Цель: показать неразрывную связь наук, искусства и ведущую роль математики в развитии общества.
Задачи:
- Повторение и обобщение тем по геометрии “Теорема Пифагора”, “Действительные числа”. Развитие познавательной активности учащихся на основе исторического и музыкального материала.
- Развитие речи, умение лаконично излагать свои мысли; развитие умений анализировать, делать выводы, выявлять закономерности.
- Формирование эвристического мышления.
Оборудование и материалы к уроку:
- презентация к уроку
- стенды с наглядными материалами по блокам: математика, история, музыка
- творческие работы учащихся по теме “Пифагор в математике, музыке и исторических документах”
- ИКТ: DVD-фильмы – “Монохорд Пифагора”, “Опыты Пифагора”, “Моника Курани и монохорд Пифагора”; CD - И.С.Бах - Ш.Гуно “Ave Maria”
- рояль
- интерактивная доска
- карточки с творческими и проблемными заданиями для викторины
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Средства: наглядность, проблемные задания, творческие работы
Содержание: сообщения учащихся по заданной теме
Формы организации познавательной деятельности: групповая, коллективная, индивидуальная
Методы: объяснительно-иллюстративный, частично поисковый.
Проверка: по ходу урока, тестовые задания.
План урока:
- Вступительное слово учителя математики
- Представление исторического блока
- Представление математического блока
- Представление музыкального блока
- Подведение итогов викторины и творческого музыкального задания
- Подведение итогов урока.
Ход урока
Учащиеся размещены в классе по группам: математики, историки, музыканты.
Учитель - Это первый урок, посвященный “Пифагорейскому союзу”. По мере познания вами окружающего мира, у нас появится возможность провести ещё два урока в 9 и 11 классе, на которых мы будем рассматривать учение о пропорциях, золотое сечение, пентаграмму, вопросы философии, строение Вселенной и другие. Цель сегодняшнего урока: познакомить вас с учением Пифагора, а так же показать вклад Пифагора и его учеников в мировую культуру.
Пифагорейская система знаний состояла из четырех разделов: арифметики - учение о числе, геометрии – учение о фигурах и измерении, музыки – учение о гармонии, астрономии – учение о строении Вселенной.
I. Исторический блок
1 учащийся - VI век до нашей эры – это век рождения античной культуры. Именно в это время словно по мановению волшебства в разных концах планеты великие озарения коснулись лучших умов человечества. Пифагор в Древней Греции, Будда в Древней Индии, Конфуций в Древнем Китае. Все они стали Учителями, повели за собой других, провозгласили учения, которые просуществовали тысячелетия и во многом определили будущую историю цивилизации. Сегодня мы говорим о Пифагоре и предлагаем вам совершить экскурс в историю.
Презентация к уроку – 2 учащийся
3 учащийся - Система морально-этических правил, завещанная своим ученикам Пифагором, была собрана в своеобразный моральный кодекс “Золотые стихи”. В России “Золотые стихи” были особенно популярны в 18-19 в.в. Мы зачитаем некоторые из них:
Сыщи себе верного друга: имея его, ты можешь обойтись без богов.
Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.
Юные девицы! Памятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу.
Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.
Не пекись о снискании великого знания: из всех знаний нравственная наука, быть может, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.
Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова.
Учитель - И так ребята, мы с вами послушали о Пифагоре, теперь для выполнения творческого задания откройте, пожалуйста, приготовленные для вас папки. В них находятся вопросы викторины, на которые отвечают участники всех команд. В выполнении творческого задания используются афоризмы Фалеса Милетского (625-547гг до н.э.)
Результатом первой части викторины является вывод: моральные принципы пифагорейцев (VI век до н.э.) и принципы подростков, живущих в начале XXI века, совпадают.
II Математический блок
Учитель – математики - Математические результаты, полученные в школе Пифагора, легли в основу современных методов и теорий познания окружающего нас мира. Главный тезис философии Пифагора “Всё есть число” был положен в основу учения о числе, о пропорциях.
В школе Пифагора геометрия оформляется в самостоятельную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически – как теоретическое учение о свойствах абстрактных фигур и эти свойства устанавливались не путем измерений, а с помощью логических доказательств.
Начиная с Пифагора доказательство, становится могучим и единственным способом обретения истины в геометрии.
И. Кеплер писал: “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень”.
Математическую часть урока мы посвящаем теореме Пифагора, с которой вы познакомились на уроках геометрии в 8 классе.
Теорема Пифагора.
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина – это простота, красота, значимость.
Существует более 300 доказательств этой теоремы. Рассмотрим некоторые из них.
1 учащийся - доказывает теорему Пифагора на основе понятии косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. (Доказательство проводиться на доске на готовом чертеже).
2 учащийся - Существуют геометрические способы доказательства теоремы Пифагора. Один из них основан на понятии равновеликие фигуры, т.е. фигуры, имеющие равные площади и понятии равносоставленные фигуры. В этой связи теорема Пифагора формулируется так: “Площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов построенных на катетах”.
3 учащийся - Сейчас мы вам это докажем, используя понятия: равновеликие и равносоставленные фигуры (равносоставленные фигуры имеют равные площади).
4 учащийся: Доказательство проводим на доске с моделями.
Учитель - В связи с теоремой Пифагора возникает интересная задача, связанная с числами. Об этой задаче мы сейчас и поговорим.
5 учащийся - делает сообщение о Пифагоровых тройках.
Во время сообщения на доске дается задание группам учащихся (музыкантам, историкам, математикам) на вычисление Пифагоровых троек по формулам.
Учитель - теперь мы хотим протянуть ниточку от VI в. до н.э. в нашу эру.
6 учащийся - делает сообщение о теореме Ферма.
Учитель предлагает учащимся решить несколько задач на вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника и ответить на вопрос: каким числом выражен ответ?
Учащиеся отвечают на поставленный вопрос (рациональное или иррациональное число).
Учитель - Согласно преданию несоизмеримость (иррациональные числа) открыл сам Пифагор, и это открытие долго держалось в тайне.
Несоизмеримые величины - это те величины, отношение которых нельзя выразить с помощью отношения целых чисел. Открытие несоизмеримости является наивысшим достижением Пифагорейской школы и поворотным этапом в развитии всей математики.
Подводя итоги блока математики, я хочу отметить, что главная заслуга в геометрии, это введение Пифагором доказательной базы, а в теории чисел – открытие иррационального числа.
Ребята, далее идёт самый необычный блок нашего урока. Мало кто бы поверил, что Пифагор и музыка, как-то могут быть связаны. Пифагор – это математика, серьёзная, абстрактная, а музыка – это эмоции. И поэтому сейчас мы поговорим о том, что же сделал Пифагор в музыке".
Музыка и математика… Сегодня эти два слова редко стоят вместе. Между тем в школе Пифагора именно музыка стала первым подтверждением справедливости тезиса “Всё есть число”. И это сейчас нам докажут музыканты.
III. Музыкальный блок
CD Звучит фоновая музыка: И.С. Бах - Ш. Гуно. Ave Maria.
1 учащийся - Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом. Между тем в пифагорейской “математе” именно музыке суждено было стать первым, и, пожалуй, единственным физическим свидетельством, подтверждавшим справедливость пифагорейского тезиса: “Всё есть число”.
Учитель - Математика и музыка - два универсальных языка человечества. Область искусства - музыка и точная наука математика, что их объединяет? Чтобы ответить на этот вопрос, мы обратимся к историческим хроникам.
2 учащийся - Именно в музыке впервые была обнаружена таинственная направляющая роль чисел в природе. В свою очередь, родство с арифметикой обогатило музыку методами построения её фундамента – музыкальной гаммы, фундамента, на котором и было возведено прекрасное здание искусства музыки. Кстати, название “гамма” происходит от греческой буквы “Г” (гамма), обозначавшей крайний нижний тон средневекового музыкального звукоряда.
Пифагорейцы считали, что музыка имеет врачующие и даже магические функции, но особое значение придавалось музыке как средству воспитания. Созвучны мыслям пифагорейцев слова древнекитайского философа Конфуция: “Если хотите знать, как страна управляется, и какова её нравственность – прислушайтесь к её музыке”.
Учитель - Как же пифагорейцы добились приятного для слуха и полезного для души звучания струн?
3 учащийся - Для изучения этой проблемы Пифагором был изобретён музыкальный инструмент монохорд - “прапрапрадед” фортепиано. Для того чтобы узнать, как он был изобретен, мы обратимся к историческим документам. В хрониках сохранились различные описания пути изобретения и совершенствования монохорда. Это были опыты с молотками различного веса и со струнами одной длины с различной силой натяжения, и со струнами разной длины. Так, однажды, Пифагор, прогуливаясь возле кузницы, случайно прислушался к ударам молотков, кующих железо на наковальне и издающих попеременно друг за другом гармоничные звуки. Он вбежал в кузницу и, проделав самые разнообразные опыты, установил, что различие звуков зависит от массы молотков, а не от силы удара и формы молотка. Затем эти опыты были перенесены на струны с разным натяжением. К струнам были прикреплены разного количества гирьки. Еще были опыты с линейкой, на которую была натянута струна. Линейку разделили на 12 частей. Пифагор заставил звучать сначала всю струну, а затем её половину, т.е. 6 частей. Под струнами находилась шкала делений, позволяющая точно фиксировать звучащую часть струны поджимающей снизу подставкой.
DVD “Опыты Пифагора”
Пифагор нашел, что вся струна была в консонансе со своей половиной, а музыкальный интервал был равен октаве. Потом Пифагор опять заставил звучать всю струну, а затем 3/4 её длины – зазвучал консонанс кварты. Звучание 2/3 струны составляло квинту. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны. Название инструмента – монохорд - в переводе на русский “однострунник”. Но со временем струн на нём стало больше. Монохорд один из первых музыкальных инструментов древних греков. Он представлял собой длинный ящик, необходимый для усиления звука, над которым натягивались струны. Струны имели постоянное натяжение, но разную длину.
DVD “Монохорд Пифагора”
Учитель - Какие ещё сведения у нас имеются об исследованиях Пифагора?
4 учащийся - По преданию, в результате экспериментов сам Пифагор установил, что приятные слуху созвучия - консонанс - получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, находятся в правильном числовом отношении друг к другу (относятся как целые числа первой четвёрки) - 1 : 2, 2 : 3, 3 : 4. В этом случае звучат известные всем музыкальные интервалы:
- Октава - отношение 1 : 2
- Квинта - отношение 2 : 3
- Кварта – отношение 3 : 4
Учитель - Для того чтобы правильно решить следующее задание викторины, вам необходимо вспомнить теорию музыки и гармонизовать данную мелодию. Приложение № 1 (муз.задача)
5 учащийся - Для того чтобы правильно читать и писать, нужно знать слова, их смысл и грамматику, т.е. законы языка. Для того чтобы уметь правильно сочинять музыку, играть ее или петь, нужно знать теорию музыки. Пифагор был не только математиком, философом, но и теоретиком музыки. Пифагорейцы нашли строгие математические методы построения музыкальных ладов, которые практически без изменения вошли в современную музыку. Всего семь диатонических ладов (тоника которых соответствует основным звукам): ионийский, дорийский, фригийский, лидийский, миксолидийский, эолийский, локрийский. (Учащийся исполняет на фортепиано эти лады). Для одноголосной музыки ряда европейских народов типичен Пифагоров строй, в котором в качестве основы используется чистая квинта с соотношением частот 3 : 2.
DVD “Моника Курани на музинструменте Пифагора Монахорда”
Учитель - Гармония рассматривалась великими философами как состояние, непосредственно предшествующее красоте. В произведениях И.С.Баха с поразительной точностью проявляются строгие математические пропорции – это Закон Золотого сечения. Об этом Законе вам предстоит узнать в будущем. А сейчас мы послушаем одно из произведений этого великого композитора. Учащийся исполнят на фортепиано двухголосную инвенцию B-dur И.С. Баха.
При подведении итогов музыкальной викторины у учащихся музыкальной группы прозвучала мелодия с классическим аккомпанементом – точное построение аккордов из интервалов; историки и математики – заняли соответственно 2 и 3 места.
Подведение итогов викторины и урока
Учитель - Задачей нашего урока было определение вклада Пифагора в мировую культуру. На этом уроке мы познакомились с малой частью наследия Пифагорейского союза: это – моральный кодекс “Золотые стихи”, теорема Пифагора, открытие несоизмеримости, математика колебания струны, изобретение музыкального инструмента монохорда. И ещё многое вам предстоит узнать в будущем: о всеобщей гармонии, о пропорциях, золотом сечении, о космосе пифагорейцев, о Пифагорове пении светил.
Мы благодарим за работу на уроке всех учеников, гостей и учителей.
Используемая литература.