Цели урока:
- Образовательная: изучение теорем о сумме углов треугольника и о внешнем угле треугольника;
- Развивающая: рассмотрение нескольких способов доказательства теоремы, обобщение с использованием элементов исследования, развитие математической речи;
- Воспитательная: рассмотреть одну из самых важных теорем планиметрии: теорему о сумме углов треугольника. Показать как практическое свойство углов треугольника, использованное в курсе математики 5 класса, доказывается в геометрии.
Оборудование: различные виды треугольников (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный); транспортир, линейка, треугольники, которыми пользуемся для чертежей в тетради и на доске.
ХОД УРОКА
Учитель: Напомните, какую тему мы изучали на предыдущих уроках.
Ученики: Признаки и свойства параллельных прямых.
Учитель: Сегодня на уроке полученные по этой теме знания помогут сделать открытия. Фигура, с которой мы будем работать, вам уже знакома. Сформулируйте определение треугольника.
Ученики: Треугольник – фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Учитель: Назовите элементы треугольника.
Ученики: Углы, стороны, вершины.
Учитель: Задание по рядам.
1 ряд: начертите острый угол;
2 ряд: начертите тупой угол;
3 ряд: начертите прямой угол.
Дополните рисунок до треугольника. Что для этого нужно сделать?
Ученики: Взять по точке на сторонах угла и соединить отрезком.
Плакат.
| Виды углов | Название треугольника по углам |
| острый | остроугольный |
| тупой | тупоугольный |
| прямой | прямоугольный |
Учитель: Бывают ли треугольники с
двумя прямыми углами? С прямым и тупым углом?
Поступили предложения:
- Бывают.
- Таких треугольников не бывает.
Учитель: Как это обосновать? Поступило
предложение сделать рисунок. Есть желающие выйти
к доске и показать это на рисунке?
К доске выходит ученик и выполняет следующие
рисунки.
Далее идет коллективное обсуждение. Лучи ВА и CD, KT и OH, RE и PL не пересекаются, значит, треугольник не получится. Сумма односторонних углов в первом случае больше, чем 180°, во втором случае также больше, чем 180°, а в третьем случае – равна 180°. В третьем случае прямые параллельны, а в первых двух случаях прямые расходятся. Делают вывод, что треугольник не может иметь два тупых или два прямых угла. А также в треугольнике не может быть одновременно один тупой и один прямой углы.
Учитель: Подведем итог. Мы выполнили некоторую практическую работу, сделали обоснование того факта, что треугольник не всегда существует. Его существование зависит от величины углов. Можно ли это посчитать доказательством?
Ученики: Доказательством считать нельзя.
Учитель: Как можно узнать, чему равна сумма углов треугольника?
Ученики: Практически – измерением.
Теоретически – рассуждением.
Сделайте чертежи в тетради.
Найти сумму углов каждого треугольника.
Учитель: Мы уже рассуждали, пытались обосновать свои действия. Так может быть, мы уже доказали теорему?
Ученики: Какую?
Учитель: Хороший вопрос. Попытаемся ответить на него. Но прежде запишем тему урока.
(На доске выполняется запись: «Сумма углов треугольника».)
А теперь проверим домашнее задание. Какие результаты вы получили, измеряя транспортиром углы треугольника?
Ученики: Сумма углов треугольника равна: 179°, 190°, 182°, 185°, 202°, 178°, 181°.
Учитель: Что заметили?
Ученики: Все суммы близки к 180°. Значит, сумма углов треугольника равна 180°
Учитель: Итак, ребята, у вас появилась гипотеза, что сумма углов треугольника равна 180°. Однако у многих из вас в домашних условиях получились результаты, близкие к 180°, но не 180°. Как вы думаете, почему такие разные у вас результаты?
Поступили ответы:
- Неверно измерили углы, нужно быть точнее.
- Нашел сумму углов не верно.
- С помощью транспортира можно только приближенно измерять, всегда будут ошибки.
Учитель: Нет, ребята, обижаться на
транспортир не надо, нужно помнить, что измеряя,
мы получаем приближенные значения. Сумма углов
треугольника была практическим путем
установлена, вероятно, еще в Древнем Египте.
Прокл утверждал, что доказательство этого факта
было известно еще в 5 веке до н.э. Однако у нас с
вами есть гипотеза: сумма треугольника равна 180°.
Сформулируем теорему.
Поступили предложения:
- Сумма углов треугольника равна 180°.
- Если дан треугольник, то сумма всех его углов равна 180°.
- Если дан треугольник, то сумма его внутренних углов равна 180°.
Путем обсуждения выяснили, что вторая и третья формулировки удобнее. Первую формулировку не отвергаем, она также имеет право на существование.
Учитель: Продолжим работу со второй формулировкой. Какие слова в данной формулировке считаете главными?
Поступили предложения:
- Дан треугольник.
- Сумма 180°.
- Сумма всех углов.
- Все слова важны.
Учитель: Обратим внимание на третью формулировку. Какие слова в данной формулировке вы считаете главными?
Поступили предложения:
- Треугольник.
- Сумма 180°.
- Сумма внутренних углов.
- Все слова важны.
Учитель: Итак, ребята, каждый для себя выбрал главные слова. Но отдельно эти слова мы рассматривать не будем. Вернемся к формулировке теоремы, которая записана на доске. Запишем условие, выполним чертеж:
Учитель: Где мы встречали это число?
Поступили предложения:
- Величина развернутого угла равна 180°.
- Сумма смежных углов равна 180°.
- Сумма односторонних углов равна 180°.
Учитель: Как можно использовать сведения о развернутом угле, смежных углах, односторонних углах при доказательстве теоремы? Как связать эти сведения с отысканием суммы углов треугольника?
После обсуждения поступили предложения.
- Провести прямую а || ВС
- «Собрать» развернутый угол около одной из вершин.
- Угол 1 = углу 4, накрест лежащие при а || ВС и секущей АВ.
- Угол 5 = углу 2, накрест лежащие при а || ВС и секущей АС.
- Угол 4 + угол 3 + угол 5 = 180° развернутый угол, значит
- Угол 1 + угол 3 + угол 2 = 180° сумма углов треугольника.
Учитель: Итак, ребята, подведем итог. Мы доказали интересную теорему, одну из важных теорем геометрии. Что утверждает новая теорема?
Ученики: Сумма трех внутренних углов любого треугольника равна 180°.
Осталось ответить на следующие вопросы:
- Если одни из углов треугольника прямой, то какими будут два других угла?
- Если треугольник прямоугольный, то чему равна сумма острых углов треугольника?
- Если один из углов треугольника тупой, то чему равна сумма двух других углов?
- Могут ли все три угла треугольника быть равными?
- Чему равна градусная мера каждого из них?
- Могут ли все углы треугольника быть острыми?
Закрепление:
Учитель: Урок подошел к завершению. Спасибо, вы все хорошо потрудились. Напоминаю, что нужно выполнить дома.
- Составить план доказательства теоремы.
- Записать вопросы, возникшие после изучения.
- Придумать задачи на применение теоремы о сумме углов треугольника.
Домашнее задание: п.30, №224, 223 (в,г).