В условиях перехода на ФГОС основного общего образования принципиально изменяется не только организация, но и суть образовательного процесса. — Меняются смысл и значение образования. Его главной целью становится не передача знаний и социального опыта, а развитие личности ученика. Школа становится учреждением, формирующим навыки самообразования и самовоспитания, местом, где учат учиться.
В связи с предъявленными новыми требованиями к организации учебно- воспитательного процесса мне пришлось обратиться к поиску инновационных технологий, форм и методов обучения. Приоритетным становится развивающая функция обучения.
Общим понятием для всех имеющихся теорий развивающего обучения является понятие деятельности.
Деятельностные способности формируются у ребенка лишь тогда, когда он не пассивно усваивает новое знание, а включён в самостоятельную учебно-познавательную деятельность. Большие возможности для осуществления деятельностного подхода даёт внеурочная деятельность. Остановлюсь на нескольких опробованных мною формах и методиках в этом направлении. Вот уже несколько лет я веду элективный курс по математике для 9 класса – «Алгебраические уравнения и неравенства» и т.д. Тематика курса составлена с таким расчетом, чтобы систематизировать и обобщить полученные на уроках знания учащихся, одновременно расширяя и углубляя их, а также рассмотреть некоторые вопросы, изучение которых не предусмотрено школьной программой.
Основными задачами курса считаю: формирование умений и навыков решения нестандартных задач, алгоритм которых заранее не известен, знакомство учащихся с задачами олимпиадной тематики и основными методами их решения, расширение и углубление знаний учащихся по темам, примыкающим к основному курсу. Курс посещают все желающие расширить свои знания по предмету, то есть сформировать прочное и сознательное овладение системой математических знаний и умений, необходимых каждому ученику для продолжения образования.
Рассмотрим одно из занятий. Тема: «Решение диофантовых уравнений».
Тип занятия – «Открытие» нового знания.
- Деятельностная цель: формирование умений реализации новых способов действий.
- Содержательная цель: формирование системы математических понятий.
- Коммуникативная цель: выражение своих мыслей, аргументация своего мнения, учёт разных мнений учащихся
Структура занятия с позиций системно - деятельностного подхода выглядит так:
1 этап – Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности;
2 этап – Актуализация и фиксирование индивидуальных затруднений в пробном действии;
3 этап – Постановка учебной задачи;
4 этап – «Открытие нового знания» (построение проекта выхода из затруднения);
5 этап – Первичное закрепление;
6 этап – Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону;
7 этап – Рефлексия деятельности (итог занятия).
При системно-деятельностном подходе учащиеся овладевают умением формулировать и анализировать факты, работать с различными источниками, выдвигать гипотезы, осуществлять доказательства правильности гипотез, формулировать выводы, отстаивать свою позицию при обсуждении учебной деятельности. Психологи давно доказали, что люди лучше всего усваивают то, что обсуждают с другими, а лучше всего помнят то, что объясняют другим. Именно эти возможности предоставляет используемая мною на занятии групповая работа.
Самый простой вид групповой работы – это работа в парах. Например, можно использовать карточки на этапе самостоятельной работы, которая выполняется в паре под условным названием «Ученик – учитель». Каждый играет то роль учителя, то роль ученика в определенный момент времени. Роль настоящего учителя в этот момент заключается в выслушивании ответов и объяснений обоих участников пары. Он может корректировать ошибки в момент их возникновения, оценивать не только отвечающего, но и качественную работу «учителя».
Ход урока
I. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.
Сегодня я расскажу вам сказку. «Среди нас, людей сознательного и радостного труда,завёлся один Бездельник. И учиться ему лень, и от работы увиливает, и деньги любит, жаден. Никак в толк не возьмёт, что только деньги хороши, что заработаны честным трудом. Ходит без дела Бездельник и вздыхает:
– Эх, доля моя горемычная! Никто и знаться со мной не желает. Говорят:
«Бездельники нам не нужны. Сам ничего не делаешь и нам мешаешь. Иди к чёрту!» Да какой чёрт посоветует мне , как богатым стать?
Только подумал это лентяй, глядь, а чёрт перед ним стоит.
– Что же, – говорит, – если хочешь, я тебе помогу. Работа лёгкая и богатым будешь. Вот видишь мост через речку?
– Вижу, – отвечает немного оробевший Бездельник.
…Чёрт – Ну, так перейди по мосту на другой берег, и у тебя будет вдвое больше денег, чем было. И так каждый раз: как только ты пройдёшь мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было перед этим,
– Ой ли! – обрадовался Бездельник.
– Верное слово! – уверил чёрт. – Только, чур, уговор ! За то, что я устраиваю тебе такое счастье, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по Х копеек за добрый совет.
– Ну, что же, – согласился Бездельник, – раз деньги будут удваиваться, так отчего же не дать тебе каждый раз по Х копеек? Начнём, пожалуй!
Прошёл мост Бездельник один раз, сосчитал деньги… Вот диво! Действительно, денег стало вдвое больше, чем было.
Бросил он чёрту Х копеек и прошёл мост второй раз. Опять стало денег вдвое больше, чем было перед этим.
Отдал Бездельник чёрту Х копеек и прошёл по мосту в третий раз. Денег снова стало вдвое больше. Но только и оказалось их ровнехонько Х копеек, которые по уговору полностью пришлось отдать чёрту. Чёрт захохотал и с глаз сгинул.
Остался Бездельник без копейки. Видно, на чужой совет надо ещё свой ум иметь!
Вопрос. Сколько денег было у Бездельника сначала и сколько копеек требовалось отдавать Чёрту?
Какие будут предложения? (Идут предложения).
Вспомогательные вопросы: Сколько у нас неизвестных? Какие числа должны получиться в ответе?
Решение:
Пусть у копеек было у Бездельника, а по х копеек отдавал.
После первого раза – (2у - х) коп. осталось,
после второго раза 2(2у-х)-х= 4у-3х (коп.),
после третьего раза 2(4у-3х)-х = 8у-7х (коп).
Так как после третьего раза денег не осталось, то составим уравнение
8у-7х=0,
II. Актуализация и фиксирование индивидуальных затруднений в пробном действии.
Надо решить уравнение 8у-7х=0, где неизвестные обязательно - целые числа.
III. Постановка учебной задачи.
Цель: обсуждение затруднений («Почему возникли затруднения?», «Чего мы ещё не знаем?»); проговаривание цели занятия в виде вопроса, на который предстоит ответить.
Методы постановки учебной задачи: побуждающий от проблемной ситуации диалог, подводящий к теме диалог, подводящий без проблемы диалог.
IV. «Открытие нового знания» (построение проекта выхода из затруднения).
Откройте папки с текстом.
Текст:
Решим уравнение 8у-7х=0. Выразим .
Так как количество денег целое число, то самое маленькое число х=8, тогда у=7. Т.О. у бездельника было 7 копеек, а отдавал по 8 копеек.
В этом случае числа 8 и 7 называются частными решениями уравнения –
7х+8у=0, само уравнение- однородное линейное диофантово уравнение, это уравнение имеет неединственное решение:
Говорят , что общее решение данного уравнения есть х = 8n, у=7n, где n – любое целое число.
Например : n=2, то х=16, а у = 14 и т. д.
V. Первичное закрепление.
Цель: проговаривание нового знания, запись в виде опорного сигнала.
- 4-5 минут;
- Способы: работа в парах;
- Средства: конспект, комментирование, обозначение знаковыми символами, выполнение продуктивных заданий.
Диофантовы уравнения
Уравнения с несколькими неизвестными, решения которых находятся в целых числах называются диофантовыми уравнениями.
Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными: 
– решение уравнения.
Однородное уравнение: 
правая часть свободная, т.е. равна нулю.
Алгоритм решения однородного уравнения.
Рассмотрим однородное уравнение 
,
- Если
общее решение однородного уравнения.
Однородное уравнение всегда разрешимо в целых числах.
Пример1. Решить уравнение в целых числах
Решение : 15х – 4у = 0, 
, у должно быть кратно 15, тогда у =15k, х = 4k
Ответ: числа вида 
, где 
Алгоритм решения неоднородного уравнения.
Неоднородное уравнение: 
- не будет иметь решений, если
; - будет иметь решения, если
,
Если 
, то все уравнение сокращается на d, получим уравнение когда 
.
Пусть 
– частное решение неоднородного уравнения 
, тогда справедливо 
– числовое тождество.
Обозначим 
, получим 
– однородное уравнение относительно 
.
общее решение однородного уравнения; 
общее решение неоднородного уравнения.
Пример 2. Решить уравнение 
Решение. 
, решение существует, сокращаем все уравнение на 7, получим 
.
Рассмотрим однородное уравнение
.
общее решение однородного уравнения.
Найдем частное решение неоднородного уравнения.
подберём такое значение числителя, чтобы 
, 
.
частное решение неоднородного уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения: 
Ответ. Числа вида 
являются решением уравнения
Пример 3. Решить уравнение в целых числах.
Решение. 
, 
решение существует.
Рассмотрим однородное уравнение 
.
общее решение однородногоуравнения.
Рассмотрим неоднородное уравнение
должно делиться на 3.
частное решение неоднородного уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения: 
Ответ. Числа вида 
, являются решением уравнения.
Пример 4. Решить уравнение в целых числах.
Решение. 
уравнение не имеет корней.
Ответ. Уравнение в целых числах решений не имеет.
VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
Цель: каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет.
- Небольшой объем самостоятельной работы (не более 2-3 типовых заданий);
- Выполняется письменно;
- Методы: самоконтроль, самооценка.
Решить самостоятельно:
Пример 5. Решить уравнение в целых числах. 
Пример 6. Решить уравнение в целых числах. 
Пример 7. Решить уравнение в целых числах.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
Пример 5. Решить уравнение в целых числах. 
Решение
Рассмотрим однородное уравнение 
.
общее решение однородного уравнения.
Ответ. Числа вида
, являются решением уравнения.
Пример 6. Решить уравнение в целых числах. 
Решение. 
решение существует.
Рассмотрим однородное уравнение 
.
общее решение однородного уравнения.
Рассмотрим неоднородное уравнение
должно делиться на 5.
частное решение неоднородного уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения: 
Ответ. Числа вида 
являются решением уравнения.
Пример 7. Решить уравнение в целых числах.
Решение.
уравнение не имеет корней.
Ответ. Уравнение в целых числах решений не имеет.
VII. Рефлексия деятельности (итог занятия).
Цель: осознание учащимися своей УД (учебной деятельности), самооценка результатов деятельности своей и всего класса. (2-3 минуты).
Вопросы:
- Какую задачу ставили?
- Удалось решить поставленную задачу?
- Каким способом?
- Какие получили результаты?
- Что нужно сделать ещё?
- Где можно применить новые знания?
- Что на занятии у вас хорошо получалось?
- Над чем ещё надо поработать?
Домашнее задание:
Проекты:
- Биография Диофанта
- Диофант и его уравнения
- Способы решения диофантовых уравнений.
- Практическое применение диофантовых уравнений.
Используемые ресурсы:
- portfolio.1sept.ru/
- urok.1sept.ru/
- Ступницкая М.А. Что такое учебный проект? / М. А. Ступницкая. – М. : первое сентября, 2010. – 44 с.