Особенности подготовки заданий по математике обязательного уровня "В" и уровня "С" ЕГЭ

Задача В8. В нашей работе мы хотели бы обратить особое внимание на задачи В8, т.к. это планиметрические задачи, а изучение планиметрии учащиеся заканчивают в 9 классе. Средне и слабо мотивированные учащиеся часто не берутся решать геометрические задачи, которые вызывают у них больше затруднений и негативное отношение, нежели задачи алгебраические. Решение алгебраических задач для учащихся проще и понятней, т.к. строится на отработанных годами алгоритмах. Задача В8 позволяет нам повторить основные теоремы курса геометрии и подготовить сильно мотивированных учащихся к решению задач С2 и С4. В этой группе представлен ряд задач на соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника, особого внимания заслуживают задачи на соотношение элементов произвольного треугольника. При решении этих задач используются утверждения, которые в курсе геометрии Атанасяна Л.С. сформулированы в виде задач.

Задача 1. Используется свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, а также теорема о сумме острых углов прямоугольного треугольника.

Задача 2. При решении этой задачи можно направить учащихся вопросами:

- зная величину одного угла треугольника, что мы можем узнать?

- зная суму двух оставшихся углов треугольника, что мы можем узнать? каким образом?

Задача 3. Эта задача является частным случаем задачи 2.

Задача 4. Для решения этой задачи рассмотрим четырехугольник ADOE, сумма углов которого равна 360⁰.

Задача 5. Задача решается с использованием определения биссектрисы и суммы острых углов прямоугольного треугольника.

Особое место занимают задачи на нахождение величин вписанных и центральных углов.

Задача 6. Рассмотрим задачу, которую можно решить различными способами и при решении повторить несколько разделов планиметрии.

1 способ. В первом способе решения кроме свойства вписанных углов, опирающихся на одну дугу, используется свойство углов равнобедренного треугольника, который нужно достроить.

ADB = —> ACВ=35.

2 способ. Можно решать, используя свойство вертикальных углов:

AOD = COB, далее рассмотреть равнобедренный треугольник COB.

3 способ. Можно решать, используя свойство смежных углов:

COB = 110—> AOB = 70—> С + В = 70 (по свойству внешнего угла треугольника).

1 способ. Решение опирается на свойство вписанных и центральных углов: “Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу”. Необходимо сориентировать учащихся на дополнительные построения.

2 способ. Определяем длину дуги АС как части длины окружности.

Задача 8. ABC = ABD + DBC;

DBC = CAD (как вписанные углы опирающиеся на одну дугу).

Задача 9. При решении этой задачи используется теорема о вписанном угле и теорема о внешнем угле треугольника.

Слайд 8. Нестандартная задача. Задача на бумаге в клеточку, поэтому нужно сориентировать учащихся, что необходимы дополнительные построения. tg находится как отношение катетов прямоугольного треугольника, которые можно вычислить с помощью клеток. Т.к. ? AOB тупой, то треугольник достраиваем так, чтобы один из его острых углов был смежным с ним. Получаем AOC.

tg BOA = tg AOC = .

Длины катетов можно и не вычислять, т.к. легко увидеть, что они равны.

Значит, tg BOA =

Слайд 9.

Графическая иллюстрация взаимосвязи графика функции с характером ее поведения и значением ее производной.

Задача 1. Стандартная задача, когда по графику функции нужно определить знак производной.

Задача 2 и 3 – пожалуй, самые типичные задачи на производную – определение ее значения в точке касания (касательная дана).

1 способ.Строим касательную. Так как прямая проходит через начало координат, то ее уравнение .

2 способ.Находим из.

Слайд 13. Графическая иллюстрация взаимосвязи графика производной функции с поведением функции. Три типа задач на первообразную функции.

Задача 1. Стандартная задача по определению первообразной функции.

Задача 2. Стандартная задача по определению первообразной функции.

Задача 3. При решении задачи используется геометрический смысл первообразной функции. Разность значений первообразной равна площади криволинейной трапеции, т.е. площади получившейся фигуры.

Задача 4. При решении задачи используется определение первообразной . Если

Следует обратить внимание на точку N. Эта точка не является точкой экстремума для F(x), но она является точкой перегиба и касательная в этой точке параллельна оси OX, т.е.

Хочется обратить внимание на некоторые текстовые задачи.

Слайд 17. В большинстве случаев из-за невнимательности или неправильного прочтения условия задачи, учащиеся, решив верно уравнение или неравенство, неверно записывают ответ.

Пример такой задачи: решив неравенство необходимо выполнить дополнительное действие.

Слайд 19.

Задачи такого типа лучше решать с помощью рисунка, чтобы верно определить расстояние, которое проходит каждый поезд.

Слайд 20.

Еще об одной особенности, с которой сталкиваются учащиеся при решении текстовых задач.

При решении задач с помощью уравнения, приводимого к квадратному уравнению, получаются большие коэффициенты квадратного уравнения и в результате большое значение дискриминанта. Извлечение корня из такого дискриминанта вызывает затруднения у учащихся. Можно показать учащимся, как в таком случае найти корни подбором. Этот способ эффективнее в некоторых случаях.

Скорость велосипедиста колеблется от 10 км/ч до 20 км/ч.

x² – бльшая величина. По формуле заметим, что (т.к. 14² = 196. Возьмем , тогда в левой части получим 140. Не подходит. Далее

Слайд 21. Аналогичная задача на работу. Корень можно определить подбором.

Теперь несколько слов о задачах второй части С1 и С3.

Слайд 24.

Несколько лет С1 была традиционно по теме “Решение тригонометрических уравнений”, выбор корней осуществлялся либо на заданном промежутке либо в соответствии с областью определения. Но уже на прошлом экзамене (вариант досрочного ЕГЭ, а также вариант резервного дня основной волны) в С1 появляется показательное и логарифмическое уравнение, одним из корней которого является логарифм. А выбор корней производится из не самого “удобного” промежутка. Не факт, что на ЕГЭ-2014 мы не встретимся с таким же заданием С1. На наш взгляд достаточно рассмотреть с учащимися решение стандартных уравнений, которое хорошо отрабатывается на уроках, и уделить особое внимание оценке корней.

Слайд 25 – 28.

В последних вариантах ЕГЭ в заданиях С3 одним из неравенств системы является рациональное неравенство. Рассмотрим некоторые приемы его решения.

Решение первого логарифмического неравенства системы стандартное. А вот при решении второго неравенства удобно использовать прием деления многочлена на многочлен “уголком”. Целесообразно отработать этот прием с мотивированными детьми. В школьном курсе алгебры нет ни схемы Горнера, ни теоремы Безу, поэтому учащимся сложно увидеть делится ли один многочлен на другой. А если не делится, то как представить рациональную дробь в виде в виде суммы многочлена и простой рациональной дроби. При этом деление “уголком” нужно связать с темой “Деление с остатком” 5 класса, т.к. алгоритм тотже.