Цели: показать учащимся различные способы решения задачи на отыскание наибольших и наименьших геометрических величин на конкретном примере. Сформировать у учащихся представление о том, что применение общего метода решения задачи, основанного, на применении производной не всегда является рациональным. Решение геометрических задач различными способами способствуют развитию математического мышления и творческой активности учащихся, а также формированию умения применять теоретические знания на практике.

“Хороший учитель обязан понимать, что
никакую задачу нельзя исчерпать до конца.
Этот взгляд он должен прививать
и своим ученикам”.

Д.Пойа.

Развитие логического мышления является одним из важнейших элементов воспитания личности. Этому служит математика, и в первую очередь - геометрия. Круг задач, рассматриваемых в геометрии, очень широк. Среди них особое место занимают задачи на отыскание наибольших и наименьших значений геометрических величин. Учащиеся с интересом решают экстремальные задачи на уроках и на внеклассных занятиях.

При решении задач на экстремум учащиеся нередко испытывают трудности в составлении аналитической записи функции, описывающей условие задачи. Причиной этому часто бывает нерациональный выбор независимой переменной. Ее желательно выбрать так, чтобы более коротким путем получить аналитическое выражение данной функции и чтобы выражение было более простым.

Решение задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения геометрической величины с помощью общего метода, основанного на применении производной, не всегда является рациональным. Иногда к цели можно прийти быстрее и более коротким путем, используя элементарные методы и приёмы.

На конкретных примерах из планиметрии и стереометрии, покажем, как при удачном выборе аргумента функции удаётся сократить вычисления и упростить решение задачи.

Задача № 1.

В окружность радиуса R вписана трапеция ABCD, основание AB которой является диаметром окружности. Какова должна быть длина боковой стороны трапеции, чтобы трапеция имела наибольшую площадь?

Решение:

1 способ.

В задаче требуется найти длину боковой стороны трапеции, при которой площадь трапеции будет наибольшей. Ее можно принять за независимую переменную, затем через неё и радиус R окружности выразить площадь трапеции. Обычно учащиеся решают таким способом.

2 способ.

Пусть высота трапеции DH = х. Из прямоугольного ODH

(О – центр окружности) находим:

Значит, , и получим:

где 0 < х < R – простое по форме выражение для функции S. Однако вычисление производной требует более сложных выкладок, чем при решении задачи первым способом.

3 способ.

Пусть BH = х, тогда AH=2R - х. Из свойства высоты прямоугольного ?ABD имеем: и, следовательно,

R< х <2R.

Производная функции S² = 2Rx³ – x⁴ находится проще, чем при решении задачи первым и вторым способом. Задачу можно решить и без использования производной.

Так как 3S² = (6R – 3x ) ·x·x·x. В правой части - произведение переменных, сумма которых постоянна и равна 6R. Это произведение принимает наибольшее значение в случае их равенства, т.е. х= 6R – 3х, откуда

х = 3/2R. При этом AH=1/2R и AD=OD=R.

4 способ.

Пусть Тогда BD=2Rsin²х, DH=2Rsinxcosx.

Находим:

S=4R²sin³хcosx, 45⁰< x < 90⁰ ,

при tg х = , т.е. при х = 60⁰ . Остаётся сравнить значение функции S в критической точке со значениями на концах промежутка [45⁰, 90⁰].

5 способ.

Введем независимую переменную площадь трапеции, равна сумме площадей треугольников AOD,BOC и COD. Следовательно,

Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции:

Ее производная

Критические точки получим, решив уравнение:

Задача № 2.

В окружность радиуса R вписана трапеция ABCD с основанием AB. При какой длине стороны AD площадь трапеции будет наибольшей, если

где O – центр окружности?

Решение:

пусть . Площадь AOD:

Найдём площади треугольников: AOD, BOC и COD.

Учитывая, что получим:

Проведём диаметр М? окружности параллельно основанию AB трапеции. Площадь трапеции не может быть наибольшей, если хорды AB и CD будут лежать по одну сторону от М?. Поэтому следует считать, что

Функция Ѕ имеет наибольшее значение одновременно с функцией

Найдём производную этой функции:

С учётом границ изменения х, получим:

или, несколько расширяя границы этих промежутков:

Следовательно, при всех допустимых значениях х имеем: и тогда и только тогда, когда откуда

Итак, в промежутке функция f(x) имеет единственную критическую точку х₀, в которой, производная меняет знак с плюса на минус. Значит, в этой точке функция имеет максимум, а значит и искомое наибольшее значение. Таким образом, площадь трапеции ABCD будет наибольшей в том случае, когда дуги ВС, СD и AD равны и

Задача № 3.

Куб, ребро которого равно , пересекается плоскостью, проходящей через его диагональ. Какую наименьшую площадь может иметь сечение и при каком угле наклона сечения к плоскости основания?

Решение: 1 способ.

Пусть плоскость, проходящая через диагональ B₁D куба, пересекает его ребро АА₁ в точке К. Тогда она пересекает ребро СС₁ в точке L, симметричной К относительно центра куба. В сечении получится параллелограмм B₁ КDL, площадь которого равна удвоенной площади B₁ КD. Проведем высоту КМ в B₁ КD. Пусть B₁ D = d, KM = h, DM = y,

AK = x.

Площадь сечения определяется формулой: S = dh, где d = Следовательно, задача сводится к нахождению наименьшего значения h. Из прямоугольных B₁ КМ и DКМ, выразим по теореме Пифагора двумя способами КМ, получим уравнение:

откуда

Следовательно,

или

Отсюда следует, что при Наименьшее значение площади сечения равно

Угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания ABCD куба найдем по формуле: Получим:

2 способ.

Задача сводится к нахождению кратчайшего расстояния h между скрещивающимися прямыми АА₁ и B₁D. Так как ребро АА₁ параллельно плоскости ВDB₁, то h равно расстоянию от вершины А куба до плоскости ВDB₁, т.е. равно высоте АР прямоугольного ABD. Получим:

Следовательно, наименьшее значение площади сечения

Угол наклона сечения к плоскости основания находим так же, как и в первом способе.

3 способ.

Простое геометрическое решение задачи получим, если используем формулу:

где ? – угол между плоскостью сечения B₁ КDL и плоскостью грани ABCD куба.

Построим линию пересечения этих плоскостей, прямую l, и проведем B₁Нl. По теореме о трёх перпендикулярах l, следовательно, Площадь сечения будет наименьшей, когда сечение проведено так, что угол – наименьший. Так как то  имеет наименьшее значение, когда ВН имеет наибольшее значение. Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то ВН BD, и наибольшее значение ВН достигается в том случае, когда точки Н и D совпадают.

Очень часто краткое и красивое решение геометрической задачи на экстремум сразу найти не удаётся. В этом случае после решения задачи общим методом следует предложить учащимся изучить найденное решение и полученный результат. При этом часто можно подметить такие особенности фигуры, которые позволяют найти более рациональное решение задачи.

Литература

1. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. М., Просвещение,1992.
2. Буслаева И.П. Решение экстремальных задач без использования производной. М., 1995.
3. Чебурахин И.Ф. Решение одной геометрической задачи на экстремум. Математика в школе. №3,1996.
4. Математика в школе. №4,1970.