Отбор корней тригонометрических уравнений с заданными условиями

Цели:

• Обобщение, углубление решений тригонометрических уравнений с отбором  корней с заданными условиями, тригонометрических преобразований.
• Развитие логики, мышления, памяти, алгоритмизации.
• Воспитание самостоятельности, самокритичности и критичности, сознательности.

План урока.

1. Орг момент
2. Актуализация знаний учащихся.
3. Исторические сведения
4. Решения с комментариями. Обобщение методов решений
5. Подведение итогов
6. Домашнее задание
7. Выставление
8. Выводы

Оборудование: индивидуальные карточки,  таблица ответов, таблица заданий, компьютер и интерактивная доска, портрет, доска, карточки с домашней работой.

ХОД УРОКА

I.  До урока проверяется домашнее задание.

II. Оргмомент (объявляется тема урока, ставит учитель цели на урок и краткий план урока)

Запишем число и тему урока «Отбор корней тригонометрических уравнений с заданными условиями».
Итак, сегодня на уроке, мы вспомним формулы тригонометрических преобразований, решение простейших тригонометрических уравнений, различные методы тригонометрических уравнений и целью нашего урока является решать тригонометрические уравнения с условиями. Но а пока посчитаем устно

III. Актуализация знаний учащихся

Игра «Морской бой» (устный счет)

На каждой парте лист с заданиями:

Продолжение  Приложение 1 слайды 2-4

Таблица ответов:

Правильный ответ помечается: о
Неверный ответ: х
Если учащийся набрал 4 правильных ответа – 5
Если же ошибается, то учащийся больше не отвечает.
В это время более сильные учащиеся выполняют задания по карточкам.

При решении тригонометрических уравнений следует учесть, что не существует единого метода их решения (как, например, для квадратных уравнений). Такие уравнения решают с помощью тождественных преобразований, сводящих к одному или нескольким простейшим уравнениям. За этими карточками спрятан портрет ученого математика. Чтобы увидеть картину, вам необходимо найти соответствие. Я называю формулу вы должны указать номер, который соответствует данной формуле. Приложение 1 слайд 5

1) cos(a + b)
2) sina+sinb 
3) cosa – cosb 
4) sin(a–b) 
5) cos2a 
6)  
7) sin2a 
8) cosx*cosy 
9) cosa+cosb 
10) tg 2a 
11) sinx*cosy 
12)

Исторические сведения.

Итак, это ученый Леонард Эйлер. (Приложение 1 слайд 6) Он принадлежит к числу гениев, чье творчество стало достоянием всего человечества. Современный вид тригонометрии придал Эйлер. Именно он первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества.

Имя Эйлера дорого всему прогрессивному человечеству, которое чтит в нём одного из величайших геометров мира. В качестве члена Петербургской и Берлинской Академий наук Эйлер содействовал развитию математических наук в обеих странах и распространению в них физико-математических знаний.
Леонард Эйлер был избран академиком (и почётным академиком) в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.
Он был, прежде всего, математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность.

IV. Решение уравнения с комментариями. Обобщение

Тригонометрические уравнения обычно имеют бесконечные серии решений, задаваемые с помощью параметра, принимающего целые значения. И сегодня на уроке мы решим тригонометрические уравнения с выбором корней на заданные  условия.
Вспомним некоторые методы решения тригонометрических уравнений.

Даны уравнения:

;
;
;
4sin²x + 2sinxcosx + 4cos²x = 3;

2sin²x – 5cosx – 5 = 0

Найдите соответствия, указав стрелками.

Решите их, отбирая корни, учитывая условия.

1) Решите уравнение 2sin²x – 5cosx – 5 = 0, в ответе укажите значение 5(tgx₀ + 4), где х₀ – наименьший положительный корень.

Решение.

Ответ: 20

– А у вас с чем  ассоциируется это число? (20 лет принятия конституции РФ)

2) Решить уравнение . Найти сумму корней принадлежащих промежутку

Решение.

Корни, принадлежащие промежутку

Их сумма равна 0.

Ответ: 0
3) Решите уравнение , найдите модуль разности корней принадлежащих промежутку

Решение.

Обе части уравнения разделю на

Корни уравнения, принадлежащие промежутку

Ответ:

4) Решите уравнение 4sin²x + 2sinxcosx+4cos²x = 3. Найдите значение cosx₀ – sinx₀, где х₀ – корень принадлежащий промежутку

Решение.

4sin²x + 2sinxcosx + 4cos²x = 3cos²x + 3sin²x,
sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 0

Корень, принадлежащий промежутку

5)Решить уравнение , найдите отношение большего корня к меньшему принадлежащих промежутку

Ответ: 3.

V.   Подведение итогов:

Домашнее задание: ДКР (2 варианта)

Выставление оценок:  За устную работу, за карточки, за решение уравнений, за дополнение.

Учащиеся делают выводы. Обобщают методы решения тригонометрических уравнений.

Литература:

1. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб.для 10-11 кл. сред. Шк. – М.: Просвещение, 1991.
2. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 10 кл.: Учеб.пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики – 12-е изд., М.: Мнемозина, 2011.
3. Денищева Л.О., Корешкова Т.А. Алгебра и начала анализа 10-11 классы Тематические зачеты и тесты. М.: Мнемозина, 2005.
4. Математика в школе 1991.
5. Модркович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Задачник для общеобраз. учреждений (профильный уровень) – 8-е изд. – М.:Мнемозина, 2011.
6. Модркович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Учеб для общеобраз. учреждений (профильный уровень). – 8-е изд. – М.: Мнемозина, 2011.
7. Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. Учпедгид. – М.: 1956.
8. Сборник задач по математике для подготовки к вступительным экзаменам Уфимского Государственного нефтяного технического университета. Уфа – 2012.