Развивающая цель: Продолжить развивать следующие умения: сравнивать математические понятия, наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии.
Обучающие цели:
- Начать формировать понятие “арифметической прогрессии”, а также представления о её свойствах и формуле n-го члена.
- Начать формировать умение применять вводимые понятия, утверждения и формулы при решении задач.
Воспитательная цель: Содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям.
Задачи урока:
- Повторить теоретический материал темы “Числовая последовательность”.
- Ввести понятия “арифметическая прогрессия”, “разность арифметической прогрессии”.
- Установить зависимость между значением разности арифметической прогрессии и её монотонностью.
- Вывести характеристическое свойство арифметической прогрессии и формулу её n-ого члена.
- Учить применять полученные теоретические знания при решении задач.
Ожидаемые результаты: воспроизведение основных понятий, утверждений, формул.
Показатели:
- заполнение пробелов в определениях и утверждениях;
- исправление ошибок в формулах;
- точное воспроизведение основных понятий, утверждений, формул.
Диагностическая работа (проводится в начале урока, следующего сразу за лекцией).
Цель: Выявить пробелы в теоретических знаниях с последующей их коррекцией в случае необходимости.
- Арифметической прогрессией называется ..........., каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному ............ числом.
- Каким свойством обладает арифметическая прогрессия, первый член которой отрицательное число, а разность – положительное?
- Каким свойством обладает арифметическая прогрессия, разность и первый член которой – отрицательные числа?
- По какой формуле можно вычислить разность арифметической прогрессии?
- Верно ли, что каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов?
- Верна ли запись: n-ый член арифметической
прогрессии вычисляется по формуле
?
Основное содержание урока:
Организационный момент (2 мин)
План лекции:
- Понятие арифметической прогрессии (различные формулировки определения).
- Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
- Формула n-го члена арифметической прогрессии.
1. Понятие арифметической прогрессии (различные формулировки определения)
Рассмотрим следующую задачу.
На турбазе можно взять лодку напрокат. Стоимость проката определяется следующим образом: за первый час надо заплатить 100 руб., а за каждый последующий (полный или неполный) – 55 руб. Сколько рублей надо заплатить за лодку, взятую на один час, на два часа, на три часа и т.д.?
Выполняя подсчёты, получим следующую последовательность чисел:
100; 155; 210; 265; 320; ... .
В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного итого же числа, равного 55. Последовательности, обладающие подобным свойством, встречаются часто, и они называются арифметическими прогрессиями (от латинского слова progressio, означающего “движение вперёд”).
О п р е д е л е н и е 1. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
О п р е д е л е н и е 1*. Числовая последовательность a1, a2, ..., an, ... называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство
,
где d – некоторое число.
В о п р о с № 1: Чему из равенства 
равно число d?
- Из определения следует, что
. Число d называется
разностью арифметической прогрессии. - Рассмотрим следующие примеры (устно):
- Натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...
является арифметической прогрессией. Чему
равны первый член и разность d этой прогрессии?
(Ответ: a
= 1, d = 1) - Является ли последовательность положительных
нечётных чисел 1; 3; 5; 7; ... ; 2n+1; ...
арифметической прогрессией? Чему равны
первый член и разность d этой прогрессии? (Ответ: a= 1, d = 2)
- Является ли последовательность чисел 2; 3; 5; 8; 12; 17; ... арифметической прогрессией? (Ответ: нет)
О п р е д е л е н и е 2. Возрастающей называется арифметическая прогрессия, у которой каждый следующий член больше предыдущего.
- Является ли последовательность отрицательных
чётных чисел -2; -4; -6; -8; ... ; -2n; ... арифметической
прогрессией? Чему равны первый член и разность d
этой прогрессии? (Ответ: a= – 2, d = – 2)
- Является ли последовательность 100; 90; 80; 70; ...
арифметической прогрессией? Чему равны первый
член и разность d этой прогрессии? (Ответ: a= 100, d = – 10)
О п р е д е л е н и е 3. Убывающей называется арифметическая прогрессия, у которой каждый следующий член меньше предыдущего.
Является ли последовательность 4; 4; 4; 4; 4; ...
арифметической прогрессией? Чему равны первый
член и разность d этой прогрессии? (Ответ: a= 4, d = 0)
О п р е д е л е н и е 4. Постоянной называется арифметическая прогрессия, у которой каждый следующий член равен предыдущему.
Т.о. разность арифметической прогрессии может быть любым числом – положительным, отрицательным и даже нулём.
В ы в о д:
- Если разность d арифметической прогрессии – положительное число, то такая прогрессия является возрастающей.
- Если разность d арифметической прогрессии – отрицательное число, то такая прогрессия является убывающей.
- Если разность d арифметической прогрессии равна 0, то такая прогрессия является постоянной.
2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии
У т в е р ж д е н и е: Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название “арифметическая” прогрессия.
Д о к а з а т е л ь с т в о: По определению
арифметической прогрессии (*) значит и 
, следовательно, 
(**).
Складываем (*) и (**) 
, откуда 
, n > 1.
П р и м е р 7. В арифметической прогрессии 
, 
. Найдите 
.
(Ответ: 
)
3. Формула n-ого члена арифметической прогрессии
Вернёмся к задаче о стоимости проката лодки. Допустим, группа туристов хочет взять лодку на двое суток. Какова будет стоимость проката?
Чтобы ответить на этот вопрос, можно, конечно, последовательно прибавлять по 55 р., пока не получим сумму, которую нужно заплатить за двое суток проката лодки. Удобнее, однако, воспользоваться формулой, позволяющей вычислить стоимость проката непосредственно по количеству часов, на которые взята лодка.
Для того чтобы получить эту формулу, обратимся к таблице.
| Количество часов | Стоимость проката (в рублях) |
| 1 | a=100 |
| 2 | a =100+55 |
| 3 | a =100+55+55=100+55 * 2 |
| 4 | a =100+55+55+55=100+55 * 3 |
| 5 | a =100+55+55+55+55=100+55 * 4 |
В о п р о с №2: Какую закономерность вы здесь наблюдаете?
Закономерность, которой подчиняются члены
прогрессии: a
=
100+55 * (n-1).
Подставив в формулу n = 48, найдём плату за 48 часов
проката лодки: a
=100+55
* (48-1)=100+55 * 47=2685(р.)
Пусть (a
) –
арифметическая прогрессия. Тогда, по определению
арифметической последовательности,
,
,
и т. д. ... 
Вообще,
 |
Эту формулу называют формулой n-ого члена арифметической прогрессии.
[Следующие задачи учитель решает у доски с участием учащихся]
П р и м е р 8. Найдите сотый член
арифметической прогрессии 120; 116; 112; 108; ... . (Ответ: 
)
П р и м е р 9. Число 1249 является членом арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; ... .
Найдите номер этого члена. (Ответ: n=417)
4. Подведение итогов урока (3 мин)
5. Домашнее задание
- Выучить формулы и определения.
- Рассмотреть данную тему в учебнике и разобрать демонстрационные примеры (параграф 28).
- №372(2), №374(2,4)
6. Используемая литература
- Ш. А. Алимов, Алгебра 9, Москва “Просвещение” 2010 г.
- Г. В. Дорофеев, Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных, 9 класс, Москва “Дрофа” 2011г.
- Ю. Н. Макарычев, Алгебра 9, Москва “Просвещение” 2011г.
- К. С. Муравин, Алгебра 9, Москва “Дрофа” 2009г.