Цель урока: закрепить умение исследовать тригонометрические функции по общей схеме, научить строить графики тригонометрических функций используя метод преобразования «стандартных графиков тригонометрических функций».
Ход урока
I. Актуализация знаний учащихся
На предыдущем уроке мы изучили схему, по которой исследуются функции. Повторим её с некоторыми пояснениями и примерами.
| 1. Область определения D(f). | Это те значения х при которых функция определена, т.е. имеет смысл. Например, для функции у =  , х может принимать любые значения от 0 до +  D(f)= [0; + ); для функции у=  D(f)= (–  ; 0) (0; + ) |
| 2. Область значений функции Е(f). | Это значения, которые принимает у. Например, для функции у=  у принимает значения от 0 до + т.е. Е(f)=[0; +  ); для функции у=  Е(f)= (–  ; 0) (0; + )Метод нахождения Е(f) доступно изложен в [1] на стр.79 – 83. |
| 3. Чётность – нечётность функции. | Чётная функция: f (–х) = f (х); график симметричен относительно оси Оу (осевая симметрия). Примеры чётных функций: у =  ; у =  Нечётная функция: f (–х) = – f (х); график симметричен относительно точки О (центральная симметрия) Примеры нечётных функций: у=  ; у =  ; у =  ; у = tg х; у = сtg ху=  – не является ни чётной, ни нечётной |
| 4. Периодическая – непериодическая функция. | Этот пункт, как правило, для тригонометрических функций. Но бывают функции, которые не тригонометрические, но при этом периодические: например функция у =  .  – дробная часть числа.Эта функция не тригонометрическая, но периодическая, с Т = 1. Если функция периодическая, то надо указать наименьший положительный период (н.п.п.) для данной функции. У функций синус, косинус н.п.п. 2π . У функций тангенс, котангенс н.п.п. π. Чтобы найти н.п.п. нужно: «стандартный н.п.п.» аналогичной функции разделить на коэффициент, стоящий перед иксом. Примеры: у =  н.п.п. =  = πу =  н.п.п. =  = 4πу = tg3х н.п.п. =  |
| 5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох. | f (x)=0 при x = … Если точек пересечения нет, как например для у=  , то так и пишут: точек пересечения с осью Ох нет. |
| 6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу. | f (0)=… При выполнении пунктов 5 и 6 для квадратичной функции проще сразу построить график (см. «основные точки параболы») и по нему исследовать функцию. |
| 7. Промежутки, на которых функция принимает положительные значения. | Та часть графика которая расположена над осью Ох. f(x) > 0 при х  …Обратите внимание: f(x) строго > 0, т.е. точка лежащая на оси Ох не включается. |
| 8. Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения. | f(x) < 0 при х  … Часть графика расположенная под осью Ох.(строго меньше нуля) |
| 9. Промежутки возрастания. |
А вот здесь точка, где функция начинает (или перестаёт) возрастать, включается. f(x)  при х  […;…], или х  […;+ ), или х  (–  ;…]В общем, бывают разные варианты, главное точку максимума или минимума включать. |
| 10. Промежутки убывания. | f(x)  при х  …Аналогично п.9. |
| 11. Точки минимума. |
 = …Точек минимума может быть несколько! Указываем все. |
| 12. Минимумы функции. | f(…)=…– минимум функции |
| 13. Точки максимума. |
 = …Точек максимума также может быть несколько. |
| 14. Максимумы функции. | f(…)=…– максимум функции |
| 15. Построение графика. | Необходимо уметь преобразовывать графики, особенно если дана тригонометрическая функция. |
Квадратичная функция y = ax²+bx+c . Основные точки параболы.
- Вершина параболы x =
y = 
+ c 1 - Точка лежащая на оси ОУ (0;с) 2
- Точка симметричная ей (
;с) 3 - Точки лежащие на оси ОХ
a>0 – ветви вверх
a<0 – ветви вниз
(х₁;0) х₁= |
(х₂;0) х₂= |
4 
5 II. Проверка домашнего задания
№ 95(г) Исследуйте функцию f(x) = 
– 3х + 2 и постройте её график.
*Исследование представлено в виде таблицы с пояснением.
| Оформление в тетради | Пояснение | |
| 1 | D(f) =  |
Икс может принимать любые значения от –  до +  |
| 2 | Е(f) = (–  ; +  ) |
Как определить Е(f), не строя график функции и не находя вершину параболы? Для этого преобразуем:  – 3х + 2 =  – 2·1,5х + 2,25 – 0,25 ==  – 0,25 Теперь видно, что функция принимаетзначения от –  до +  . |
| 3 | Ни чётная, ни нечётная. | Т.к. не выполняется ни f (–х) = f (х); ни f (–х) = – f (х). Если же Вы сразу построили график, то видно, что он не симметричен ни относительно оси Ох, ни относительно начала координат – точки О. |
| 4 | Непериодическая. | |
| 5 | f (x)=0 при x = 1 и х = 2 (1;0) и (2;0) | |
| 6 | f (0)=2 (0;2) |
Т.е. мы уже нашли три «основные точки» параболы, а всего их пять. (См. квадратичная функция – основные точки параболы.) Чтобы было легче выполнять следующие пункты, можно уже построить параболу, хотя бы на черновике. |
| 7 | f (x) 0при x  (– ;1) (2;+ ) |
Ещё раз обращаю Ваше внимание, что точки 1 и 2 не включаем, т.к. указываем промежутки, где f (x) строго больше нуля. |
| 8 | f (x) 0 при x  (1; 2) |
|
| 9 | f (x)  при x  [ 1,5 ; + ) |
Точку, где функция начинает возрастать – включаем. |
| 10 | f (x)  при x  (– ;1,5] |
|
| 11 |  = 1,5 |
|
| 12 | f (1,5) = –  – минимум функции |
|
| 13 | Точек максимума нет. | |
| 14 | Максимумов функции нет. | |
| 15 | График функции. | Находим ещё две «основные точки» параболы (три мы уже нашли). Вершина параболы (1,5; – 0,25) . Точка симметричная точке (0;2) относительно оси параболы – (3;2). |
III. Просмотр презентации «преобразования графиков»
IV. Закрепление изученного материала
№ 113 (а) Исследуйте функцию f(x) = 
и постройте её график.
V. Подведение итогов урока
Литература:
- Алгебра. Учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики. Под редакцией Н.Я. Виленкина
- Пособие по математике для поступающих в вузы. Г.В.Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов, 1970.