Изучение элементов математической логики в школе

Элементы математической логики всё больше проникают в школьное образование: это и математика (логические истинности), и информатика (понятия и законы математической логики, умения строить таблицы истинности и логические схемы, умения строить и преобразовывать логические выражения). Элементы логики, стали “обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение”.

Особое место занимает понятие логически истинного предложения (логическая истина), оно является центральным логическим понятием, представляя логику в рассуждениях и доказательствах.

В статье я сделаю попытку показать, как можно ввести понятие “логическая истина” в жизнь обычного школьника.

Перед Вами изложение теоретического материала для учащихся (текст выдаётся каждому школьнику, который добровольно пришёл на математический семинар). Как правило, длительность семинара от 45 минут (1 занятие) до 225 (5 занятий). Темы и время проведения семинаров объявляются в начале учебного периода: четверти, полугодия. В семинаре участвуют, как минимум 6 учеников, как максимум 20, всё зависит от заявленной темы. Участники – ребята разных классов: в 2010/2011 – 9, 10, 11 классы, в 2011/2012 году – 6, 8 классы, в 2012/2013 – 7, 9.

Тема. Логические истины. (225 минут)

Очевидно, что каждая наука имеет свой словарь. Например, в биологическом словаре: анабиоз, бактериофаг, гаметы, ген, клетка, селекция, штамм; в музыкальном словаре: бард, двойной хор, запев, звукоряд, фальцет; в физическом словаре: масса, путь, скорость; в химическом – молекула, моль, реакция; в математическом – многоугольник, число, уравнение, функция.

Выясним, какие слова входят в словарь математической логики, а также что такое логическая истина. Рассмотрим известное предложение: “Если все люди смертны ()и все герои – люди (), то все герои смертны ()”. Ясно, что это предложение истинное. Заменим в этом предложении слова “люди”, “смертны” и “герои” соответственно словами “животные”, “дышат”, “киты”. Получим новое предложение: “Если все животные дышат и все киты – животные, то все киты дышат”, которое также истинное. Таких замен можно привести достаточно много. Приведённые предложения имеют различные сюжеты (содержание или смысл), однако, их истинность не нарушилась от замены содержания.

Очистим рассматриваемые предложения от их содержания, и получим форму:

“Если все *₁, *₂ и все *₃ есть *₁ все *₃ *₂” Подставив в полученную форму одни и те же слова вместо одинаково пронумерованных звёздочек, всегда получим истинные предложения. Итак, предложения, истинность которых зависит только от формы и не зависит от содержания, называются логически истинными предложениями (логическими истинами).

Логических истин бесконечно много. Вот некоторые из них:

1. Я сдам или не сдам зачёт по математике.
2. Из того, что если я отдыхаю, то я сплю, следует, что если я не сплю, то я не отдыхаю.
3. Электрическое напряжение в сети есть или его нет.
4. Если существует х такое, что 5 – х = 0, то не для всех х не имеет места 5 – х = 0.

Изучение логических истин – основная задача логики, вернее одна из основных задач. Однако, критерий истинности в логике не такой, как в естественных науках. В естественных науках важна не форма, а содержание. Подтверждение истинности в естественных науках требует проведение эксперимента, наблюдений. В логике критерий истинности во многом определяется синтаксической структурой (формой) предложения.

При аксиоматическом построении математики (в частности геометрии) теорему мы рассматриваем как некое условное предложение, логическую истинность которого доказываем.

Рассмотрим основные понятия и символику математической логики.

1	Высказывание (замкнутое предложение)	Высказывание – форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных объектов (предметов, явлений, процессов). Итак, высказывание – это предложение, о котором имеет смысл, спросить, истинно оно или ложно. (“4 = 5”, “2 – простое число” – высказывания, а “7 + 8”, “Любишь ли ты учиться?” – не являются высказываниями.) Высказывания могут быть истинными (и), и ложными (л). Для обозначения используют буквы латинского алфавита.
2	Переменная	Переменная – буква с соотнесенным с ней классом объектов, которые называют значениями переменных. Пример. Переменная Х – все насекомые, “комары” – значение переменной Х.
3	Предикат (предложение с переменной, открытое предложение)	Предикат – предложение, содержащее хотя бы одно переменное и обращающееся в высказывание для некоторых наборов значений всех переменных, входящих в предложение. Предикаты с одним неизвестным – называют одноместными, с двумя – двуместными и т.д. Пример. – одноместный предикат с областью значений для х – все действительные числа. При – истинное высказывание, при – ложное. По аналогии – двуместный предикат с областью значений (х; у) где и х и у – действительные числа. (1; -6) превращает предикат в истинное высказывание, (1; 6) – ложное. Предикаты обозначаются: А(х), В(у), …, А(х; у), … Из высказываний и предикатов с помощью частицы “НЕ” (операция логического отрицания, инверсия, А(х) = = не А(х)); союзов “И” (логическое умножение, конъюнкция, знаки &, ), “ИЛИ” (логическое сложение, дизъюнкция, знак ); оборотов речи: “ЕСЛИ…, ТО” (логическое следование, импликация), “…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…” (логическое равенство, эквивалентность).
4	Кванторы	Квантор общности: “ДЛЯ КАЖДОГО “ (знак . Квантор существования: “СУЩЕСТВУЕТ ТАКОЕ “ (знак . Квантор + одноместный предикат – высказывание. Например. Высказывание истинно, если для каждого значения х высказывание А(х) будет истинным.
5	Умозаключение	Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) можно получить новое суждение (заключение). Посылки могут быть только –истинными суждениями.

В логике принято однозначно определять истинность сложного высказывания через истинность высказываний его составляющих, пользуясь следующими договоренностями.

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание. Суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному – 0.

	Имя логической операции	Определение (договоренности)	Таблицы истинности
1	Логическое умножение (конъюнкция)	Конъюнкция двух высказываний истинна в единственном случае, когда оба высказывания истинны.	А В A&B 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1
2	Логическое сложение (дизъюнкция)	Дизъюнкция двух высказываний ложна в единственном случае, когда оба высказывания ложны.	А В AB 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1
3	Логическое отрицание (инверсия)	Отрицание истинного высказывания – ложно и отрицание ложного высказывания – истинно.	A 0 1 1 0
4	Логическое следование (импликация)	Импликация двух высказываний ложна в единственном случае, когда условие (первое высказывание в импликации) истинно, а заключение (второе высказывание в импликации) ложно.	А В AB 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1
5	Логическое равенство (эквивалентность)	Эквивалентность двух высказываний истинна в двух случаях, когда оба высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.	А В AB 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1

Несколько советов учителю, которому интересна идея введения элементов логики в школе (элективный курс, семинар для желающих учеников, ...).

По моему мнению, логическая подготовка школьников может быть разделена на три этапа.

1. Подготовительный этап

Необходимо учить школьников (начинать можно уже в начальной школе) понимать логическую структуру предложений и правильно применять слова и словосочетания, такие как: “и”, “или”, “не”, “хотя бы…”, “если…, то…”, “необходимо”, “достаточно”, “необходимо и достаточно”, “все”, “некоторые” и др. Постепенно приучать находить истинность или ложность сложных предложений в зависимости от их логического строения и истинностных значений, составляющих их предложений. Ученик должен твёрдо усвоить, что запись – истинное высказывание, потому что это сложное высказывание “ или 2 > 2“, которое истинно, если…

Особое внимание необходимо уделить выработке навыка правильного понимания условных предложений. Он должен без колебаний относить предложения “Если , то 1 = 1”, “Если 0 = 1, то 1 = 2” к истинным высказываниям. Думаю, что в разумных пределах, необходимо учить школьников пользоваться логической символикой.

2. Формирование понятия о логическом законе

Идею логического закона следует формировать постепенно, не стремясь к формальным и строгим определениям. Необходимо в начале научить выделять логические истины, делая акцент на их отличии от не логических, фактических истин, учить замечать общую форму логических истин, прибегая к символике, доказывать простые логические законы и опровергать ошибочные гипотезы о логической истинности предложений.

3. Выработка навыков использования логических законов в рассуждениях.

Без четкого понимания логических связей, логических законов, отношений следования и эквивалентности ученики способны лишь заучить доказательство, оказываются беспомощными в попытках самостоятельно его отыскать.

Одна из центральных задач обучения математике состоит в обучении установлению истинности математических предложений (чаще всего с помощью доказательства), а истинностные значения этих предложений зависят от их логической структуры, то естественно считать одной из главных задач обучения математике раскрытие логической структуры математических предложений.

Каждая математическая теория представляет собой множество предложений, описывающее какую-то структуру (если эта теория излагается содержательно в определенной конкретной интерпретации, как это имеет место в школьном обучении).

Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками:

• предложение записано (или сформулировано) на языке данной теории, состоит из математических (принадлежащих языку теории) и логических терминов или символов и не содержит никаких других терминов или символов;
• предложение истинно, т. е. является или исходным истинным предложением (аксиомой) данной теории, или его истинность устанавливается доказательством с помощью уже известных (исходных или ранее доказанных) истинных предложений.

Например, предложение “Вертикальные углы равны” является геометрическим предложением, принадлежит теории евклидовой геометрии, потому что: оно записано на языке геометрии (и одновременно па русском языке), т. е. состоит из геометрических (“вертикальные углы”) и логических (“равны”) терминов или символов; оно истинно, так как доказывается в рамках евклидовой геометрии, т. е. на основе ее аксиом или других уже доказанных предложений этой теории.

С каждым математическим предложением связаны содержание (выраженное в нем математическое содержание) и логическая форма (или структура).

Представление, что можно ограничиться в обучении математике лишь раскрытием содержания каждого математического предложения, ошибочно. Содержание неразрывно связано с формой, и нельзя осмыслить первое без понимания второй.

Раскрыть логическую структуру сложного (составного) предложения – значит показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное сложное предложение и как оно составлено из них, т. е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок (слов или сочетаний слов) “не”, “и”, “или” , “если..., то” , “тогда и только тогда” , “для всякого” , “существует” (и некоторых синонимических выражений), обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие.

Всякое математическое (и не только математическое) предложение либо элементарное, (не расчленяется на части, каждая из которых в свою очередь есть предложение), либо построено из элементарных, определенным образом соединенных между собой логическими связками.

Логическую структуру любого сложного предложения необходимо раскрывать с обязательным разъяснением точного смысла применяемых логических связок.

Такое разъяснение необходимо потому, что, применение, даже многократное, перечисленных выше слов само по себе еще не обеспечивает правильного понимания их смысла. Не только школьники, но и некоторые взрослые, много тысяч раз применявшие в своих рассуждениях союз “или”, отвечают отрицательно, например, на вопрос: «Истинно ли предложение ’’4 < 14 или 4 = 14’’ ?».

Без понимания точного смысла логических связок не может быть достигнуто и правильное понимание точного смысла всей логико-математической конструкции, т. е. математического предложения, образованного с их участием, а следовательно, и выраженного в нем математического содержания.

Роль элементов логики в теории и практике обучения математике состоит в том, что, во-первых, усвоение общих логических приемов мышления является необходимым условием формирования и развития познавательной деятельности учащихся и, во-вторых, разработанные в рамках математической логики некоторые общие понятия (высказывание, логические операции, отношение следования и др.) способствуют раскрытию структуры и более глубокому пониманию математического содержания. Речь идет лишь о разумном, дидактически целесообразном применении некоторых логических понятий и обозначений как важных вспомогательных средств обучения. Переоценка роли логики как одной из основ теории обучения математике так же вредна, как и недооценка этой роли.