Исследование функции на периодичность

Разделы: Математика


Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла

Эпиграф:

“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров

Ход урока

I. Организационный этап.

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.

II. Проверка домашнего задания.

Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.

III. Обобщение и систематизация знаний.

1. Устная фронтальная работа.

Вопросы теории.

1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+180º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

 

tg(x+πn)=tgx, n € Z
ctg(x+πn)=ctgx, n € Z

sin(x+2πn)=sinx, n € Z
cos(x+2πn)=cosx, n € Z

5) Как построить график периодической функции?

Устные упражнения.

1) Доказать следующие соотношения

a) sin(740º) = sin(2)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)

3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)

4. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90º .

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?

Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.

6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.

 

Ответ: Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.

7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.

IV. Коллективное решение задач.

(Решение задач на слайдах.)

Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.

При этом способе обходятся трудности, связанные с доказательством того, что тот или иной период является наименьшим , а также отпадает необходимость касаться вопросов об арифметических действиях над периодическими функциями и о периодичности сложной функции. Рассуждение опирается лишь на определение периодической функции и на такой факт: если Т – период функции, то и nT(n?0) – ее период.

Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+3{x+q>5}

D(f)=R

Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.

1+3{x+T+0,25}=1+3{x+0,25}
{x+T+0,25}={x+0.25}

Положим x=-0,25 получим

{T}={0}

{T}=0 <=> T=n, n € Z

Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1. Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1.

f(x+1) =3{x+1+0,25}+1

Так как {T+1}={T} при любом Т, то f(x+1)=3{(x+0.25)+1}+1=3{x+0,25}+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.

Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos2(x) периодическая и найти её основной период.

Решение:

Задача 3. Найдите основной период функции

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Решение:

1. D(f)=R

Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Если х=0, то

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Если х=-Т, то

sin0+5cos0=sin(-1,5Т)+5cos0,75(-Т)

5= – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)

sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Сложив, получим:

10cos(0,75Т)=10

cos=1

=2πn, n € Z

T=, n € Z

Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число

Имеем:

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Значит – основной период функции f.

Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)

Решение:

Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х

sin|x+Т|=sin|x|

Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=πn, n € Z.

Предположим. Что при некотором n число πn является периодом

рассматриваемой функции πn>0. Тогда sin|πn+x|=sin|x|

Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.

Задача 5. Проверить, является ли периодической функция

f(x)=

Решение:

D(f)=R

Пусть Т – период f, тогда

, отсюда sinT=0, Т=πn, n € Z. Допустим, что при некотором n число πn действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2πn будет периодом

Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому

Значит, функция f не периодическая.

Работа в группах.

Задания для группы 1.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

f(x)=|cosx|

Задания для группы 2.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Задания для группы 3.

f(x)=|sin|x||

По окончании работы группы презентуют свои решения.

VI. Подведение итогов урока.

Рефлексия.

Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.

Мои умения исследовать
функции на периодичность
Мой вклад в работу
на уроке

 

VII. Домашнее задание

1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)

a). f(x)=√x

b). f(x)=x2-2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функция y=f(x) имеет период Т=2 и f(x)=x2+2x при х € [-2; 0]. Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5)

Литература/

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа с углубленным изучением. 
  2. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
  3. Шереметьева Т.Г. , Тарасова Е.А. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов.