = 0
  y1 = 3 ,   y2 = – 0,5
  1 + tgx = 3  1 + tgx = – 0,5
  tgx = 2      tgx = – 1,5
  x₁ = arctg2 + πn        x₂ = – arctg1,5 + πk

• Понижение степеней

                                                          
  sin4 x + cos4 x = 1/2
  (sin²x)² + (cos²x)² = 1/2
  Известно, что sin²(x/2) = ,    cos²(x/2) =
  () 2 + () 2 = 1/2
  1 – 2cos2x + cos²2x + 1 + 2cos2x + cos²2x = 2
  2cos²x = 0
  cosx = 0
  x = π/2 + πn

4. Решаем вместе (учащийся на доске комментирует свой решенный пример, выясняется, что учащиеся не поняли или не усвоили)

cos 2x = √3/2
cos x/3 = – 1/2
5 cos2x + 6 sinx – 6 = 0
2cos(x/2 – π/6) = √3

VI. Домашнее задание:

cos (4x – 2) = 1/2;
cos2x – 2cos x = 0;
cos2x – sin2x = 1;
3sin2x – 5sin x – 2 = 0;
2sin x – 3cos x = 0;
(tgx – √3)(2sin x/2 + 1) = 0;
3sin²x + sinx cos x = 2cos²x.

Подготовить сообщение об истории развития тригонометрии (2 учащихся).

VII. Подведение итога урока

Задача: систематизировать и обобщить знания учащихся по решению тригонометрических уравнений.

– С какими видами тригонометрических уравнений мы познакомились?
– Какой вид имеют однородные уравнения первой степени, второй степени?
– Как решаются эти уравнения?

Затем отмечается хорошая работа одних, недостаточная работа (активность) других учащихся, выставляются оценки за работу у доски, за устные ответы.

P.S. Не все виды уравнений я рассматриваю с ребятами на уроке, разложение на множители, замена переменной, понижение степеней в ознакомительном плане, более подробно на факультативе.