Все о квадратном уравнении

Цели урока:

• Систематизировать и обобщить знания и умения по теме “Квадратное уравнение”: определение, неполные уравнения, решение уравнения выделением квадрата двучлена, формула корней квадратного уравнения, теорема Виета, биквадратные уравнения.
• Развивать коммуникативно-технические умения, навыки коллективного труда, умение распределять обязанности.
• Воспитывать интерес к предмету.

Форма урока: многосерийный фильм “Квадратное уравнение”, каждая серия которого отражает один из перечисленных выше разделов теоретического материала.

Оборудование: карточки с вопросами по теории, карточки с заданиями практического характера, доска, компьютер, проектор, презентация для проверки теоретических знаний.

Подготовка к уроку:

Класс делится на пять групп, каждой группе дается карточка, содержащая вопросы по теории и практические задания одного раздела. Каждая группа учащихся работает самостоятельно и должна по окончании работы создать сценарий одной серии фильма, в котором обязательно должно быть следующее:

• Краткий конспект по теории с ответами на поставленные учителем вопросы.
• Решение всех практических заданий.
• Четыре варианта заданий для остальных групп.

После обсуждения всех пяти сценариев каждая группа должна решить 4 варианта, подготовленные другими “съемочными” группами.

Ход урока

Нет повести обширнее, наверное,
Чем повесть о квадратном уравнении...

I. Организационный момент (слайд 1).

Учитель распределяет учеников на 5 групп и рассаживает их компактно, для удобной работы. Раздает всем группам заранее подготовленные карточки с теоретическими вопросами и практическими заданиями. Группа выбирает “режиссера” — для написания конспекта и ответов на вопросы, остальные учащиеся распределяют работу по решению задач и написанию задания для других групп. Время для написания сценария — 15 минут.

II. Систематизация теоретического материала.

Серия 1: “Определение квадратного уравнения, неполные уравнения” (слайд 2).

1. Какие уравнения называют квадратными? (слайд 3)

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и с – любые действительные числа, причём а 0.

2. Как называются коэффициенты квадратного уравнения?(слайд 4)

а – первый или старший коэффициент,

b – второй коэффициент,

с – свободный член.

3. Какие уравнения называют приведёнными? Как из полного уравнения получить приведённое? (слайд 5)

Приведённым квадратным уравнением называют уравнение вида Нужно полное квадратное уравнение разделить на коэффициент а.

4. Какие бывают неполные квадратные уравнения?

• Если а 0, b = 0, с = 0, то ах² = 0.
• Если а 0, b ? 0, с = 0, то ах² + bx = 0.
• Если а 0, b = 0, c 0, то ах² + с = 0.

5. Описать методы решения неполных квадратных уравнений.

• ах² = 0, х = 0.
• ах² + bx = 0, х(ах + b) = 0, х₁ = 0, х₂ = - b/a.
• ах² + с = 0, x² = - c/a, x_1,2 = - c/a.

Серия 2. “Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена” (слайд 8)

1. Запишите формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности (слайд 9).

• Квадрат суммы (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Квадрат разности (a – b)² = a² – 2ab + b²

2. Решите уравнения: (x + k)² = 0 и (x – k)² = 0 (слайд 10).

• (x + k)² = 0, x + k = 0, x = – k.
• (x – k)² = 0, x – k = 0, x = k.

3. Запишите алгоритм решения приведённого квадратного уравнения методом выделения квадрата двучлена (слайд 11).

• x² + 2px + q = 0;
• x² + 2px + p² = p² – q;
• (x + p)² = p² – q;
• x + p = p² – q, если p² – q 0;
• x_1,2 = – p p₂ – q.

Серия 3. “Формула корней квадратного уравнения” (слайд 12).

1. Запишите общую формулу квадратного уравнения (слайд 13).

ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и с – любые действительные числа, причём а 0.

2. Что такое дискриминант? (слайд 14)

D = b² – 4ac.

3. Какая зависимость между знаком дискриминанта и количеством решений квадратного уравнения? (слайд 15)

• если D > 0, то уравнение имеет два корня;
• если D = 0, то уравнение имеет один корень;
• если D < 0, то уравнение корней не имеет.

4. Запишите формулу корня уравнения, если D = 0. (слайд 16)

если D = 0, то x = – b/2a.

5. Запишите формулу корней уравнения, если D > 0. (слайд 17)

если D > 0, то

Серия 4. “Теорема Виета” (слайд 18)

1. Запишите формулу приведённого квадратного уравнения. (слайд 19)

x² + px + q = 0

2. Чему равен дискриминант приведённого квадратного уравнения?(слайд 20)

D = p² – 4q.

3. Сформулируйте теорему Виета для приведённого квадратного уравнения (слайд 21)

“Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену”

х₁ + х₂ = – р; х₁ * х₂ = q.

4. Запищите формулы Виета для квадратного уравнения общего вида (слайд 22)

5. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета. (слайд 23)

Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁ + х₂ = – р и х₁ * х₂ = q, то эти числа – корни уравнения х² + рх + q = 0.

Серия 5. “Биквадратные уравнения” (слайд 24)

1. Запишите общий вид биквадратного уравнения. (слайд 25)

ax⁴ + bx² + c = 0

2. Приведите алгоритм решения биквадратного уравнения. (слайд 26)

• ввести новую переменную х² = t;
• сделать замену в уравнении: at² + bt + c = 0;
• найти корни полученного уравнения:

•  сделать обратную подстановку: 1) х² = t₁, 2) x² = – t₂;
• если t > 0, то х = vt,
• если t = 0, то х = 0,
• если t < 0, то корней нет.

III. Практическая часть.

Каждая “съёмочная группа” выполняет решение уравнений различными способам и нахождение значений выражения с помощью теоремы Виета. (Приложение)

IV. Подведение итогов.

По ходу урока в процессе представления сценария, решения практических заданий (своих и заданий других групп) учитель оценивает в баллах работу каждой группы учащихся. По окончании урока полученные баллы суммируются, и на этом основании утверждается наиболее результативный сценарий.

V. Домашнее задание. (слайд 27)

Пункт 3.7. Прочитать, сделать необходимые записи в справочник.