При решении математических задач основной проблемой является понимание условия при чтении текста. Концептуальное понимание, и как следствие, применение процедурных знаний имеет основополагающее значение при решении любой математической проблемы. В статье мы намерены поговорить о ряде вопросов:
– вопрос о форме лингвистического компонента,
а именно об общих языковых особенностях,
включая грамматические структуры в текстовых
задачах;
– вопрос о комплексном подходе с точки зрения
языковых и математических знаний как ресурсе для
успешного изучения математики;
– вопрос об использовании языковых особенностей
и языковых сигналов для успешного решения
математических задач и понимания
математического материала (теории) в целом.
Благодаря статистическим исследованиям, было установлено, что учащиеся где-то на 30% хуже понимают задание, сформулированное в словесной форме, чем в математической. В ходе исследования было обнаружено, что 92% понимали, как им казалось, условие задачи, вычленяли, что спрашивается (определение неизвестной компоненты), однако, только 36% знали как работать дальше.
В ходе опроса, проводимого в школах, 80% учителей математики назвали областью трудности в обучении решению текстовых задач тот момент, когда в процессе решения необходимо выстроить алгоритм решения или внутреннюю словесную инструкцию. Существующие исследования показали, что неспособность решать текстовую задачу не обязательно является результатом отсутствия у учащихся математических знаний или развитого интеллекта, а скорее, есть следствие неспособности учащихся расшифровать и интерпретировать информацию из «языковой», текстовой формы в верные необходимые математические понятия и выражения. Практика показала, что как только задача переведена из текстового формата на язык математических символов: выражение, схема, уравнение или система уравнений, то подавляющее число учащихся (88%) справились с ней успешно.
Школьники, хорошо подготовленные арифметически и легко справляющиеся со стандартными, типичными заданиями по алгоритму, могут так же столкнуться с трудностями при решении текстовых задач, описанными выше. Тем не менее, учащиеся, испытывающие затруднения при выполнении стандартных заданий по алгоритму и слабые в арифметических операциях, но грамотно умеющие работать с текстом, обладающие коммуникативной компетентностью, могут превзойти сильных учеников при решении текстовых задач.
Многочисленные исследования были проведены с целью изучения взаимосвязи между языковой компетентностью и математическим пониманием: Нешер и Катриел 1986 год, Климан и Янсен 1996 год, Wakefield 2000 год. Ученые пришли к выводу, что уровень успеваемости в школе и университете по математике прямопропорционален уровню языковой компетентности учащегося. Эффективное применение в математике металингвистической информированности и умения грамотно работать с текстом снимает трудности при решении математических задач. Высокий уровень коммуникативной компетентности учащихся влечет высокий уровень успеваемости не только по предметам математического цикла, но и по все другим дисциплинам в целом.
В свете вышеизложенного, для учителя математики можно сформулировать ряд основных направлений и задач:
– сделать явными виды языка, которые
используются для истолкования технического
значения математики;
– показать стандартные грамматические
структуры, применяемые в математике;
– научить идентифицировать устные и письменные
жанры, а так же привить навыки работы с ними;
– сосредоточить внимание на важных вопросах
структуры математического текста и языка.
Преподавателю математики необходимо сформировать так называемые «языковые сигналы» как ресурс для понимания материала учащимися. Под языковым сигналом мы понимаем некую устойчивую текстовую конструкцию, которая стандартно транслируется на язык математики. Например, текст: «Расстояние между городами А и В S км. Одновременно на встречу друг другу из этих городов вышли два поезда. Через некоторое время они встретились между этими городами. Первый поезд прошел до встречи S1 км, а второй – S2 км» транслируется на язык математики как «S1+S2=S» . В центре внимания встает вопрос о форме подачи материала, она должна быть достаточно «прозрачной» для учащихся, чтобы они смогли сознательно использовать «языковые сигналы» как инструмент для осмысленных и успешных решений. Этот процесс означает, что решение базируется на 2-х уровнях. Во-первых, ученик использует основные «языковые сигналы» в качестве ресурса для осмысления проблемы в тексте задачи (ее концептуальное понимание) для ее дальнейшего решения. Во-вторых, используется языковая функция, чтобы выяснить, чего не хватает в существующих знаниях, для того, чтобы подобрать, пересмотреть необходимую математическую модель или построить новую математическую модель для решения данной задачи. Чтение условия и решение текстовых задач связано как с использованием языка, так и с применением математических знаний. Обе составляющих: и языковая, и математическая, играют главную роль в обучении математике.
Понимание текста задачи является психическим процессом, который использует «два источника информации: сам текст и знание – знание языка, а так же знание о мире в математическом аспекте» (Kintsch, 1988 год). Таким образом, для изучения проблемы понимания и осмысления текста, мы должны в перспективе, опираться на языковые и математические знания на основе комплексного подхода. С функционально-лингвистической точки зрения для осознания в процессе решения задачи необходимо «думать вслух». Для качественного осуществления процесса «думать вслух» можно предложить ряд вопросов, на которые учащиеся должны самостоятельно ответить в развернутом виде.
Вопросы для процесса «думать вслух»:
1. В чем заключается проблема решаемой задачи?
Что надо узнать? (Оценка, выбор)
2. Какова концепция задачи? (Понимание
сюжета задачи). Что предусмотрено
соответствующей информацией, что нам известно из
предложенного текста? (Описание)
3. Какие понятия, связанные с соответствующей
информацией, необходимы для решения задачи? (Классификация)
4. Каковы общие правила (алгоритмы), которым
надо следовать в данных условиях, для вовлечения
используемых в задаче понятий и участвующих в
ней компонентов? (Методы, способы решений,
алгоритмы действий)
5. Каковы логические шаги, которые необходимо
предпринять, с учетом общих правил, и следовать
им в соответствии с предусмотренной информацией?
(Последовательность действий)
6. Какое же будет решение в результате
вышеуказанных процедур? (Выбор)
7. Как я могу обосновать выбор способа
решения? Верно ли я решил? (Оценка)
Итак, для того, чтобы решить задачу, нужно:
- Определить ее тип (классификация); выделить особенности данной задачи (описание).
- Зать принцип (алгоритм) решения задач такого рода, быть знакомым с конкретными этапными шагами и следовать им (последовательность).
- Оценка вариантов методов и решений, с целью выбора правильных и рациональных (оценка).
Ход процесса решения
- Определить соответствующую концепцию задачи и выделить участвующие в ней различные компоненты, напрямую или косвенно описанные в данной задаче.
- Определить общие правила для решения таких задач и наметить конкретные действия, которые следует предпринять для решения данной задачи.
- Осуществить само решение и его обоснование.
При решении текстовых задач концептуальное понимание имеет решающее значение. Например, понимание концепции (понятия) «сумма» приводит к выбору процедурных знаний, необходимых для сложения (вычитания). Хотя, как было показано выше, сам текст обычно не уточняет, какие понятия участвуют или будут необходимы для решения. Языковые ресурсы, используемые для построения словесного текста, дают ключи, так называемые «языковые сигналы», которые помогают понять концепцию задачи. Следующие примеры показывают, как «языковые сигналы», расположенные в словесном тексте, могут дать ключ к пониманию концепции задачи и ее дальнейшему решению.
Задача 1.
Цена одного литра бензина 32 рубля. В первом случае расход бензина составлял 1 литр на 15 км, а во втором – 1 литр на 10 км. В каждом случае произошло увеличение пробега на 10 км. Найдите необходимое количество литров бензина для покрытия расстояние в 300 км и сравните экономию стоимости пробега в обоих случаях.
Заметим, что задача практического свойства, тесно связанная с повседневной жизнью, и с точки зрения математики – абсолютно простейшая, решаемая арифметически. Но какие затруднения она вызывает у большинства учащихся в связи с непониманием текста условия и, как следствие, непониманием самой концепции задачи.
В ходе процесса «думать вслух» учащиеся, отвечая на предложенные вопросы и направляемые учителем, должны прийти к следующим выводам:
1. Необходимо в обоих случаях узнать количество литров бензина, потраченное на весь путь, до и после увеличения пробега. А так же стоимость этого количества бензина в каждом из случаев. И только после этого надо искать экономию стоимости пробега, как разность двух величин. Зная экономию стоимости пробега в обоих случаях, осуществить сравнение этих двух величин и сделать вывод, подразумевающий окончательный ответ.
2. Информация, почерпнутая из текста, позволяет пошагово полностью ответить на все вопросы задачи. В описании не предусмотрено двоякого понимания концепции задачи.
3. Задача классифицируется как задача смешанного типа: здесь и элементы задачи на движении, и элементы задачи на связь цены и стоимости, а так же легкий шлейф задачи экономического профиля. Определим и конкретизируем понятия участвующие в тексте задачи, акцентируя внимание учащихся на присутствующие «языковые сигналы».
«Стоимость пробега»– деньги необходимые
для всего пробега (поездки).
«Увеличение пробега на» – дополнительные
километры, которые можно проехать, используя
такое же количество бензина.
«Экономия стоимости пробега»– деньги,
сэкономленные за счет увеличения пробега при
расходе такого же количества бензина; «языковой
сигнал», обозначающий раз
«Покрыть расстояние» – проехать
расстояние, составляющее определенное
количество километров.
«Необходимое количество литров для покрытия
расстояния» – общее количество бензина,
потраченного на весь путь.
«Увеличение на» – это «языковой сигнал»,
говорящий о необходимости применения
действия сложения.
« 1 литр на Х км» – на каждый отрезок пути длиной Х
км мы расходуем 1 литр бензина.
4. и 5. Объединим эти пункты и предложим логические шаги, которые необходимо осуществить, в соответствии с предложенной в условии информацией. И как следствие, составим алгоритм решения (один из возможных).
1) Найти количество километров на 1 литр бензина
после увеличения пробега в первом случае.
2) Найти количество километров на 1 литр бензина
после увеличения пробега во втором случае.
3) Найти сколько раз отрезок длиной 15 км
«укладывается» на отрезке длиной 300 км.
4) Найти сколько раз отрезок длиной 25 км
«укладывается» на отрезке длиной 300 км.
5) Найти стоимость пробега в первом случае до его
увеличения из расчета на 1 литр бензина, с учетом
того, что стоимость пробега одного такого
участка составляет 32 рубля, а общее количество
участков найдено в предыдущем действии.
(Осуществить умножение величин, обозначающих
количество участков и стоимость пробега
одного такого участка.)
6) Найти стоимость пробега в первом случае после
его увеличения из расчета на 1 литр бензина, с
учетом того, что стоимость пробега одного
такого участка составляет 32 рубля, а общее
количество участков найдено в предыдущем
действии. (Осуществить умножение величин,
обозначающих количество участков и стоимость
пробега одного такого участка.)
7) Найти экономию стоимости пробега в 1-м случае.
8) Найти сколько раз отрезок длиной 10 км
«укладывается» на отрезке длиной 300 км.
9) Найти сколько раз отрезок длиной 20 км
«укладывается» на отрезке длиной 300 км.
10) Найти стоимость пробега во втором случае до
его увеличения из расчета на 1 литр бензина, с
учетом того, что стоимость пробега одного
такого участка составляет 32 рубля, а общее
количество участков найдено в предыдущем
действии. (Осуществить умножение величин,
обозначающих количество участков и
стоимость пробега одного такого
участка.)
11) Найти стоимость пробега во втором случае после
его увеличения из расчета на 1 литр бензина, с
учетом того, что стоимость пробега одного
такого участка составляет 32 рубля, а общее
количество участков найдено в предыдущем
действии. (Осуществить умножение величин,
обозначающих количество участков и
стоимость пробега одного такого участка.)
12) Найти экономию стоимости пробега во 2-м случае.
13) Сравнить экономию стоимости пробега в 1-ом и
2-ом случаях. Сделать вывод.
6. Осуществить решение по действиям или с помощью выражения в соответствии с выбранным алгоритмом.
7. После того как решение будет зафиксировано, проверить верно ли оно. Попробовать обосновать свой выбор с точки зрения рациональности и понятности.
Рассмотрим два способа оформления решения.
1-ый способ (по действиям)
1) 15 + 10 = 25(км) – количество километров на 1 литр
бензина после увеличения пробега в первом
случае
2) 10 + 10 = 20(км) – количество километров на 1 литр
бензина после увеличения пробега во
втором случае
3) 300 : 15 = 20 (раз) – количество отрезков длиной 15 км
укладывающихся на отрезке длиной 300 км
4) 300 : 25 = 12 (раз) – количество отрезков длиной 25 км
укладывающихся на отрезке длиной 300 км
5) 20 • 32 = 640 (руб.) – стоимость пробега в первом
случае до его увеличения из расчета на 1 литр
бензина
6) 12 • 32 = 384 (руб.) – стоимость пробега в первом
случае после его увеличения из расчета на 1 литр
бензина
7) 640 – 384 = 256 (руб.) – экономия стоимости пробега в
первом случае
8) 300 : 10 = 30 (км) – количество отрезков длиной 10 км
укладывающихся на отрезке длиной 300 км
9) 300 : 20 = 15 (км) – количество отрезков длиной 20 км
укладывающихся на отрезке длиной 300 км
10) 30 • 32 = 960 (руб.) – стоимость пробега во втором
случае до его увеличения из расчета на 1 литр
бензина
11) 15 • 32 = 480 (руб.) – стоимость пробега во втором
случае после его увеличения из расчета на 1 литр
бензина
12) 960 – 480 = 480 (руб.) – экономия стоимости пробега
во втором случае
13) 480 – 256 = 224 (руб.) – настолько экономия стоимости
пробега во втором случае превышает экономию
стоимости пробега в первом случае.
2-ой способ (выражением)
(300 : 10 – (300 : (10 + 10))) – ((300 : 15) – (300 : (15 + 10))) • 32;
Задача 2
В один из дней краеведческий музей собрал 67.360 рублей, приняв всего 321-го посетителя, среди которых были и взрослые и дети. Цена входного билета для взрослых составляет 240 рублей, а плата за вход ребенка – 160 рублей. Сколько взрослых и сколько детей посетили музей в этот день?
Лингвистические термины в тексте данной задачи должны быть правильно транслированы в математические понятия для решения задачи. Учитель должен привлечь внимание учащихся к нахождению «языковых сигналов» и выявлению соответствующих понятий, так как детям зачастую очень сложно перевести словесные подсказки в полезные математические идеи и понятия и увидеть, где «закодирована» неизвестная переменная, с чем она связана, и как в дальнейшем можно интерпретировать текст в математическую модель. На языке математики неизвестное число – это переменная, как правило, явно в тексте не выраженная. Переменная в концептуальном понимании – это неизвестная величина, способная принимать любое значение из допустимого множества значений, и обозначающаяся, как правило, с помощью букв алфавита или других графических символов.
Особое внимание должно быть уделено концептуальному пониманию задачи.
Необходимо выделить две номинальные группы: дети и взрослые, и установить количественные связи между этими двумя группами. Стоит отметить, что количество членов в каждой номинальной группе неизвестно, то есть возникают две неизвестные переменные. Но учитывая, «языковой сигнал» о том, что всего посетителей было 321 человек, понять, что речь идет о сумме величин и сделать следующий вывод: количество взрослых + количество детей = 321. Таким образом, мы сужаем круг неизвестных переменных до одной: принимаем количество взрослых посетителей за Х, и, пользуясь выкладкой Х + количество детей = 321, выражаем количество детей как (321 – Х).
Так же требуется вычленить цену входного билета для представителя каждой группы (взрослые и дети). Стоит заметить, «цена входного билета для взрослых» и «плата за вход для ребенка» на самом деле не являются математическими понятиями, но являются понятиями, связанными с «общей стоимостью» составляющей 67.360 рублей. Следует подвести учащихся к выводу о том, что общая стоимость есть сумма двух величин, каждая из которых есть сумма, оплаченная за билеты каждой номинальной группой. Встает вопрос о том, как найти общую стоимость, оплаченную каждой группой. Учитывая цену взрослого билета (240 рублей) и общее количество взрослых (Х человек), понимаем, что общая стоимость входных билетов группы взрослых находится посредством умножения и составляет 240 • Х рублей. Аналогично получаем, что общая стоимость входных билетов группы детей так же находится посредством умножения и составляет 160 • (321 – Х) рублей.
На основании умозаключения « общая стоимость «взрослых билетов»+ общая стоимость «детских билетов»=общая стоимость всех билетов», составляем уравнение, являющееся математической интерпретацией данной текстовой задачи:
240 • Х + 160 • (321 – Х) = 67.360;
240 • Х + 160 • 321 – 160 • Х = 67.360;
80 • Х + 51.360 = 67.360;
80 • Х = 67.360 – 51.360;
80 • Х = 16.000;
Х = 16.000 : 80;
Х = 200.
В качестве неизвестной переменной мы выбрали количество взрослых посетителей. Значит, пользуясь формулой количество детей=321 – Х, находим количество детей, посетивших музей в этот день. Таким образом, в музее в этот день было 200 взрослых посетителей и 121 ребенок.
Резюмируя вышесказанное, хотелось бы отметить, что для успешного решения текстовых задач учащимися, учителю необходимо акцентировать свое внимание на трех базовых моментах:
– активация предварительных
общематематических знаний и базовых стандартных
умений и навыков у учащихся;
– формирование и дальнейшее развитие умения
работы с текстом у школьников с целью поиска
«языковых сигналов», как ключей для перевода
слов на язык математики;
– обучение построению математической модели,
позволяющей верно решить задачу, основываясь на
математических понятиях, терминах, связях и
зависимостях, интерпретированных из текста при
помощи «языковых сигналов».