Разработка проекта "Путешествие по Неве". 8-й класс

Цель и задачи разработки проекта

Цель: освоить тему "Прямые на плоскости"

Задачи:

• Научить составлять уравнение прямой на плоскости по координатам двух её точек;
• Научить определять координаты точки пересечения двух прямых на плоскости;
• Повторить тему "Координаты на плоскости";
• Научить применять полученные знания при решении практических задач;
• Научить составлять математическую модель процесса;
• Развивать у учащихся умение работать в команде;
• Развивать у детей творческие способности

План разработки Проекта

1. Подготовительная работа
2. Разработка проекта
3. Презентация проекта

Выполнение Проекта

Проект "Путешествие по Неве

Введение

Нева - важная транспортная артерия, соединяющая Балтийское море с Ладожским озером, а через него с разветвлённой системой каналов и рек европейской части России, с Белым, Чёрным, Азовским и Каспийским морями. Нева связывает Петербург с крупнейшими городами России и Украины, промышленными, культурными, историческими центрами: Москвой, Великим Новгородом, Киевом, Ростовом-на-Дону, Мурманском, Архангельском, городами Поволжья, Приднепровья, Причерноморья.

Грузоперевозки водным транспортом являются самым дешёвым видом транспортировки грузов. Ежедневно в период летней навигации сотни транспортных судов проходят по Неве от устья до истока и обратно, перевозя тысячи тонн грузов. Живописные берега Невы, острова Ладожского и Онежского озёр влекут ежедневно сотни туристов к водному путешествию по Неве.

Для нас, петербуржцев, всё, что связано с Невой имеет особое значение и вызывает огромный интерес. Поэтому объектом исследования настоящего проекта выбрана река Нева.

Нева широка и полноводна. Однако путешествие по ней небезопасно и без обязательного выполнения требований специальных навигационных знаков может привести к катастрофе. Фарватер реки имеет огромное количество поворотов, некоторые из которых - до 90°, встречаются стремнины, когда судно прижимает к одному из берегов, и даже пороги.

Речные навигационные службы используют разнообразные навигационные знаки, обеспечивающие безопасность судовождения, в том числе и во встречных направлениях, постоянно поддерживая их исправность. Капитаны судов, безусловно, следуют указаниям этих знаков. На наиболее сложных участках запрещено движение судов без привлечения специально подготовленных местных специалистов - лоцманов.

Ход судна по реке, трасса его движения разбивается на участки прямолинейного движения и участки маневрирования, поворотов, движения по кривым. Трасса выстраивается вдоль фарватера реки так, чтобы судно не приближалось на опасное расстояние к препятствиям, берегу, гидротехническим сооружениям, порогам и т.д. с учётом течения реки в этом месте.

Построение трассы - сложная навигационная задача, требующая обработки огромного количества исходной информации, постоянного контроля и коррекции в зависимости от текущей гидрологической обстановки.

Цель настоящего проекта - прежде всего, учебная. Поэтому, мы абстрагируемся от множества факторов, влияющих на результат прокладки хода судна по реке. Для решения задачи используется математическая модель реки, учитывающая лишь контуры берегов.

В качестве объекта моделирования выбран участок реки Невы от её истока у острова Орешек до посёлка Рабочий, где Нева входит в город Санкт-Петербург с его труднопроходимыми многочисленными мостами.

В результате проекта должны быть получены (в условной прямоугольной географической системе координат) уравнения прямых участков хода судна и точек смены курса (поворота) как координаты точек пересечения этих прямых. На выбранном участке Невы может быть построено 25 прямолинейных участков хода судна и 25 точек поворота.

Проект разрабатывался учащимися 8 в класса ГБОУ Гимназия № 587 под руководством учителя математики гимназии Любавской В.М. Разработка проекта предусматривала разные формы работы учеников: индивидуально, по парам, в группах, в классе.

В ходе выполнения проекта учениками были подготовлены 2 доклада:

• "Фарватер и речные навигационные знаки";
• "Математическое сопровождение проекта"

и компьютерная презентация.

Проект и доклады были представлены учениками в интерактивном режиме и обсуждёны на открытом уроке математики.

Наименование, цель и задачи проекта

Наименование проекта - "Путешествие по Неве".

Цель проекта - определение параметров судового хода по реке Нева: положения прямолинейных участков и координат точек поворота судна.

Задачи проекта:

• построение математической модели судового хода на исследуемом участке реки;
• определение уравнений прямолинейных участков трассы;
• определение координат точек поворота судна.

Формирование исходных данных проекта

Объект исследований - река Нева на участке от истока (остров Орешек) до входа в город Санкт-Петербург (посёлок Рабочий) <Рисунок1>.

Рисунок 1

Система координат - условная географическая прямоугольная, ориентированная по сторонам света (х - на восток, у - на север). Начало системы координат выбрано произвольно так, чтобы весь исследуемый участок лежал в первом квадранте.

Значение величин х и у, координатная сетка: единичный отрезок по осям х и у равен 1 км, цена деления координатной сетки - 0,5 км (для более точного определения координат точек).

Рабочие участки: исследуемый участок Невы занимает пространство 36 километров по оси х и 27 километров по оси у. Он разбит на 5 рабочих участков приблизительно с одинаковым количеством поворотов и с координатами по оси х. Выбранные границы рабочих участков приведены в Таблице 1 (Приложение 1):

Начальная и конечная точки маршрута: начальная и конечная точки маршрута приведены в Таблице 2 (Приложение1).

Математическое обоснование проекта (доклад ученика)

I. Уравнение прямой на плоскости

Пусть даны две точки на плоскости А(х_А; у_А), В(х_В; у_В).

Выведем уравнение прямой, проходящей через эти две точки.

Уравнение прямой в общем виде:

(1)

Подставим в это уравнение вместо х и у координаты сначала точки А, а затем точки В и получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными а и b:

(2)

Вычтем из первого уравнения второе и получим:

(3)

Откуда:

(4)

Подставляя это значение a в одно из уравнений системы, найдём значение b.

Например, из первого уравнения получим:

(5)

Подставим полученные значения a (4) и b (5) в уравнение, записанное в общем виде (1) и получим уравнение прямой, проходящей через данные точки А(х_А; у_А) и В(х_В; у_В)

II. Координаты точки пересечения двух прямых

Теперь будем искать координаты точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями:

(6)

и

(7).

Для этого составим систему уравнений и решим её:

Решение системы уравнений (8) - найденные значения х (11) и у (12) и являются искомыми координатами точки пересечения данных прямых (6) и (7).

Выполнение проекта

Для выполнения проекта весь класс был разбит на рабочие группы по 4 человека в каждой. За каждой группой был закреплён один из участков русла Невы. Все группы выполняли однотипные задания.

1. Начиная с исходной для каждого участка точки, последовательно строились прямолинейные отрезки трассы максимально возможной длины, обеспечивающие безопасное движение судна по реке. Для первого участка начальной точкой является точка, заданная в Таблице 2(Приложение 1). Для каждого последующего участка начальной является конечная точка маршрута предыдущего участка. Координаты этой точки согласовываются бригадирами соответствующих групп. Конечной точкой последнего участка является точка, заданная в Таблице 2 (Приложение 1).
2. На каждом прямолинейном участке трассы выбираются 2 точки, лежащих в узлах координатной сетки (для более точного определения их координат). По координатам выбранных точек по формуле (1)составляется уравнение прямой, на которой лежит этот прямолинейный участок.
3. Для каждых двух соседних прямолинейных участков по формулам (11) и (12) находим координаты точек пересечения прямых, то есть точек смены курса судна.
4. Результаты работы заносятся в итоговую Таблицу 3 (Приложение 1).

Результат

Результаты работы представлены в Таблице 3 (Приложение 1). Для каждого рабочего участка карты найдены четыре прямолинейных участка трассы. Для каждого прямолинейного участка трассы в таблицу внесены координаты х и у двух точек (А и В) пересечения прямых, на которых лежат эти участки трассы, с координатной сеткой (столбцы 2-5). В столбце 6 приводится найденное расчётным путём уравнение прямой на которой лежит прямолинейный участок трассы. В столбце 7 и 8 представлены рассчитанные по приведённым выше формулам координаты точки пересечения (С) двух соседних прямолинейных участков трасс, то есть точки поворота судна. Результаты построения для каждого участка представлены также на рисунках <Рисунок2>, <Рисунок3>, <Рисунок4>, <Рисунок5>, <Рисунок6>.

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6

Выводы

1. Исследован участок Невы от острова Орешек до посёлка Рабочий.
2. Построена математическая модель рациональной трассы движения судна по Неве в выбранной системе координат.
3. На исследуемом участке 20 последовательных прямолинейных участков трассы движения судна.
4. Определены уравнения прямых, которым принадлежат эти участки трассы.
5. Определены координаты точек пересечения соседних прямолинейных участков трассы.
6. Полученная математическая модель может быть использована при построении реальной трассы движения судов по Неве.
7. Уравнения прямых могут быть использованы для определения безопасного курса движения судов, установки навигационных знаков.
8. Полученные точки пересечения прямолинейных участков определяют координаты точки поворота (маневрирования) судна и также могут использоваться для постановки навигационных знаков.
9. Использованная методика расчётного определения точек поворота судна может дать более высокую точность, чем графический (по карте) метод определения координат этих точек.
10. Полученные результаты оформлены в виде отчёта и презентации.

Обучающие результаты ученического проекта

В ходе выполнения проекта учащиеся:

• усвоили тему "Прямые на плоскости";
• научились находить уравнение прямой по двум точкам, вычислять координаты точки пересечения двух прямых;
• получили теоретическое представление и практические навыки выполнения учебно-теоретического проекта;
• учились искать и выбирать нужную литературу и фотографии для оформления наглядной части проекта;
• научились работать в команде;
• развивали умение самооценки и оценки деятельности своих одноклассников;
• совершенствовали умение по преломлению научно-технической литературы к учебным условиям;
• совершенствовали своё умение в выполнении и презентации проекта;

Литература

1. "Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных" Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Под редакцией Г.В.Дорофеева. Москва. Просвещение. 2007.
2. ГОСТ 23903-79 - Пути водные внутренние и их навигационное оборудование. Термины и определения
3. ГОСТ 26600-98. МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ. ЗНАКИ НАВИГАЦИОННЫЕ ВНУТРЕННИХ СУДОХОДНЫХ ПУТЕЙ. ОБЩИЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ.
4. Международные Правила Предупреждения Столкновений Судов в Море. Часть В - Правила плавания и маневрирования.