Цель урока: решение тригонометрических уравнений с отбором корней двумя способами (решая неравенство, которому должны удовлетворять корни тригонометрического уравнения и используя тригонометрический круг).
Задачи: разобрать решение тригонометрических уравнений с отбором корней явно или неявно указанного в задаче признака.
План урока
1. Организационный момент.
2. На едином государственном экзамене (ЕГЭ) в заданиях группы С1, требуется не только решить тригонометрическое уравнение, но и провести некоторое исследование корней заданного уравнения. В результате исследования, как правило, какая-то часть полученных корней выбирается или, наоборот, отбрасывается на основании условия задачи или неявно указанного в задании признака. Отбор корней тригонометрического уравнения выполняется одним из следующих способов: 1) Использование монотонности корней простейших тригонометрических уравнений; при этом корни упорядочиваются по возрастанию 2) решение неравенств, которым должны удовлетворять корни 3) решение системы тригонометрических уравнений и неравенств ( обычно решают уравнение и проверяют, удовлетворяют ли его корни тригонометрическому неравенству). Сегодня на уроке мы подробно остановимся на последних двух случаях.
1. Самый простой и наглядный способ использует тригонометрический круг.
Задача 1. Решить уравнение 
.
Решение.
.
Ответ: 
.
Задача 2. Указать число решений уравнения 
на
промежутке 
.
Решение.
6 sin x cosx +2 cos2x- 2sin2x= 3cos2x +3 sin2x
5 sin2x-6sinxcosx + 3 cos2x =0
cosx 
0, т.к.
если cosx = 0, то из уравнения 5 sin2x-6sinx · 0 + 02
=0 получим: sinx =0, что противоречит основному
тригонометрическому тождеству. Из всего
вышесказанного следует, что при делении обеих
частей уравнения на cos2x потери корней не
произойдёт.
5 tg2x – 6 tgx + 1 =0
Замена: tgx= t.
5t2-6t+1=0. Следовательно t1 =1, t2 = 
.
Таким образом, получили tgx = 1 или tgx = . Решая эти
уравнения получим
x = 
+
n, n
Z или x = arctg
+ pk, k
Z.
Ответ: три решения.
Другой способ состоит в решении неравенств, которым должны удовлетворять искомые корни.
Задача 3. Найти все корни уравнения sinxcos
+ cosxsin 
= 
,
расположенные в промежутке 
.
Решение.
sin(x + 
) =
x + = ( - 1 )n 
+ n, n Z
x = ( - 1 )n - + n, n Z
1. Если n чётное (n = 2k, k Z), то x = - + 
k, k Z 
x = 
+ k, k Z.
Отберём из этой серии корней те корни, которые
принадлежат промежутку . Для этого решим
неравенство: - 
+ k .
- 
k 
- 
Т. к. k Z,
то 0 – единственное целое число, принадлежащее 
.
k |
x |
0 |
|
2. Если n нечётное (n = 2k + 1, k Z), то x = - - + k, k Z 
x = 
+ k, k Z
-
+ k 
.
- 
k 
- 
Т. к. k Z,
то -1 и 0 целые числа, принадлежащее .
k |
x |
0 |
|
-1 |
- |
Ответ: - 
; 
3. Работа в группах. Задание №1.
Указать число решений уравнения sinx+ 
на
промежутке 
. Ответ: два решения.
Задание №2. Решить уравнение tg2x + sin2x =
.
Ответ: 
+
Z, 
arccos
+
, 
Z.
Домашнее задание: проработать материал лекции, закончить решение уравнений.